Weil dohady - Weil conjectures

v matematika, Weil dohady byly některé velmi vlivné návrhy od André Weil  (1949 ), který vedl k úspěšnému víceletému programu, který je prokázal, v němž mnoho předních výzkumných pracovníků vyvinulo rámec moderního algebraická geometrie a teorie čísel.

Domněnky se týkají generující funkce (známý jako místní funkce zeta ) odvozeno od spočítání počtu bodů algebraické odrůdy přes konečná pole. Odrůda PROTI přes konečné pole s q prvků má konečný počet racionální body (se souřadnicemi v původním poli), stejně jako body se souřadnicemi v libovolném konečné prodloužení původního pole. Funkce generování má koeficienty odvozené z čísel N_k bodů přes pole rozšíření s q^k elementy.

Weil si to myslel funkce zeta pro hladké odrůdy by měla být racionální funkce, by měl uspokojit formu funkční rovnice, a měly by mít své nuly na omezených místech. Poslední dvě části byly zcela vědomě modelovány podle Funkce Riemann zeta, druh generační funkce pro prvočísla, která se řídí funkční rovnicí a (hypoteticky) má své nuly omezené Riemannova hypotéza. Racionalitu prokázal Bernard Dwork  (1960 ), funkční rovnice pomocí Alexander Grothendieck  (1965 ), a analogie Riemannovy hypotézy od Pierre Deligne  (1974 ).

Pozadí a historie

Nejstarší předchůdce Weilových domněnek je Carl Friedrich Gauss a objeví se v jeho části VII Disquisitiones Arithmeticae (Mazur 1974 ), zabývající se kořeny jednoty a Gaussovské období. V článku 358 přechází z období, které staví věže kvadratických rozšíření, ke stavbě pravidelných mnohoúhelníků; a předpokládá to p je prvočíslo takové, že p − 1 je dělitelné 3. Pak existuje a cyklické kubické pole uvnitř cyklotomického pole pth kořeny jednoty, a normální integrální základ období pro celá čísla tohoto pole (instance Věta Hilbert – Speiser ). Gauss konstruuje řády-3 období, odpovídající cyklická skupina (Z/pZ)^× nenulových zbytků modulo p v rámci multiplikace a její jedinečné podskupiny indexu tři. Gauss umožňuje ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$, ${ displaystyle { mathfrak {R}} '}$, a ${ displaystyle { mathfrak {R}} ''}$ být jeho kosety. Vezmeme-li období (součty kořenů jednoty) odpovídající těmto kosetům exp (2πi/p)poznamenává, že tato období mají multiplikační tabulku, která je přístupná pro výpočet. Produkty jsou lineární kombinace období a on určuje koeficienty. Nastaví například ${ displaystyle ({ mathfrak {R}} { mathfrak {R}})}$ se rovná počtu prvků Z/pZ které jsou v ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$ a které jsou po zvýšení o jednu také v ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$. Dokazuje, že toto číslo a související jsou koeficienty produktů období. Chcete-li vidět vztah těchto sad k Weilovým domněnkám, všimněte si, že pokud α a α + 1 jsou oba v ${ displaystyle { mathfrak {R}}}$, pak existují X a y v Z/pZ takhle X³ = α a y³ = α + 1; tudíž, X³ + 1 = y³. Proto ${ displaystyle ({ mathfrak {R}} { mathfrak {R}})}$ je počet řešení X³ + 1 = y³ v konečném poli Z/pZ. Ostatní koeficienty mají podobnou interpretaci. Gaussovo stanovení koeficientů součinů období tedy spočítá počet bodů na nich eliptické křivky, a jako vedlejší produkt dokazuje analogii Riemannovy hypotézy.

Weilovy domněnky ve zvláštním případě algebraické křivky se domnívali Emil Artin  (1924 ). Případ křivek nad konečnými poli dokázal Weil, dokončení projektu zahájil Hasseova věta o eliptických křivkách přes konečná pole. Jejich zájem byl zevnitř dostatečně zřejmý teorie čísel: implikovaly horní hranice pro exponenciální součty, základní problém v analytická teorie čísel (Moreno 2001 ) chyba harv: žádný cíl: CITEREFMoreno2001 (Pomoc).

