Konec (teorie kategorií) - End (category theory) - Wikipedia

v teorie kategorií, an konec funktora ${ displaystyle S: mathbf {C} ^ { mathrm {op}} times mathbf {C} to mathbf {X}}$ je univerzální extranaturální transformace z objektu E z X na S.^[1]

Přesněji řečeno, jedná se o pár ${ displaystyle (e, omega)}$, kde E je předmětem X a ${ displaystyle omega: e { ddot { to}} S}$ je extranaturální transformace taková, že pro každou extranaturální transformaci ${ displaystyle beta: x { ddot { to}} S}$ existuje jedinečný morfismus ${ displaystyle h: x to e}$ z X s ${ displaystyle beta _ {a} = omega _ {a} cir h}$ pro každý objekt A z C.

Zneužíváním jazyka objekt E se často nazývá konec funktoru S (zapomenout ${ displaystyle omega}$) a je napsán

${ displaystyle e = int _ {c} ^ {} S (c, c) { text {nebo jen}} int _ { mathbf {C}} ^ {} S.}$

Charakterizace jako limit: Pokud X je kompletní a C je malý, konec lze popsat jako ekvalizér v diagramu

${ displaystyle int _ {c} S (c, c) do prod _ {c v C} S (c, c) rightrightarrows prod _ {c to c '} S (c, c' ),}$

kde je první vyrovnaný morfismus vyvolán ${ displaystyle S (c, c) až S (c, c ')}$ a druhá je indukována ${ displaystyle S (c ', c') až S (c, c ')}$.

Coend

Definice coend funktora ${ displaystyle S: mathbf {C} ^ { mathrm {op}} times mathbf {C} to mathbf {X}}$ je dvojí definicí konce.

Tedy, coend of S se skládá z páru ${ displaystyle (d, zeta)}$, kde d je předmětem X a ${ displaystyle zeta: S { ddot { to}} d}$je nadpřirozená transformace, taková, že pro každou mimopřirozenou transformaci ${ displaystyle gamma: S { ddot { to}} x}$ existuje jedinečný morfismus${ displaystyle g: d až x}$ z X s ${ displaystyle gamma _ {a} = g circ zeta _ {a}}$ pro každý objekt A z C.

The coend d funktoru S je psáno

${ displaystyle d = int _ {} ^ {c} S (c, c) { text {or}} int _ {} ^ { mathbf {C}} S.}$

Charakterizace jako colimit: Duálně, pokud X je kompletní a C je malý, pak lze v diagramu popsat coend jako coequalizer

${ displaystyle int ^ {c} S (c, c) leftarrow coprod _ {c in C} S (c, c) leftleftarrows coprod _ {c to c '} S (c', c ).}$

Příklady

• Přirozené transformace:

Předpokládejme, že máme funktory ${ displaystyle F, G: mathbf {C} až mathbf {X}}$ pak

${ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathbf {X}} (F (-), G (-)): mathbf {C} ^ {op} times mathbf {C} to mathbf {Set }}$.

V tomto případě je kategorie sad úplná, takže potřebujeme pouze formulář ekvalizér a v tomto případě

${ displaystyle int _ {c} mathrm {Hom} _ { mathbf {X}} (F (c), G (c)) = mathrm {Nat} (F, G)}$

přirozené transformace z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$. Intuitivně přirozená transformace z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle G}$ je morfismus z ${ displaystyle F (c)}$ na ${ displaystyle G (c)}$ pro každého ${ displaystyle c}$ v kategorii s podmínkami kompatibility. Při pohledu na ekvalizační diagram definující konec je ekvivalence jasná.

• Geometrické realizace:

Nechat ${ displaystyle T}$ být zjednodušená sada. To znamená ${ displaystyle T}$ je funktor ${ displaystyle Delta ^ { mathrm {op}} to mathbf {Set}}$. The diskrétní topologie dává funktor ${ displaystyle mathbf {Nastavit} na mathbf {Nahoru}}$, kde ${ displaystyle mathbf {začátek}}$ je kategorie topologických prostorů. Kromě toho existuje mapa ${ displaystyle gamma: Delta to mathbf {začátek}}$ odeslání objektu ${ displaystyle [n]}$ z ${ displaystyle Delta}$ podle standardu ${ displaystyle n}$-simplex uvnitř ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n + 1}}$. Konečně je tu funktor ${ displaystyle mathbf {začátek} krát mathbf {začátek} do mathbf {začátek}}$ který vezme produkt dvou topologických prostorů.

Definovat ${ displaystyle S}$ být složkou tohoto funktoru produktu s ${ displaystyle T times gamma}$. The coend z ${ displaystyle S}$ je geometrická realizace ${ displaystyle T}$.

Reference

• konec v nLab
• Loregian, Fosco (2015). „Toto je (spolu) konec, můj jediný (spolu) přítel“. arXiv:1501.02503 [math.CT ].