Uzlový polynom - Knot polynomial

Mnoho uzlových polynomů se počítá pomocí vztahy přadeno, které umožňují měnit různé přechody uzlu a získat tak jednodušší uzly.

V matematický pole teorie uzlů, a uzlový polynom je uzel neměnný ve formě a polynomiální jehož koeficienty kódují některé vlastnosti dané uzel.

Dějiny

První uzel polynomu, Alexanderův polynom, byl představen James Waddell Alexander II v roce 1923, ale další polynomy uzlů byly nalezeny až o téměř 60 let později.

V šedesátých letech John Conway přišel s vztah přadeno pro verzi Alexanderova polynomu, obvykle označovanou jako Alexander – Conwayův polynom. Význam tohoto přadénkového vztahu byl realizován až počátkem 80. let, kdy Vaughan Jones objevil Jonesův polynom. To vedlo k objevení více uzlových polynomů, jako je tzv HOMFLY polynom.

Brzy po Jonesově objevu Louis Kauffman všiml si, že Jonesův polynom lze vypočítat pomocí a funkce oddílu (model stát-součet), který zahrnoval závorkový polynom, neměnný z zarámované uzly. Tím se otevřely cesty výzkumu spojující teorii uzlů a statistická mechanika.

Na konci 80. let došlo ke dvěma souvisejícím průlomům. Edward Witten prokázal, že Jonesův polynom a podobné invarianty Jonesova typu měly výklad v Teorie Chern – Simons. Viktor Vasilijev a Michail Goussarov zahájil teorii invarianty konečného typu uzlů. Je známo, že koeficienty dříve pojmenovaných polynomů jsou konečného typu (po možná vhodné „změně proměnných“).

V posledních letech bylo prokázáno, že Alexanderův polynom souvisí Homologie Floer. Hodnocení Eulerova charakteristika z uzel Floerova homologie z Peter Ozsváth a Zoltan Szabó je Alexanderův polynom.

Příklad

Alexander – Briggsova notace	Alexanderův polynom ${ displaystyle Delta (t)}$	Conwayův polynom ${ displaystyle nabla (z)}$	Jonesův polynom ${ displaystyle V (q)}$	HOMFLY polynom ${ displaystyle H (a, z)}$
${ displaystyle 0_ {1}}$ (Unknot )	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$	${ displaystyle 1}$
${ displaystyle 3_ {1}}$ (Trojlístek Knot )	${ displaystyle t-1 + t ^ {- 1}}$	${ displaystyle z ^ {2} +1}$	${ displaystyle q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4}}$	${ displaystyle -a ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2} + 2a ^ {2}}$
${ displaystyle 4_ {1}}$ (Uzel osmičky )	${ displaystyle -t + 3-t ^ {- 1}}$	${ displaystyle -z ^ {2} +1}$	${ displaystyle q ^ {2} -q + ​​1-q ^ {- 1} + q ^ {- 2}}$	${ displaystyle a ^ {2} + a ^ {- 2} -z ^ {2} -1}$
${ displaystyle 5_ {1}}$ (Uzel Cinquefoil )	${ displaystyle t ^ {2} -t + 1-t ^ {- 1} + t ^ {- 2}}$	${ displaystyle z ^ {4} + 3z ^ {2} +1}$	${ displaystyle q ^ {- 2} + q ^ {- 4} -q ^ {- 5} + q ^ {- 6} -q ^ {- 7}}$	${ displaystyle -a ^ {6} z ^ {2} -2a ^ {6} + a ^ {4} z ^ {4} + 4a ^ {4} z ^ {2} + 3a ^ {4}}$
${ displaystyle -}$ (Granny Knot )	${ displaystyle left (t-1 + t ^ {- 1} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (z ^ {2} +1 right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (-a ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2} + 2a ^ {2} right) ^ {2}}$
${ displaystyle -}$ (Čtvercový uzel )	${ displaystyle left (t-1 + t ^ {- 1} right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (z ^ {2} +1 right) ^ {2}}$	${ displaystyle left (q ^ {- 1} + q ^ {- 3} -q ^ {- 4} right) left (q + q ^ {3} -q ^ {4} right)}$	${ displaystyle left (-a ^ {4} + a ^ {2} z ^ {2} + 2a ^ {2} right) times}$ ${ displaystyle left (-a ^ {- 4} + a ^ {- 2} z ^ {- 2} + 2a ^ {- 2} doprava)}$

Alexander – Briggsova notace je zápis, který jednoduše organizuje uzly podle čísla křížení. Pořadí zápisu Alexander-Briggs z primární uzel je obvykle sured. (Vidět Seznam hlavních uzlů.)

Alexandrovy polynomy a Conwayovy polynomy umět ne rozpoznat rozdíl mezi uzlem trojlístku a uzlem trojlístku.

• 

  Uzel trojlístku vlevo.

• 

  Uzel pravého trojlístku.

Takže máme stejnou situaci jako uzel babičky a uzel hranatý od té doby přidání uzlů v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {3}}$ je produktem uzlů v uzlové polynomy.

Viz také

Specifické uzlové polynomy

• Alexanderův polynom
• Polynomiální závorka
• HOMFLY polynom
• Jonesův polynom
• Kauffmanův polynom

související témata

• Polynom grafu, podobná třída polynomiálních invariants v teorii grafů
• Tutteův polynom, speciální typ polynomu grafu souvisejícího s Jonesovým polynomem
• Přadénkový vztah pro formální definici Alexanderova polynomu s vypracovaným příkladem.

Další čtení

• Adams, Colin. Kniha uzlů. Americká matematická společnost. ISBN  0-8050-7380-9.
• Lickorish, W. B. R. (1997). Úvod do teorie uzlů. Postgraduální texty z matematiky. 175. New York: Springer-Verlag. ISBN  0-387-98254-X.