Soudržná dualita - Coherent duality

V matematice koherentní dualita je některá z řady zobecnění Serre dualita, přihlašování k koherentní snopy, v algebraická geometrie a komplexní potrubí teorie, stejně jako některé aspekty komutativní algebra které jsou součástí „místní“ teorie.

Historické kořeny teorie spočívají v myšlence adjoint lineární systém a lineární systém dělitelů v klasické algebraické geometrii. To bylo znovu vyjádřeno s příchodem teorie svazků, způsobem, který byl analogický s Poincaré dualita více patrné. Pak podle obecného principu Grothendieckovo relativní hledisko, teorie Jean-Pierre Serre byl rozšířen na a správný morfismus; Serre dualita byla získána jako případ morfismu a ne singulární projektivní rozmanitost (nebo úplná rozmanitost ) do bodu. Výsledná teorie se nyní někdy nazývá Serre – Grothendieck – Verdierova dualita, a je základním nástrojem v algebraické geometrii. Léčba této teorie, Zbytky a dualita (1966) Robin Hartshorne, se stal odkazem. Jeden konkrétní spin-off byl Grothendieckovy zbytky.

Jít nad rámec správných morfismů, pokud jde o verze Poincarého duality, které nejsou pro uzavřené rozdělovače, vyžaduje nějakou verzi kompaktní podpora pojem. To bylo řešeno v SGA2 ve smyslu místní kohomologie, a Grothendieck místní dualita; a následně. The Greenlees - může být dualita, poprvé formulován v roce 1976 Ralf Strebel a v roce 1978 Eben Matlis, je součástí pokračujícího zvažování této oblasti.

Úhel sdruženého funktoru

Funktory obrazu pro snopy
přímý obraz F∗
inverzní obraz F∗
přímý obraz s kompaktní podporou F!
výjimečný inverzní obraz Rf!
${ displaystyle f ^ {*} leftrightarrows f _ {*}}$
${ displaystyle (R) f _ {!} leftrightarrows (R) f ^ {!}}$
Věty o změně základny

Zatímco Serre dualita používá a svazek řádků nebo invertibilní svazek jako vizualizace svazku„Obecná teorie (jak se ukázalo) nemůže být tak jednoduchá. (Přesněji, může, ale za cenu Gorensteinův prsten Podmínka.) V charakteristickém obratu přeformuloval Grothendieck obecnou koherentní dualitu jako existenci a pravý adjoint funktor F^!, volala zkroucený nebo výjimečný funktor inverzního obrazu, na vyšší přímý obraz s kompaktní podporou funktor Rf_!.

Vyšší přímé obrázky jsou sheafifikovanou formou svazek kohomologie v tomto případě se správnou (kompaktní) podporou; jsou seskupeny do jednoho funktoru pomocí odvozená kategorie formulace homologická algebra (představeno s ohledem na tento případ). V případě, že f je správné Rf_! = Rf_∗ je sám o sobě pravým adjunktem k inverzní obraz funktor F^∗. The věta o existenci protože zkroucený inverzní obraz je jméno dané důkazu existence toho, co by bylo počítat pro Comonad hledaného spojení, a to a přirozená transformace

Rf_!F^! → id,

který je označen Tr_F (Hartshorne) nebo ∫_F (Verdier). Je to aspekt teorie nejblíže klasickému významu, jak naznačuje notace, že dualita je definována integrací.

Být přesnější, F^! existuje jako přesný funktor z odvozené kategorie kvazi-koherentní snopy na Y, do obdobné kategorie dne Xkdykoli

F: X → Y

je správný nebo kvaziprojektivní morfismus noetherských schémat, konečný Dimenze Krull.^[1] Z toho lze odvodit zbytek teorie: dualizační komplexy se stáhnou zpět F^!, Symbol zbytku Grothendieck, dualizační svazek v Cohen – Macaulay případ.

Abychom získali prohlášení v klasičtějším jazyce, ale stále širší než Serreova dualita, Hartshorne (Algebraická geometrie) používá Extra funktor snopů; toto je druh odrazového můstku do odvozené kategorie.

Klasické vyjádření Grothendieckovy duality pro projektivní nebo správný morfismus ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ noetherian schémat konečné dimenze, nalezený v Hartshorne (Zbytky a dualita) je následující kvazi-izomorfismus

${ displaystyle Rf _ {*} RHom_ {X} (F ^ { cdot}, f ^ {!} G ^ { cdot}) do RHom_ {Y} (Rf _ {*} F ^ { cdot}, G ^ { cdot})}$

pro F^⋅ ohraničený nad komplexem Ó_X-modulů s kvazi-koherentní kohomologií a G^⋅ komplex ohraničený níže Ó_Y- moduly s koherentní kohomologií. Tady Hom 's jsou svazek homomorfismů.

