Kategorie dýky - Dagger category

v teorie kategorií, pobočka matematika, a kategorie dýky (také zvaný involutivní kategorie nebo kategorie s involucí^[1][2]) je kategorie vybavené určitou strukturou zvanou dýka nebo involuce. Název kategorie dýka vytvořil Peter Selinger.^[3]

Formální definice

A kategorie dýky je kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ vybaven involutivní funktor ${displaystyle dagger colon {mathcal {C}} ^ {op} ightarrow {mathcal {C}}}$ to je identita na předměty, kde ${displaystyle {mathcal {C}} ^ {op}}$ je opačná kategorie.

Podrobně to znamená, že se přidruží ke každému morfismus ${displaystyle fcolon A o B}$ v ${displaystyle {mathcal {C}}}$ své adjoint ${displaystyle f ^ {dagger} dvojtečka B o A}$ takové, že pro všechny ${displaystyle fcolon A o B}$ a ${displaystyle gcolon B o C}$,

• ${displaystyle mathrm {id} _ {A} = mathrm {id} _ {A} ^ {dagger} dvojtečka Aightarrow A}$
• ${displaystyle (gcirc! f) ^ {dagger} = f ^ {dagger}! circ g ^ {dagger} dvojtečka Cightarrow A}$
• ${displaystyle f ^ {dagger dagger}! = fcolon Aightarrow B}$

Všimněte si, že v předchozí definici je termín „adjoint“ používán analogickým způsobem (a inspirován) lineární-algebraický smyslu, nikoli v teoreticko-teoretickém smyslu.

Některé zdroje^[4] definovat a kategorie s involucí být kategorií dýky s dalšími vlastnostmi, které má soubor morfismů je částečně objednané a že pořadí morfismů je kompatibilní se složením morfismů ${displaystyle a$ naznačuje ${displaystyle acirc c$ pro morfismy ${displaystyle a}$, ${displaystyle b}$, ${displaystyle c}$ kdykoli jsou jejich zdroje a cíle kompatibilní.

Příklady

• Kategorie Rel z množiny a vztahy má strukturu dýky: pro danou vztah ${displaystyle R: Xightarrow Y}$ v Relvztah ${displaystyle R ^ {dagger}: Yightarrow X}$ je relační konverzace z ${displaystyle R}$. V tomto příkladu je samoadjungovaný morfismus a symetrický vztah.
• Kategorie Cob z cobordismů je dýka kompaktní kategorie, zejména má dýkovou strukturu.
• Kategorie Hilb z Hilbertovy prostory také má dýkovou strukturu: Vzhledem k tomu, a ohraničená lineární mapa ${displaystyle f: Aightarrow B}$, mapa ${displaystyle f ^ {dagger}: Bightarrow A}$ je jen jeho adjoint v obvyklém smyslu.
• Žádný monoid s involucí je kategorie dýky s pouze jedním objektem. Ve skutečnosti každý endomorfismus domovská sada v kategorii dýky není jednoduše a monoidní, ale monoid s involucí kvůli dýce.
• A diskrétní kategorie je triviálně kategorie dýky.
• A grupoid (a jako triviální důsledek, a skupina ) má také dýkovou strukturu s adjektivem morfismu, který je jeho inverzní. V tomto případě jsou všechny morfismy jednotné (definice níže).

Pozoruhodné morfismy

V kategorii dýky ${displaystyle {mathcal {C}}}$morfismus ${displaystyle f}$ je nazýván

• unitární -li ${displaystyle f ^ {dagger} = f ^ {- 1},}$
• sebe-adjunkt -li ${displaystyle f ^ {dagger} = f.}$

Druhá možnost je možná pouze pro endomorfismus ${displaystyle fcolon A o A}$. Podmínky unitární a sebe-adjunkt v předchozí definici jsou převzaty z kategorie Hilbertových prostorů, kde jsou potom morfismy splňující tyto vlastnosti unitární a sebe-adjunkt v obvyklém smyslu.

Viz také

• *-algebra
• Dýka symetrická monoidní kategorie
• Dýka kompaktní kategorie

Reference

• Kategorie dýky v nLab