Khovanovova homologie - Khovanov homology
v matematika, Khovanovova homologie je orientovaný odkaz invariantní který vzniká jako homologie a řetězový komplex. Lze jej považovat za kategorizace z Jonesův polynom.
To bylo vyvinuto na konci 90. let společností Michail Khovanov, pak na University of California, Davis, nyní v Columbia University.
Přehled
K jakémukoli schématu propojení D představující a odkaz L, přiřadíme Khovanov držák [D], a řetězový komplex z odstupňované vektorové prostory. Toto je analogie Kauffman držák při stavbě Jonesův polynom. Dále se normalizujeme [D] řadou posunů stupňů (v odstupňované vektorové prostory ) a výškové posuny (v řetězový komplex ) k získání nového komplexu řetězů C(D). The homologie tohoto řetězového komplexu se ukázalo být neměnný z La jeho hodnocení Eulerova charakteristika je Jonesův polynom z L.
Definice
Tato definice následuje formalismus uvedený v Dror Bar-Natan papír z roku 2002.
Nechť {l} označují stupeň posunu operace na odstupňovaných vektorových prostorech - tj. homogenní složka v rozměru m je posunut do dimenzem + l.
Podobně nechť [s] označují výškový posun operace na řetězových komplexech - tj rth vektorový prostor nebo modul v komplexu je posunuta k (r + s) th místo, se všemi diferenciální mapy odpovídajícím způsobem posunuta.
Nechat PROTI být odstupňovaný vektorový prostor s jedním generátorem q stupně 1 a jeden generátor q−1 stupně -1.
Nyní vezměte libovolný diagram D představující odkaz L. Axiomy pro Khovanov držák jsou následující:
- [Ó] = 0 → Z → 0, kde ø označuje prázdný odkaz.
- [Ó D] = PROTI ⊗ [D], kde O označuje nespojenou triviální složku.
- [D] = F(0 → [D0] → [D1]{1} → 0)
Ve třetí z nich F označuje operaci `` zploštění '', kde je z a vytvořen jediný komplex dvojitý komplex přímým součtem podél úhlopříček. Taky, D0 označuje „0-vyhlazení“ vybraného přechodu dovnitř D, a D1 označuje „1-vyhlazení“, analogicky k vztah přadeno pro držák Kauffman.
Dále sestavíme `normalizovaný 'komplex C(D) = [D][−n−]{n+ − 2n−}, kde n− označuje počet křížení levorukých ve vybraném diagramu pro D, a n+ počet přechodů pro praváky.
The Khovanovova homologie z L je pak definována jako homologie H(L) tohoto komplexu C(D). Ukazuje se, že Khovanovova homologie je skutečně invariantní L, a nezávisí na výběru schématu. Odstupňovaná Eulerova charakteristika H(L) se ukazuje jako Jonesův polynom z L. Nicméně, H(L) bylo prokázáno, že obsahuje více informací o L než Jonesův polynom, ale přesné podrobnosti ještě nejsou plně pochopeny.
V roce 2006 Dror Bar-Natan vyvinul počítačový program pro výpočet Khovanovské homologie (nebo kategorie) pro jakýkoli uzel.[1]
Související teorie
Jedním z nejzajímavějších aspektů Khovanovovy homologie je to, že její přesné sekvence jsou formálně podobné těm, které vznikají v Homologie Floer z 3 rozdělovače. Kromě toho byl použit k vytvoření dalšího důkazu o výsledku, který byl poprvé prokázán použitím teorie měřidel a jeho bratranci: nový důkaz věty Jacoba Rasmussena Peter Kronheimer a Tomasz Mrowka, dříve známý jako Milnor domněnka (viz. níže). Tady je spektrální sekvence týkající se Khovanovské homologie s uzel Floerova homologie z Peter Ozsváth a Zoltán Szabó (Dowlin 2018).[2] Tato spektrální sekvence ustálila dřívější domněnku o vztahu mezi těmito dvěma teoriemi (Dunfield et al. 2005). Další spektrální sekvence (Ozsváth-Szabó 2005) souvisí s variantou Khovanovské homologie s Heegaard Floerovou homologií větvených dvojitý kryt podél uzlu. Třetí (Bloom 2009) konverguje k variantě monopolní Floerovy homologie rozvětveného dvojitého krytu. V roce 2010 Kronheimer a Mrowka [3] vystavili spektrální sekvenci přiléhající k jejich instantnímu uzlu Floerova homologická skupina a pomocí toho ukázali, že Khovanovova homologie (jako Floonova homologie s okamžitým uzlem) detekuje uzel.