To, co bylo opravdu poutavé, z pohledu jiných matematických oblastí, bylo navrhované spojení s algebraická topologie. Vzhledem k tomu, že konečná pole jsou oddělený v přírodě a topologie hovoří pouze o kontinuální, podrobná formulace Weila (založená na vypracování několika příkladů) byla nápadná a nová. Navrhlo se, že geometrie přes konečná pole by měla zapadat do dobře známých vzorů vztahujících se k Betti čísla, Lefschetzova věta o pevném bodě a tak dále.

Analogie s topologií navrhla, aby byla vytvořena nová homologická teorie algebraická geometrie. Trvalo to dvě desetiletí (to byl ústřední cíl práce a školy Alexander Grothendieck ) navazující na počáteční návrhy z Serre. Racionální část domněnek byla nejdříve prokázána Bernard Dwork  (1960 ), použitím p-adic metody. Grothendieck (1965) a jeho spolupracovníci založili domněnku racionality, funkční rovnici a odkaz na čísla Betti pomocí vlastností étale cohomology, nová teorie kohomologie vyvinutá Grothendieckem a Artinem pro útok na Weilovy domněnky, jak je uvedeno v Grothendieck (1960). Ze čtyř domněnek bylo nejtěžší dokázat analogii Riemannovy hypotézy. Motivováno důkazem Serre (1960) analoga Weilových domněnek pro Rozdělovače Kähler, Grothendieck představil důkaz založený na jeho standardní domněnky o algebraických cyklech (Kleiman 1968 ). Grothendieckovy standardní dohady však zůstávají otevřené (s výjimkou tvrdá Lefschetzova věta, což prokázal Deligne rozšířením své práce o Weilových domněnkách) a analogii Riemannovy hypotézy prokázal Deligne  (1974 ), využívající teomologickou teorii étale, ale obcházení použití standardních domněnek důmyslným argumentem.

Deligne (1980) našel a prokázal zevšeobecnění Weilových domněnek, ohraničujících váhy přítlaku snopu.

Prohlášení Weilových domněnek

Předpokládejme to X je ne singulární n-dimenzionální projektivní algebraická rozmanitost přes pole F_q s q elementy. The funkce zeta ζ(X, s) z X je podle definice

${ displaystyle zeta (X, s) = exp left ( sum _ {m = 1} ^ { infty} { frac {N_ {m}} {m}} q ^ {- ms} vpravo )}$

kde N_m je počet bodů X definováno po celý stupeň m rozšíření F_q^m z F_q.

Weilovy domněnky uvádějí:

1. (Rozumnost) ζ(X, s) je racionální funkce z T = q^−s. Přesněji, ζ(X, s) lze psát jako konečný alternativní součin

   ${ displaystyle prod _ {i = 0} ^ {2n} P_ {i} (q ^ {- s}) ^ {(- 1) ^ {i + 1}} = { frac {P_ {1} ( T) dotsb P_ {2n-1} (T)} {P_ {0} (T) dotsb P_ {2n} (T)}},}$

   kde každý P_i(T) je integrální polynom. Dále P₀(T) = 1 − T, P_2n(T) = 1 − qⁿT, a pro 1 ≤ i ≤ 2n - 1, P_i(T) faktory nad C tak jako ${ displaystyle textstyle prod _ {j} (1- alpha _ {ij} T)}$ pro některá čísla α_ij.
2. (Funkční rovnice a Poincaréova dualita) Funkce zeta vyhovuje

   ${ displaystyle zeta (X, n-s) = pm q ^ {{ frac {nE} {2}} - Es} zeta (X, s)}$

   nebo ekvivalentně

   ${ displaystyle zeta (X, q ^ {- n} T ^ {- 1}) = pm q ^ { frac {nE} {2}} T ^ {E} zeta (X, T)}$

   kde E je Eulerova charakteristika z X. Zejména pro každého i, čísla α_2n−i,1, α_2n−i,2, ... rovná se čísla qⁿ/α_i,1, qⁿ/α_i,2,… V určitém pořadí.
3. (Riemannova hypotéza) |α_i,j| = q^i/2 pro všechny 1 ≤ i ≤ 2n − 1 a všechno j. To znamená, že všechny nuly P_k(T) leží na „kritické linii“ komplexních čísel s se skutečnou částí k/2.
4. (Betti čísla) Pokud X je (dobrý) "redukční mod p "z ne singulární projektivní rozmanitost Y definováno nad číselným polem vloženým do pole komplexních čísel, potom stupeň P_i je i^th Betti číslo prostoru komplexních bodů Y.

