Konečně generovaná algebra - Finitely generated algebra
v matematika, a konečně generovaná algebra (nazývané také algebra konečného typu) je komutativní asociativní algebra A přes pole K. kde existuje konečná sada prvků A1,...,An z A tak, že každý prvek A lze vyjádřit jako a polynomiální v A1,...,An, s koeficienty v K..
Ekvivalentně existují prvky Svatý. hodnocení homomorfismu na
je surjektivní; tedy uplatněním první věty o izomorfismu .
Naopak, pro jakýkoli ideál je -algebra konečného typu, vlastně jakýkoli prvek je polynom v kosetech s koeficienty v . Proto získáme následující charakterizaci konečně generovaných -algebry[1]
- je definitivně generován -algebra právě tehdy, pokud je izomorfní s kvocientovým prstencem typu ideálem .
Pokud je to nutné zdůraznit pole K. pak se říká, že algebra je definitivně generována přes K.. Algebry, které nejsou definitivně generovány, se nazývají nekonečně generováno.
Příklady
- The polynomiální algebra K.[X1,...,Xn] je definitivně generován. Polynomiální algebra v nekonečně nespočetně mnoho generátory jsou generovány nekonečně.
- Pole E = K.(t) z racionální funkce v jedné proměnné nad nekonečným polem K. je ne konečně generovaná algebra K.. Na druhou stranu, E je generován znovu K. o jediný prvek, t, jako pole.
- Li E/F je rozšíření konečného pole pak z definic vyplývá, že E je konečně generovaná algebra F.
- Naopak, pokud E /F je rozšíření pole a E je konečně generovaná algebra F pak je rozšíření pole konečné. Tomu se říká Zariskiho lemma. Viz také integrální rozšíření.
- Li G je konečně generovaná skupina pak skupinové vyzvánění KG je konečně generovaná algebra K..
Vlastnosti
- A homomorfní obraz konečně generované algebry je sama definitivně generována. Podobná vlastnost však pro subalgebry obecně neplatí.
- Hilbertova základní věta: pokud A je konečně generovaná komutativní algebra nad netherianským prstencem a potom nad každou ideál z A je definitivně generováno nebo ekvivalentně, A je Noetherian ring.
Vztah s afinními odrůdami
Konečně vygenerováno snížena komutativní algebry jsou v moderní době základními objekty algebraická geometrie, kde odpovídají afinní algebraické odrůdy; z tohoto důvodu jsou tyto algebry také označovány jako (komutativní) afinní algebry. Přesněji řečeno, vzhledem k afinní algebraické množině můžeme přiřadit konečně vygenerovaný -algebra
volal afinní souřadnicový kruh ; navíc, pokud je pravidelná mapa mezi afinními algebraickými množinami a , můžeme definovat homomorfismus -algebry
pak, je kontravariantní funktor z kategorie afinních algebraických množin s pravidelnými mapami do kategorie redukovaných definitivně generovaných -algebry: tento funktor se ukáže[2]být rovnocennost kategorií
a omezující na afinní odrůdy (tj. neredukovatelné afinní algebraické množiny),
Konečné algebry vs algebry konečného typu
Připomínáme si, že komutativní -algebra je prstenový homomorfismus ; the -modulová struktura je definováno
An -algebra je konečný Pokud to je definitivně generováno jako -modul, tj. existuje surjektivní homomorfismus - moduly
Opět existuje charakteristika konečné algebry z hlediska kvocientů[3]
- An -algebra je konečný právě tehdy, pokud je izomorfní s kvocientem podle -podmodul .
Podle definice konečný -algebra je konečného typu, ale konverzace je nepravdivá: polynomiální kruh je konečného typu, ale není konečný.
Konečné algebry a algebry konečného typu souvisí s pojmy konečné morfismy a morfismy konečného typu.
Reference
- ^ Kemper, Gregor (2009). Kurz komutativní algebry. Springer. p. 8. ISBN 978-3-642-03545-6.
- ^ Görtz, Ulrich; Wedhorn, Torsten (2010). Algebraická geometrie I. Schémata s příklady a cvičeními. Springer. p. 19. ISBN 978-3-8348-0676-5.
- ^ Atiyah, Michael Francis; MacDonald, Ian Grant (1994). Úvod do komutativní algebry. CRC Press. p. 21. ISBN 9780201407518.
Viz také
- Konečně vygenerovaný modul
- Konečně vygenerované rozšíření pole
- Artin – Tate lemma
- Konečná algebra
- Morfismy konečného typu
Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |