Éléments de géométrie algébrique - Éléments de géométrie algébrique

Éléments de géométrie algébrique
Éléments de géométrie algébrique titulní stránka.jpg
AutorAlexander Grothendieck a Jean Dieudonné
Jazykfrancouzština
PředmětAlgebraická geometrie
VydavatelInstitut des Hautes Études Scientifiques
Datum publikace
1960–1967

The Éléments de géométrie algébrique ("Prvky Algebraická geometrie ") od Alexander Grothendieck (s pomocí Jean Dieudonné ), nebo EGA zkrátka je přísné pojednání v francouzština, na algebraická geometrie která byla zveřejněna (v osmi částech nebo chomáče ) od roku 1960 do roku 1967 Institut des Hautes Études Scientifiques. V něm Grothendieck založil systematické základy algebraické geometrie, vycházející z konceptu schémata, kterou definoval. Práce je nyní považována za základní kámen a základní referenci moderní algebraické geometrie.

Edice

Původně bylo plánováno třináct kapitol, ale publikovány byly pouze první čtyři (celkem přibližně 1500 stran). Hodně z materiálu, který by se našel v následujících kapitolách, lze najít v méně vyleštěné podobě v Séminaire de géométrie algébrique (známé jako SGA). Jak vysvětlil Grothendieck v předmluvě ke zveřejněné verzi SGA, do roku 1970 bylo jasné, že začlenění veškerého plánovaného materiálu do EGA by vyžadovalo významné změny v již publikovaných předchozích kapitolách, a že tedy vyhlídky na dokončení EGA v blízké budoucnosti byly omezené. Zřejmý příklad poskytuje odvozené kategorie, který se stal nepostradatelným nástrojem v pozdějších svazcích SGA, ale dosud nebyl použit v EGA III, protože teorie v té době ještě nebyla vyvinuta. Bylo proto vynaloženo značné úsilí k tomu, aby publikované svazky SGA dosáhly vysokého stupně úplnosti a přesnosti. Než byla práce na pojednání opuštěna, v letech 1966–67 existovaly plány na rozšíření skupiny autorů o Grothendieckovy studenty Pierre Deligne a Michel Raynaud o čemž svědčí zveřejněná korespondence mezi Grothendieckem a David Mumford.[1] Grothendieckův dopis ze dne 4. listopadu 1966 adresovaný Mumfordovi rovněž naznačuje, že do té doby byla zavedena revidovaná struktura druhého vydání, přičemž kapitola VIII již měla zahrnovat Picardovo schéma. V tomto dopise odhadl, že tempem psaní tohoto bodu by dokončení následujících čtyř kapitol (V až VIII) trvalo osm let, což naznačuje zamýšlenou délku srovnatelnou s prvními čtyřmi kapitolami, které se připravovaly na v té době asi osm let.

Grothendieck přesto napsal revidovanou verzi EGA I, kterou vydalo Springer-Verlag. Aktualizuje terminologii, nahrazuje „prescheme“ slovy „schéma“ a „schéma“ slovy „oddělené schéma“ a silně zdůrazňuje použití reprezentativní funktory. Nová předmluva druhého vydání obsahuje také mírně přepracovaný plán celého pojednání, který je nyní rozdělen do dvanácti kapitol.

Grothendieckova EGA 5, která se zabývá Bertini věty o typu jsou do určité míry k dispozici na webu Grothendieck Circle. Monografie Matematyczne v Polsku přijala tento svazek ke zveřejnění, ale proces úpravy je v této době 2010 poměrně pomalý.James Milne zachovala některé původní Grothendieckovy poznámky a jejich překlad do angličtiny. Mohou být k dispozici na jeho webových stránkách spojených s University of Michigan v Ann Arbor.

Kapitoly

Následující tabulka uvádí původní a revidovaný plán pojednání a naznačuje, kde (v SGA nebo jinde) byla témata určená pro pozdější nepublikované kapitoly zpracována Grothendieckem a jeho spolupracovníky.