Příklady

Projektivní linie

Nejjednodušší příklad (jiný než bod) je vzít X být projektivní linií. Počet bodů X přes pole s q^m elements is just N_m = q^m + 1 (Kde "+ 1„pochází z“bod v nekonečnu "). Funkce zeta je pouze

1/(1 − q^−s)(1 − q^1−s).

Je snadné zkontrolovat všechny části Weilových domněnek přímo. Například odpovídající komplexní odrůda je Riemannova koule a jeho počáteční čísla Betti jsou 1, 0, 1.

Projektivní prostor

Není to o moc těžší n-dimenzionální projektivní prostor. Počet bodů X nad polem s q^m prvky jsou správné N_m = 1 + q^m + q^2m + ⋯ + q^nm. Funkce zeta je spravedlivá

1/(1 − q^−s)(1 − q^1−s)(1 − q^2−s)⋯(1 − q^n−s).

Je opět snadné zkontrolovat všechny části Weilových domněnek přímo. (Složitý projektivní prostor dává příslušná čísla Betti, která téměř určují odpověď.)

Počet bodů na projektivní linii a projektivní prostor lze vypočítat tak snadno, protože je lze zapsat jako disjunktní spojení konečného počtu kopií afinních prostorů. Je také snadné dokázat Weilovy domněnky pro jiné prostory, jako jsou Grassmannians a odrůdy vlajek, které mají stejnou vlastnost „dlažby“.

Eliptické křivky

Ty dávají první netriviální případy Weilových domněnek (prokázané Hasseem) E je eliptická křivka přes konečné pole s q prvků, pak počet bodů E definováno přes pole s q^m prvků je 1 − α^m − β^m + q^m, kde α a β jsou komplexní konjugáty s absolutní hodnotou √qFunkce zeta je

ζ(E, s) = (1 − αq^−s)(1 − βq^−s)/(1 − q^−s)(1 − q^1−s).

Weilova kohomologie

Weil navrhl, že dohady budou následovat z existence vhodného “Weilova kohomologická teorie „pro odrůdy nad konečnými poli, podobné obvyklé kohomologii s racionálními koeficienty pro komplexní odrůdy. Jeho myšlenka byla, že pokud F je Frobenius automorfismus přes konečné pole, pak počet bodů odrůdy X přes pole objednávky q^m je počet pevných bodů F^m (působící na všechny body odrůdy X definované přes algebraické uzavření). V algebraické topologii lze počet pevných bodů automorfismu vypočítat pomocí Lefschetzova věta o pevném bodě, daný jako střídavý součet stop na kohomologické skupiny. Takže pokud by existovaly podobné kohomologické skupiny pro odrůdy nad konečnými poli, pak by mohla být zeta funkce vyjádřena v nich.

Prvním problémem je, že pole koeficientů pro Weilovu kohomologickou teorii nemohou být racionální čísla. Chcete-li to vidět, zvažte případ a nadpřirozený eliptická křivka přes konečné pole charakteristik p. Endomorfistický prsten tohoto řádu je řád v a čtveřice algebra nad racionály a měl by působit na první kohomologickou skupinu, kterou by měl být 2-dimenzionální vektorový prostor nad polem koeficientu analogicky s případem komplexní eliptické křivky. Kvaternionová algebra nad raciony však nemůže působit na 2-dimenzionální vektorový prostor nad racionály. Stejný argument vylučuje možnost, že pole koeficientu bude reálné nebo p-adická čísla, protože kvaternionová algebra je stále divizní algebra nad těmito poli. To však nevylučuje možnost, že pole koeficientu je polem l-adická čísla pro některé prvočísla l ≠ p, protože nad těmito poli se dělící algebra rozděluje a stává se maticovou algebrou, která může působit na dvourozměrný vektorový prostor. Grothendieck a Michael Artin se podařilo postavit vhodné cohomologické teorie nad polem l-adická čísla pro každé prvočíslo l ≠ p, volala l- adic cohomology.

Grothendieckovy důkazy tří ze čtyř domněnek

Do konce roku 1964 Grothendieck společně s Artinem a Jean-Louis Verdier (a dřívější práce Dworka z roku 1960) prokázaly Weilovy domněnky kromě nejobtížnějšího třetího domněnky výše (hypotéza „Riemannova hypotéza“) (Grothendieck 1965). Obecné věty o étale cohomology umožnily Grothendieckovi dokázat analogii Lefschetzova vzorce s pevným bodem pro l-adická kohomologická teorie a její aplikace na Frobeniově automorfismu F dokázal prokázat domnělý vzorec pro funkci zeta:

${ displaystyle zeta (s) = { frac {P_ {1} (T) cdots P_ {2n-1} (T)} {P_ {0} (T) P_ {2} (T) cdots P_ {2n} (T)}}}$

kde každý polynom P_i je určující I - TF na l-adická kohomologická skupina Hⁱ.