Khovanovova homologie souvisí s teorií reprezentace Lež algebra sl2. Michail Khovanov a Lev Rozansky od té doby definovali kohomologie teorie spojené se sln pro všechny n. V roce 2003 Catharina Stroppel rozšířila Khovanovovu homologii na invariant zamotání (kategorizovaná verze invezie Reshetikhin-Turaev), která také zobecňuje sln pro všechny n. Paul Seidel a Ivan Smith zkonstruovali ojedinělou teorii uzlové homologie pomocí Lagrangeovy křižovatky Homologie Floer, o nichž se domnívají, že jsou izomorfní s jednotlivě odstupňovanou verzí Khovanovské homologie. Ciprian Manolescu Od té doby zjednodušil jejich konstrukci a ukázal, jak získat Jonesův polynom z řetězového komplexu, který je základem jeho verze Seidel-Smithův invariant.
Vztah k spojovacím (uzlovým) polynomům
Na Mezinárodní kongres matematiků v roce 2006 poskytl Michail Khovanov následující vysvětlení vztahu k uzlovým polynomům z hlediska Khovanovské homologie. The vztah přadeno pro tři odkazy a je popsán jako
Střídání vede k polynomickému invariantu odkazu , normalizováno tak
Pro polynom lze interpretovat prostřednictvím teorie reprezentace z kvantová skupina a prostřednictvím kvantové lži superalgebra .
- The Alexanderův polynom je Eulerova charakteristika teorie homologie bigradovaného uzlu.
- je triviální.
- The Jonesův polynom je Eulerova charakteristika bigraded link homology theory.
- Celá HOMFLY-PT polynom je Eulerova charakteristika trojitě odstupňované teorie homologie odkazu.
Aplikace
První aplikaci Khovanovské homologie poskytl Jacob Rasmussen, který definoval s-neměnný pomocí Khovanovské homologie. Toto celé číslo s invariantem uzlu dává vazbu na rod plátek, a postačuje k prokázání Milnor domněnka.
V roce 2010, Kronheimer a Mrowka prokázal, že Khovanovova homologie detekuje rozepnout. Kategorizovaná teorie má více informací než nekategorizovaná teorie. Ačkoli Khovanovova homologie detekuje unknot, zatím není známo, zda Jonesův polynom dělá.
Poznámky
- ^ Nový vědec 18. října 2008
- ^ Dowlin, Nathan (2018-11-19). "Spektrální sekvence od Khovanovovy homologie k uzlové Floerově homologii". arXiv:1811.07848 [matematika. GT ].
- ^ Kronheimer, Peter B .; Mrowka, Tomasz (2011). „Khovanovská homologie je detektorem uzlů“. Publ. Matematika. Inst. Hautes Études Sci. 113: 97–208. arXiv:1005.4346. doi:10.1007 / s10240-010-0030-r. S2CID 119586228.
Reference
- Bar-Natan, Dror (2002), „K Khovanovově kategorizaci Jonesova polynomu“, Algebraická a geometrická topologie, 2: 337–370, arXiv:math.QA/0201043, Bibcode:2002math ...... 1043B, doi:10.2140 / agt.2002.2.337, PAN 1917056, S2CID 11754112.
- Bloom, Jonathan M. (2011), „Spektrální sekvence spojovací chirurgie v monopolní Floerově homologii“, Pokroky v matematice, 226 (4): 3216–3281, arXiv:0909.0816, doi:10.1016 / j.aim.2010.10.014, PAN 2764887, S2CID 11791207.
- Dunfield, Nathan M .; Gukov, Sergej; Rasmussen, Jacob (2006), „Superpolynom pro homologie uzlů“, Experimentální matematika, 15 (2): 129–159, arXiv:math.GT/0505662, doi:10.1080/10586458.2006.10128956, PAN 2253002, S2CID 3060662.
- Khovanov, Michail (2000), „Kategorizace Jonesova polynomu“, Duke Mathematical Journal, 101 (3): 359–426, arXiv:math.QA/9908171, doi:10.1215 / S0012-7094-00-10131-7, PAN 1740682, S2CID 119585149.
- Khovanov, Michail (2006), „Link homology and categorification“, Mezinárodní kongres matematiků. Sv. II, Zürich: European Mathematical Society, s. 989–999, arXiv:math.GT/0605339, PAN 2275632.
- Ozsváth, Peter; Szabó, Zoltán (2005), „On the Heegaard Floer homology of branched double-covers“, Pokroky v matematice, 194 (1): 1–33, arXiv:math.GT/0309170, doi:10.1016 / j.aim.2004.05.008, PAN 2141852, S2CID 17245314.
- Stroppel, Catharina (2005), „Kategorizace kategorie Temperley-Lieb, spleti a spolků prostřednictvím projektivních funktorů“, Duke Mathematical Journal, 126 (3): 547–596, CiteSeerX 10.1.1.586.3553, doi:10.1215 / S0012-7094-04-12634-X, PAN 2120117.