Loop prostor - Loop space

v topologie, pobočka matematika, prostor smyčky ΩX a špičatý topologický prostor X je prostor (založených) smyček v X, tj. kontinuální špičaté mapy od špičaté kruh S¹ na X, vybavené kompaktně otevřená topologie. Dvě smyčky lze vynásobit zřetězení. S touto operací je smyčkový prostor A_∞-prostor. To znamená, že násobení je homotopy-koherentně asociativní.

The soubor z součásti cesty ΩX, tj. sada založené na homotopii třídy ekvivalence založených smyček v X, je skupina, základní skupina π₁(X).

The iterované mezery z X jsou vytvořeny opakovaným použitím Ω.

Pro topologické prostory bez základního bodu existuje analogická konstrukce. The volný prostor pro smyčku topologického prostoru X je prostor map z kruhu S¹ na X s kompaktně otevřenou topologií. Volný prostor smyčky X je často označován ${ displaystyle { mathcal {L}} X}$.

Jako funktor, konstrukce volného prostoru je pravý adjoint na kartézský součin s kruhem, zatímco konstrukce smyčkového prostoru je vpravo přidružená k snížené zavěšení. Toto doplnění odpovídá za velkou část významu smyčkových prostorů v stabilní homotopická teorie. (Související jev v počítačová věda je kari, kde je kartézský součin přidružen k domácí funktor.) Neformálně se to označuje jako Dualita Eckmann – Hilton.

Dualita Eckmann – Hilton

Prostor smyčky je duální vůči suspenze stejného prostoru; tato dualita se někdy nazývá Dualita Eckmann – Hilton. Základní pozorování je to

${ displaystyle [ Sigma Z, X] přibližně [Z, Omega X]}$

kde ${ displaystyle [A, B]}$ je sada tříd homotopy map ${ displaystyle A rightarrow B}$,a ${ displaystyle Sigma A}$ je pozastavení A, a ${ displaystyle přibližný}$ označuje přírodní homeomorfismus. Tento homeomorfismus je v podstatě to kari, modulovat kvocienty potřebné k převodu produktů na redukované produkty.

Obecně, ${ displaystyle [A, B]}$ nemá skupinovou strukturu pro libovolné prostory ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$. Je však možné ukázat, že ${ displaystyle [ Sigma Z, X]}$ a ${ displaystyle [Z, Omega X]}$ mají přirozené skupinové struktury, když ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle X}$ jsou špičatý, a výše uvedený izomorfismus je z těchto skupin.^[1] Tedy nastavení ${ displaystyle Z = S ^ {k-1}}$ (dále jen ${ displaystyle k-1}$ sféra) dává vztah

${ displaystyle pi _ {k} (X) přibližný pi _ {k-1} ( Omega X)}$.

Toto následuje, protože homotopická skupina je definován jako ${ displaystyle pi _ {k} (X) = [S ^ {k}, X]}$ a koule lze získat vzájemným zavěšením, tj. ${ displaystyle S ^ {k} = Sigma S ^ {k-1}}$.^[2]

Viz také

• Eilenberg – MacLaneův prostor
• Volná smyčka
• Základní skupina
• Seznam topologií
• Skupina smyček
• Cesta (topologie)
• Kvazigroup
• Spektrum (topologie)

Reference

• Adams, John Frank (1978), Nekonečné smyčkové prostory, Annals of Mathematics Studies, 90, Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08207-3, PAN  0505692
• May, J. Peter (1972), Geometrie iterovaných smyčkových prostorů Přednášky z matematiky, 271, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007 / BFb0067491, ISBN  978-3-540-05904-2, PAN  0420610