Racionalita funkce zeta následuje okamžitě. Funkční rovnice pro funkci zeta vyplývá z Poincarého duality pro l-adická kohomologie a vztah ke komplexním Bettiho číslům výtahu vyplývá z věty o srovnání l-adická a běžná kohomologie pro složité odrůdy.

Obecněji se Grothendieck ukázal jako podobný vzorec pro funkci zeta (nebo „zobecněnou funkci L“) svazku F₀:

${ displaystyle Z (X_ {0}, F_ {0}, t) = prod _ {x in | X_ {0} |} det (1-F_ {x} ^ {*} t ^ { deg (x)} | F_ {0}) ^ {- 1}}$

jako produkt přes kohomologické skupiny:

${ displaystyle Z (X_ {0}, F_ {0}, t) = prod _ {i} det (1-F ^ {*} t | H_ {c} ^ {i} (F)) ^ { (-1) ^ {i + 1}}}$

Zvláštní případ konstantního svazku dává obvyklou funkci zeta.

Deligneův první důkaz hypotézy Riemannovy hypotézy

Verdier (1974), Serre (1975), Katz (1976) a Freitag & Kiehl (1988) dal výkladové účty prvního důkazu o Deligne (1974). Velká část pozadí v l-adická kohomologie je popsána v (Deligne 1977 ).

Deligneův první důkaz zbývajícího třetího Weilova dohadu („Riemannova hypotéza“) použil následující kroky:

Použití tužek Lefschetz

• Grothendieck vyjádřil funkci zeta, pokud jde o stopu Frobeniuse na l-adické kohomologické skupiny, takže Weilovy domněnky pro a d-dimenzionální odrůda PROTI přes konečné pole s q prvky závisí na prokázání, že vlastní čísla α Frobenius působící na ith l-adická kohomologická skupina Hⁱ(PROTI) z PROTI mít absolutní hodnoty |α|=q^i/2 (pro vložení algebraických prvků z Q_l do komplexních čísel).
• Po vyhodit do vzduchu PROTI a rozšířením základního pole lze předpokládat, že odrůda PROTI má morfismus na projektivní linii P¹, s konečným počtem singulárních vláken s velmi mírnými (kvadratickými) singularitami. Teorie monodromy z Lefschetz tužky, zavedený pro složité odrůdy (a běžnou kohomologii) autorem Lefschetz (1924) a rozšířeno o Grothendieck (1972) a Deligne & Katz (1973) na l-adic cohomology, se týká cohomology of PROTI k vláknům. Vztah závisí na prostoru E_X z mizející cykly, podprostor kohomologie H^d−1(PROTI_X) jiného než singulárního vlákna PROTI_X, překlenutý třídami, které mizí na singulárních vláknech.
• The Lerayova spektrální sekvence se týká střední kohomologické skupiny PROTI na cohomologii vlákna a základny. Nejtěžší částí je více či méně skupina H¹(P¹, j_*E) = H¹
  _C(U,E), kde U je body projektivní linie s nesingulárními vlákny a j je zahrnutí U do projektivní linie a E je svazek s vlákny prostorů E_X mizejících cyklů.

Klíčový odhad

Srdcem Deligneova důkazu je ukázat, že snop E přes U je čisté, jinými slovy, najít absolutní hodnoty vlastních čísel Frobenia na jeho stopkách. Toho se dosahuje studiem zeta funkcí sudých sil E^k z E a použití Grothendieckova vzorce pro zeta funguje jako alternativní produkt oproti kohomologickým skupinám. Rozhodující myšlenka uvažovat dokonce k pravomoci E byl inspirován papírem Rankin  (1939 ), který použil podobný nápad s k= 2 pro ohraničení Funkce Ramanujan tau. Langlands (1970, oddíl 8) poukázal na to, že zobecnění Rankinova výsledku pro vyšší sudé hodnoty k by znamenalo Ramanujan dohad a Deligne si uvědomili, že v případě zeta funkcí odrůd poskytla Grothendieckova teorie zeta funkcí snopů analogii tohoto zevšeobecnění.