#První vydáníDruhé vydáníKomentáře
JáLe langage des schémasLe langage des schémasDruhé vydání přináší určitá schémata představující funktory jako např Grassmannians, pravděpodobně ze zamýšlené kapitoly V prvního vydání. Kromě toho byl obsah oddílu 1 kapitoly IV prvního vydání přesunut do kapitoly I druhého vydání.
IIÉtude globale élémentaire de quelques tříd de morphismesÉtude globale élémentaire de quelques třídy morfismůPrvní vydání dokončeno, druhé vydání se neobjevilo.
IIIÉtude cohomologique des faisceaux cohérentsCohomologie des Faisceaux algébriques cohérents. Aplikace.První vydání, kromě posledních čtyř částí, určené k publikaci po kapitole IV: elementární projektivní dualita, lokální kohomologie a její vztah k projektivní kohomologii a Picardovy skupiny (všechny kromě projektivní duality zpracované v SGA 2).
IVÉtude locale des schémas et des morphismes de schémasÉtude locale des schémas et des morphismes de schémasPrvní vydání je v podstatě kompletní; některé změny provedené v posledních částech; část věnovaná sekcím hyperplánu v nové kapitole V druhého vydání (koncept existuje)
PROTIProcédés élémentaires de construction de schémasDoplňuje surif morphismes projectifsNezjistil se. Některé základní konstrukce schémat zjevně určených pro první vydání se objevují v kapitole I druhého vydání. Stávající koncept kapitoly V odpovídá plánu druhého vydání. Zahrnuje také rozšířené zpracování některých materiálů ze SGA 7.
VITechnika sestupu.
Méthode générale de construction des schémas		Techniky výstavby schématNezjistil se. Teorie sestupu a související konstrukční techniky shrnuté Grothendieckem v FGA. Do roku 1968 se plán vyvinul k léčbě algebraické prostory a algebraické komíny.
VIISchémata de groupes, espaces fibrés principauxSchémata en groupes, espaces fibrés principauxNezjistil se. Podrobně zpracováno v SGA 3.
VIIIÉtude différentielle des espaces fibrésLe schéma de PicardNezjistil se. Materiál zjevně určený pro první vydání najdete v SGA 3, konstrukce a výsledky Picardova schématu jsou shrnuty v FGA.
IXLe groupe fondamentalLe groupe fondamentalNezjistil se. Podrobně zpracováno v SGA 1.
XRésidus et dualitéRésidus et dualitéNezjistil se. Podrobně zpracováno v Hartshornově edici Grothendieckových poznámek „Rezidua a dualita“
XIThéorie d'intersection, třídy de Chern, théorème de Riemann-RochThéorie d'intersection, třídy de Chern, théorème de Riemann-RochNezjistil se. Podrobně zpracováno v SGA 6.
XIISchémas abéliens et schémas de PicardCohomologie étale des schémasNezjistil se.
Étaleova kohomologie podrobně zpracovaná v SGA 4, SGA 5.
XIIICohomologie de WeilžádnýUrčeno k pokrytí étale cohomology v prvním vydání.

Kromě skutečných kapitol byla mezi svazky, ve kterých se pojednání objevilo, rozdělena rozsáhlá „Kapitola 0“ o různých úvodních hrách. Zpracovaná témata se pohybují od teorie kategorií, teorie svazků a obecná topologie na komutativní algebra a homologická algebra. Nejdelší část kapitoly 0 připojená ke kapitole IV má více než 200 stránek.

Grothendieck nikdy nedal povolení k opětovnému vydání 2. vydání EGA I, takže kopie jsou vzácné, ale nacházejí se v mnoha knihovnách. Práce na EGA byla nakonec narušena Grothendieckovým odjezdem první z IHÉS v roce 1970 a brzy nato z matematického založení úplně. Grothendieckovy neúplné poznámky k EGA V najdete na [1].

Z historického hlediska byl vývoj EGA přístup nastavil pečeť na aplikaci teorie svazků na algebraickou geometrii, uvedenou do pohybu uživatelem Serre základní papír FAC. Obsahoval také první úplnou expozici algebraického přístupu k diferenciálnímu počtu, a to prostřednictvím hlavních částí. Navrhované základní sjednocení (viz např sjednocující teorie v matematice ) obstál ve zkoušce času.

EGA byl naskenován uživatelem NUMDAM a je k dispozici na [2] v části „Publications mathématiques de l'IHÉS“, svazky 4 (EGAI), 8 (EGAII), 11 (EGAIII.1re), 17 (EGAIII.2e), 20 (EGAIV.1re), 24 (EGAIV.2e), 28 (EGAIV.3e) a 32 (EGAIV.4e).

Bibliografické informace

Viz také

Reference

  1. ^ Mumford, David (2010). Ching-Li Chai; Amnon Neeman; Takahiro Shiota. (eds.). Vybrané příspěvky, svazek II. Na algebraické geometrii, včetně korespondence s Grothendieckem. Springer. 720, 722. ISBN  978-0-387-72491-1.
  2. ^ Lang, S. (1961). "Posouzení: Éléments de géométrie algébrique, par A. Grothendieck, rédigés avec la partnership de J. Dieudonné " (PDF). Býk. Amer. Matematika. Soc. 67 (3): 239–246. doi:10.1090 / S0002-9904-1961-10564-8.

externí odkazy