Stavba ${ displaystyle f ^ {!}}$ pseudofunktor využívající rigidní dualizační komplexy

V průběhu let se objevilo několik přístupů ke konstrukci ${ displaystyle f ^ {!}}$ vynořil se pseudofunktor. Jeden docela nedávný úspěšný přístup je založen na představě rigidního dualizačního komplexu. Tuto představu poprvé definoval Van den Bergh v nekomutativním kontextu.^[2] Konstrukce je založena na variantě odvozených Hochschildova kohomologie (Shukla cohomology): Let k být komutativní prsten, a nechť A být komutativní k-algebra. Je tu funktor ${ displaystyle RHom_ {A otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M otimes _ {k} ^ {L} M)}$ který bere komplex cochain M k objektu ${ displaystyle RHom_ {A otimes _ {k} ^ {L} A} (A, M otimes _ {k} ^ {L} M)}$ v odvozené kategorii nad A.^[3][4]

Asumming A je noetherian, tuhý dualizační komplex A ve vztahu k k je podle definice pár ${ displaystyle (R, rho)}$ kde R je dualizační komplex A který má konečný plochý rozměr k, a kde${ displaystyle rho: R to RHom_ {A otimes _ {k} ^ {L} A} (A, R otimes _ {k} ^ {L} R)}$ je izomorfismus v odvozené kategorii D (A). Pokud takový rigidní dualizační komplex existuje, pak je v silném smyslu jedinečný.^[5]

Za předpokladu A je lokalizace konečného typu k-algebra, existence rigidního dualizačního komplexu A ve vztahu k k bylo poprvé prokázáno Yekutieli a Zhang^[6] za předpokladu k je pravidelný noetherianský prstenec konečné dimenze Krull a Avramov, Iyengar a Lipman^[7] za předpokladu k je Gorensteinův prsten konečné dimenze Krull a A je konečného plochého rozměru A.

Li X je schéma konečného typu k, lze přilepit tuhé dualizační komplexy, které mají její afinní kousky,^[8][9] a získat rigidní dualizační komplex ${ displaystyle R_ {X}}$. Jakmile člověk vytvoří globální existenci rigidního dualizačního komplexu, dostane mapu ${ displaystyle f: X až Y}$ schémat přes k, lze definovat ${ displaystyle f ^ {!}: = D_ {X} circ Lf ^ {*} circ D_ {Y}}$, kde pro schéma X, jsme si stanovili ${ displaystyle D_ {X}: = RHom _ {{ mathcal {O}} _ {X}} (-, R_ {X})}$.

Dualizace složitých příkladů

Dualizační komplex pro projektivní rozmanitost

Dualizační komplex pro projektivní rozmanitost ${ displaystyle X podmnožina mathbb {P} ^ {n}}$ je dán komplexem

${ displaystyle omega _ {X} ^ { bullet} = mathrm {RHom} _ { mathbb {P} ^ {n}} ({ mathcal {O}} _ {X}, omega _ { mathbb {P} ^ {n}} [+ n])}$

^[10]

Rovina protínající čáru

Zvažte projektivní rozmanitost

${ displaystyle X = { text {Proj}} left ({ frac { mathbb {C} [x, y, z, w]} {(x) (y, z)}} right) = { text {Proj}} vlevo ({ frac { mathbb {C} [x, y, z, w]} {(xy, xz)}} vpravo)}$

Můžeme počítat ${ displaystyle mathrm {RHom} _ { mathbb {P} ^ {3}} ({ mathcal {O}} _ {X}, omega _ { mathbb {P} ^ {3}} [+ 3 ])}$ pomocí rozlišení ${ displaystyle { mathcal {L}} ^ { bullet} na { mathcal {O}} _ {X}}$ místně volnými snopy. To je dáno komplexem

${ displaystyle 0 až { mathcal {O}} (- 3) { xrightarrow { begin {bmatrix} z ​​ - y end {bmatrix}}} { mathcal {O}} (- 2) oplus { mathcal {O}} (- 2) { xrightarrow { begin {bmatrix} xy & xz end {bmatrix}}} { mathcal {O}} do { mathcal {O}} _ {X} do 0}$

Od té doby ${ displaystyle omega _ { mathbb {P} ^ {3}} cong { mathcal {O}} (- 4)}$ máme to

${ displaystyle omega _ {X} ^ { bullet} = mathrm {RHom} _ { mathbb {P} ^ {3}} ({ mathcal {L}} ^ { bullet}, { mathcal { O}} (- 4) [+ 3]) = mathrm {RHom} _ { mathbb {P} ^ {3}} ({ mathcal {L}} ^ { bullet} otimes { mathcal {O }} (4) [- 3], { mathcal {O}})}$

Toto je komplex

${ displaystyle [{ mathcal {O}} (- 4) { xrightarrow { begin {bmatrix} xy xz end {bmatrix}}} { mathcal {O}} (- 2) oplus { mathcal {O}} (- 2) { xrightarrow { begin {bmatrix} z ​​& -y end {bmatrix}}} { mathcal {O}} (- 1)] [- 3]}$

Viz také

• Vernější dualita

Poznámky

Reference

• Greenlees, J. P. C .; May, J. Peter (1992), „Odvozené funktory z Já-adické dokončení a místní homologie ", Journal of Algebra, 149 (2): 438–453, doi:10.1016 / 0021-8693 (92) 90026-I, ISSN  0021-8693, PAN  1172439
• Hartshorne, Robine (1966), Zbytky a dualita, Přednášky z matematiky 20, Berlín, New York: Springer-Verlag, s. 20–48
• Neeman, Amnon (1996), „Grothendieckova věta o dualitě pomocí Bousfieldových technik a Brownovy reprezentovatelnosti“, Journal of the American Mathematical Society, 9 (1): 205–236, doi:10.1090 / S0894-0347-96-00174-9, ISSN  0894-0347, PAN  1308405
• Verdier, Jean-Louis (1969), „Změna základny pro zkroucený inverzní obraz koherentních svazků“, Algebraic Geometry (Internat. Colloq., Tata Inst. Fund. Res., Bombay, 1968), Oxford University Press, str. 393–408, PAN  0274464
• Hopkins, Glenn, Algebraický přístup k symbolu zbytků Grothendiecka (PDF)