• Póly funkce zeta z E^k se nacházejí pomocí Grothendieckova vzorce

${ displaystyle Z (U, E ^ {k}, T) = { frac { det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {1} (E ^ {k}))} { det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {0} (E ^ {k})) det (1-F ^ {*} T | H_ {c} ^ {2} (E ^ {k}))}}}$

a výslovný výpočet skupin cohomologie ve jmenovateli. The H⁰
_C termín je obvykle jen 1 jako U obvykle není kompaktní a H²
_C lze vypočítat výslovně následovně. Poincaré dualita souvisí H²
_C(E^k) až H⁰
(E^k), což je zase prostor kovarianty skupiny monodromy, což je geometrická základní skupina U působící na vlákno E^k v určitém okamžiku. Vlákno z E má bilineární formu indukovanou pohárový produkt, což je antisymetrické, pokud d je sudý a dělá E do symplektického prostoru. (To je trochu nepřesné: Deligne to později ukázal E∩E^⊥ = 0 pomocí tvrdá Lefschetzova věta, to vyžaduje Weilovy dohady a důkaz Weilových dohadů musí skutečně použít trochu složitější argument s E/E∩E^⊥ spíše než E.) Argument Kazhdana a Margulise ukazuje, že obraz skupiny monodromy působí E, dané Picard – Lefschetzův vzorec, je Zariski hustý v symplektické skupině, a proto má stejné invarianty, které jsou dobře známé z klasické invariantní teorie. Sledování akce Frobenius v tomto výpočtu ukazuje, že jeho vlastní hodnoty jsou všechny q^k(d−1)/2+1, takže zeta funkce Z(E^k,T) má póly pouze v T=1/q^k(d−1)/2+1.

• Produkt Euler pro funkci zeta E^k je

${ displaystyle Z (E ^ {k}, T) = prod _ {x} { frac {1} {Z (E_ {x} ^ {k}, T)}}}$

Li k je dokonce pak všechny koeficienty faktorů napravo (považováno za výkonovou řadu v T) jsou nezáporné; toto následuje psaním

${ displaystyle { frac {1} { det (1-T ^ { deg (x)} F_ {x} | E ^ {k})}} = exp left ( sum _ {n> 0 } { frac {T ^ {n}} {n}} { text {Trace}} (F_ {x} ^ {n} | E) ^ {k} vpravo)}$

a s využitím skutečnosti, že stopy po moci F jsou racionální, takže jejich k pravomoci jsou nezáporné jako k je sudý. Deligne dokazuje racionalitu stop tím, že je spojuje s počtem bodů odrůd, které jsou vždy (racionální) celá čísla.

• Série sil pro Z(E^k, T) konverguje pro T menší než absolutní hodnota 1 /q^k(d−1)/2+1 svého jediného možného pólu. Když k je dokonce i koeficienty všech jeho Eulerových faktorů nezáporné, takže každý z Eulerových faktorů má koeficienty ohraničené konstantní dobou koeficientů Z(E^k, T), a proto konverguje ke stejné oblasti a v této oblasti nemá žádné póly. Tak pro k dokonce i polynomy Z(E^k
  _X, T) nemají v této oblasti žádné nuly, nebo jinými slovy vlastní hodnoty Frobenius na stopkách E^k mít absolutní hodnotu nanejvýš q^k(d−1)/2+1.
• Tento odhad lze použít k nalezení absolutní hodnoty jakéhokoli vlastního čísla α Frobenius na vlákno E jak následuje. Pro jakékoli celé číslo k, α^k je vlastní číslo Frobenius na stopce E^k, který pro k dokonce je ohraničen q^1+k(d−1)/2. Tak

${ displaystyle | alpha ^ {k} | leq q ^ {k (d-1) / 2 + 1}}$

Protože to platí pro libovolně velké sudé k, z toho vyplývá, že

${ displaystyle | alpha | leq q ^ {(d-1) / 2}.}$

Poincaré dualita pak to naznačuje

${ displaystyle | alpha | = q ^ {(d-1) / 2}.}$

Vyplnění dokladu

Dedukce Riemannovy hypotézy z tohoto odhadu je většinou poměrně přímým použitím standardních technik a provádí se následovně.

• Vlastní čísla Frobenia na H¹
  _C(U,E) lze nyní odhadnout, protože se jedná o nuly zeta funkce svazku E. Tuto funkci zeta lze zapsat jako Eulerův produkt funkcí zeta stonků Ea použití odhadu vlastních čísel na těchto stopkách ukazuje, že tento produkt konverguje k |T|<q^−d/2−1/2, takže v této oblasti nejsou nuly funkce zeta. To znamená, že vlastní hodnoty Frobenius na E jsou nanejvýš q^d/2+1/2 v absolutní hodnotě (ve skutečnosti bude brzy vidět, že mají absolutní hodnotu přesně q^d/2). Tento krok argumentu je velmi podobný obvyklému důkazu, že funkce Riemannova zeta nemá nuly se skutečnou částí větší než 1, a to zápisem jako produkt Euler.
• Závěrem je, že vlastní čísla α Frobenius různých sudých rozměrů d na střední kohomologické skupině uspokojit

${ displaystyle | alpha | leq q ^ {d / 2 + 1/2}}$

K získání Riemannovy hypotézy je třeba eliminovat 1/2 z exponentu. To lze provést následovně. Aplikování tohoto odhadu na jakoukoli sudou mocninu PROTI^k z PROTI a pomocí Künneth vzorec ukazuje, že vlastní čísla Frobenia na střední kohomologii odrůdy PROTI jakékoli dimenze d uspokojit

${ displaystyle | alpha ^ {k} | leq q ^ {kd / 2 + 1/2}}$

Protože to platí pro libovolně velké sudé k, z toho vyplývá, že

${ displaystyle | alpha | leq q ^ {d / 2}}$

Poincaré dualita pak to naznačuje

${ displaystyle | alpha | = q ^ {d / 2}.}$

• To dokazuje Weilovy domněnky pro střední kohomologii odrůdy. Welovy domněnky pro cohomologii pod střední dimenzí z toho vyplývají použitím slabá Lefschetzova věta a domněnky o cohomologii nad střední dimenzí pak vyplývají z Poincarého duality.

Deligneův druhý důkaz

Deligne (1980) našel a prokázal zevšeobecnění Weilových domněnek, ohraničujících váhy přítlaku snopu. V praxi je to spíše toto zobecnění než původní Weilovy dohady, které se většinou používají v aplikacích, jako je tvrdá Lefschetzova věta. Hodně z druhého důkazu je přeskupení myšlenek jeho prvního důkazu. Hlavní potřebnou další myšlenkou je argument úzce související s teorémem o Jacques Hadamard a Charles Jean de la Vallée Poussin, který Deligne používá k prokázání různých L-series nemají nuly se skutečnou částí 1.

Konstruktivní svazek na odrůdě přes konečné pole se nazývá čistá váha β pokud pro všechny body X vlastní čísla Frobenius v X všechny mají absolutní hodnotu N(X)^β/2, a nazývá se smíšená o hmotnosti ≤β pokud to lze zapsat jako opakovaná rozšíření čistými snopy s váhami ≤β.

Deligneova věta říká, že pokud F je tedy morfismus schémat konečného typu nad konečným polem RⁱF_! bere smíšené snopy o hmotnosti ≤β na smíšené snopy o hmotnosti ≤β+i.

Původní Weilovy domněnky následují převzetím F být morfismem od hladké projektivní rozmanitosti k bodu a vzhledem k neustálému svazku Q_l na odrůdě. To dává horní hranici absolutních hodnot vlastních čísel Frobeniuse a Poincarého dualita pak ukazuje, že se jedná také o dolní hranici.

Obecně RⁱF_! neberou čisté snopy na čisté snopy. Platí to však, když platí vhodná forma Poincarého duality, například pokud F je plynulý a správný, nebo pokud s ním někdo pracuje perverzní snopy spíše než snopy jako v Beilinson, Bernstein & Deligne (1982).

Inspirován prací Witten (1982) na Morseova teorie, Laumon (1987) našel další důkaz pomocí Deligneho l-adická Fourierova transformace, což mu umožnilo zjednodušit Deligneův důkaz tím, že se vyhnul použití metody Hadamarda a de la Vallée Poussina. Jeho důkaz zobecňuje klasický výpočet absolutní hodnoty Gaussovy částky s využitím skutečnosti, že norma Fourierovy transformace má jednoduchý vztah k normě původní funkce. Kiehl & Weissauer (2001) použili Laumonův důkaz jako základ pro svou expozici Deligneovy věty. Katz (2001) dal další zjednodušení Laumonova důkazu pomocí monodromy v duchu prvního Delignova důkazu. Kedlaya (2006) poskytl další důkaz pomocí Fourierovy transformace a nahradil etomovou kohomologii rigidní kohomologie.

Aplikace

• Deligne (1980) byl schopen prokázat tvrdá Lefschetzova věta přes konečná pole pomocí svého druhého důkazu Weilových domněnek.
• Deligne (1971) předtím prokázal, že Ramanujan-Peterssonova domněnka vyplývá z Weilových domněnek.
• Deligne (1974, část 8) použila Weilovy dohady k prokázání odhadů exponenciálních součtů.
• Nick Katz a William Messing (1974 ) byli schopni prokázat Standardní domněnka typu Künneth přes konečná pole pomocí Deligneova důkazu o Weilových domněnkách.

Reference

• Artin, Emil (1924), "Quadratische Körper im Gebiete der höheren Kongruenzen. II. Analytischer Teil", Mathematische Zeitschrift, 19 (1): 207–246, doi:10.1007 / BF01181075, ISSN  0025-5874
• Beilinson, Alexander A.; Bernstein, Joseph; Deligne, Pierre (1982), "Faisceaux pervers", Analýza a topologie singulárních prostorů, I (Luminy, 1981), Astérisque, 100, Paříž: Société Mathématique de France, s. 5–171, PAN  0751966
• Deligne, Pierre (1971), „Formes modulaires et représentations l-adiques“, Séminaire Bourbaki sv. 1968/69 Vystavuje 347-363 Přednášky z matematiky, 179, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0058801, ISBN  978-3-540-05356-9
• Deligne, Pierre (1974), „La Conecture de Weil. Já“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 43 (43): 273–307, doi:10.1007 / BF02684373, ISSN  1618-1913, PAN  0340258
• Deligne, Pierre, vyd. (1977), Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - Cohomologie étale (SGA 4.5), Přednášky z matematiky (ve francouzštině), 569, Berlín: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0091516, ISBN  978-0-387-08066-6, archivovány z originál dne 15. 5. 2009, vyvoláno 2010-02-03
• Deligne, Pierre (1980), „La Conecture de Weil. II“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 52 (52): 137–252, doi:10.1007 / BF02684780, ISSN  1618-1913, PAN  0601520
• Deligne, Pierre; Katz, Nicholas (1973), Skupiny monodromie en géométrie algébrique. II, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 340, 340, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0060505, ISBN  978-3-540-06433-6, PAN  0354657
• Dwork, Bernarde (1960), „K racionalitě funkce zeta algebraické odrůdy“, American Journal of Mathematics, American Journal of Mathematics, sv. 82, č. 3, 82 (3): 631–648, doi:10.2307/2372974, ISSN  0002-9327, JSTOR  2372974, PAN  0140494
• Freitag, Eberhard; Kiehl, Reinhardt (1988), Étaleova kohomologie a Weilova domněnka, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech (3)], 13, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-02541-3, ISBN  978-3-540-12175-6, PAN  0926276
• Grothendieck, Alexander (1960), „Teorie kohomologie abstraktních algebraických odrůd“, Proc. Internat. Kongresová matematika. (Edinburgh, 1958), Cambridge University Press, str. 103–118, PAN  0130879
• Grothendieck, Alexander (1995) [1965], „Formule de Lefschetz et rationalité des fonctions L“, Seminář Bourbaki, 9, Paříž: Société Mathématique de France, str. 41–55, PAN  1608788
• Grothendieck, Alexander (1972), Skupiny monodromie en géométrie algébrique. Já, Lecture Notes in Mathematics, Vol. 288, 288, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0068688, ISBN  978-3-540-05987-5, PAN  0354656
• Katz, Nicholas M. (1976), „Přehled Deligneova důkazu Riemannovy hypotézy pro odrůdy nad konečnými poli“, Matematický vývoj vyplývající z Hilbertových problémů, Proc. Symposy. Čistá matematika., XXVIII„Providence, R. I .: Americká matematická společnost, str. 275–305, PAN  0424822
• Katz, Nicholas (2001), „L-funkce a monodromy: čtyři přednášky o Weilovi II“, Adv. Matematika., 160 (1): 81–132, doi:10.1006 / aima.2000.1979, PAN  1831948
• Katz, Nicholas M.; Messing, William (1974), „Některé důsledky Riemannovy hypotézy pro odrůdy nad konečnými poli“, Inventiones Mathematicae, 23: 73–77, Bibcode:1974InMat..23 ... 73K, doi:10.1007 / BF01405203, ISSN  0020-9910, PAN  0332791
• Kedlaya, Kiran S. (2006), „Fourierovy transformace a p-adic 'Weil II'", Compositio Mathematica, 142 (6): 1426–1450, arXiv:matematika / 0210149, doi:10.1112 / S0010437X06002338, ISSN  0010-437X, PAN  2278753
• Kiehl, Reinhardt; Weissauer, Rainer (2001), Weilovy domněnky, perverzní snopy a l'adická Fourierova transformace, Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. Řada moderních průzkumů v matematice [Výsledky v matematice a souvisejících oblastech. 3. série. Řada moderních průzkumů v matematice], 42, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-04576-3, ISBN  978-3-540-41457-5, PAN  1855066
• Kleiman, Steven L. (1968), „Algebraické cykly a Weilovy dohady“, Dix esposés sur la cohomologie des schémas, Amsterdam: Severní Holandsko, s. 359–386, PAN  0292838
• Langlands, Robert P. (1970), „Problémy v teorii automorfních forem“, Přednášky z moderní analýzy a aplikací, III, Přednášky v matematice, 170, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 18–61, doi:10.1007 / BFb0079065, ISBN  978-3-540-05284-5, PAN  0302614
• Laumon, Gérard (1987), „Transformation de Fourier, Constantes d'équations fonctionnelles et Conecture de Weil“, Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 65 (65): 131–210, doi:10.1007 / BF02698937, ISSN  1618-1913, PAN  0908218
• Lefschetz, Solomon (1924), L'Analysis situs et la géométrie algébrique„Collection de Monographies publiée sous la Direction de M. Émile Borel (ve francouzštině), Paříž: Gauthier-Villars Přetištěno Lefschetz, Solomon (1971), Vybrané příspěvky, New York: Chelsea Publishing Co., ISBN  978-0-8284-0234-7, PAN  0299447
• Mazur, Barry (1974), „Vlastní hodnoty Frobenius působící na algebraické odrůdy nad konečnými poli“, v Hartshorne, Robine (vyd.), Algebraická geometrie, Arcata 1974Sborník sympozií z čisté matematiky, 29, ISBN  0-8218-1429-X
• Moreno, O. (2001) [1994], „Bombieri-Weil vázán“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Rankin, Robert A.; Hardy, G. H. (1939), "Příspěvky k teorii Ramanujanovy funkce τ a podobných aritmetických funkcí. II. Pořadí Fourierových koeficientů integrálních modulárních forem", Sborník Cambridge Philosophical Society, 35 (3): 357–372, Bibcode:1939PCPS ... 35..357R, doi:10.1017 / S0305004100021101, PAN  0000411
• Serre, Jean-Pierre (1960), „Analogues kählériens de certainesectectures de Weil“, Annals of Mathematics, Second Series, The Annals of Mathematics, sv. 71, č. 2, 71 (2): 392–394, doi:10.2307/1970088, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970088, PAN  0112163
• Serre, Jean-Pierre (1975), „Valeurs propers des endomorphismes de Frobenius [d'après P. Deligne]“, Séminaire Bourbaki sv. 1973/74 Vystavuje 436–452 Přednášky z matematiky, 431, s. 190–204, doi:10.1007 / BFb0066371, ISBN  978-3-540-07023-8
• Verdier, Jean-Louis (1974), „Indépendance par rapport a ℓ des polynômes caractéristiques des endomorphismes de frobenius de la cohomologie ℓ-adique“, Séminaire Bourbaki sv. 1972/73 Vystavuje 418–435 Přednášky z matematiky, 383Springer Berlin / Heidelberg, str. 98–115, doi:10.1007 / BFb0057304, ISBN  978-3-540-06796-2
• Weil, André (1949), "Počty řešení rovnic v konečných polích", Bulletin of the American Mathematical Society, 55 (5): 497–508, doi:10.1090 / S0002-9904-1949-09219-4, ISSN  0002-9904, PAN  0029393 Přetištěno v Oeuvres Scientifiques / Collected Papers od André Weila ISBN  0-387-90330-5
• Witten, Edward (1982), „Supersymetrie a Morseova teorie“, Journal of Differential Geometry, 17 (4): 661–692, doi:10,4310 / jdg / 1214437492, ISSN  0022-040X, PAN  0683171, archivovány z originál dne 16. 4. 2013

externí odkazy