Skupina homotopy - Homotopy group

v matematika, homotopické skupiny jsou používány v algebraická topologie třídit topologické prostory. První a nejjednodušší homotopická skupina je základní skupina, který zaznamenává informace o smyčky v prostor. Skupiny homotopy intuitivně zaznamenávají informace o základním tvaru nebo dírytopologického prostoru.

Definovat n-th homotopy group, the base-point-preserving maps from an n-dimenzionální koule (s základní bod ) do daného prostoru (se základním bodem) jsou shromážděny do třídy ekvivalence, volala třídy homotopy. Dvě mapování jsou homotopický jestliže jeden může být nepřetržitě deformován do druhého. Tyto třídy homotopy tvoří a skupina, volal n-tá homotopická skupina, ${ displaystyle pi _ {n} (X)}$, daného prostoru X se základním bodem. Topologické prostory s různými homotopy nejsou nikdy ekvivalentní (homeomorfní ), ale topologické prostory, které nejsou homeomorfní umět mají stejné homotopické skupiny.

Pojem homotopie cesty byl představen Camille Jordan.^[1]

Úvod

V moderní matematice je běžné studovat a kategorie podle sdružování pro každý objekt této kategorie jednodušší objekt, který si stále uchovává dostatečné informace o objektu zájmu. Homotopické skupiny jsou takový způsob asociace skupiny do topologických prostor.

Torus

A koule

Toto propojení mezi topologií a skupinami umožňuje matematikům aplikovat poznatky z teorie skupin na topologie. Například pokud dva topologické objekty mají různé skupiny homotopy, nemohou mít stejnou topologickou strukturu - což je obtížné prokázat pomocí pouze topologických prostředků. Například torus se liší od koule: torus má "díru"; koule ne. Protože se však kontinuita (základní pojem topologie) zabývá pouze lokální strukturou, může být obtížné formálně definovat zjevný globální rozdíl. Skupiny homotopy však nesou informace o globální struktuře.

Například: první homotopická skupina torusu T je

${ displaystyle pi _ {1} (T) = mathbb {Z} ^ {2},}$

protože univerzální kryt torusu je euklidovská rovina ${ displaystyle mathbb {R} ^ {2}}$, mapování na torus ${ displaystyle T cong mathbb {R} ^ {2} / mathbb {Z} ^ {2}}$. Zde je kvocient spíše v kategorii topologických prostorů než skupin nebo kruhů. Na druhou stranu koule ${ displaystyle S ^ {2}}$ splňuje:

${ displaystyle pi _ {1} (S ^ {2}) = 0,}$

protože každou smyčku lze zkrátit na konstantní mapu (viz homotopické skupiny koulí pro tento a složitější příklady skupin homotopy).

Proto torus není homeomorfní do koule.

Definice

V n-koule ${ displaystyle S ^ {n}}$ zvolíme základní bod A. Pro prostor X se základním bodem b, definujeme ${ displaystyle pi _ {n} (X)}$ být souborem homotopy tříd map

${ displaystyle f: S ^ {n} až X}$

které mapují základní bod A do základního bodu b. Zejména třídy ekvivalence jsou dány homotopy, které jsou konstantní na základním bodě koule. Ekvivalentně můžeme definovat π_n(X) být skupinou tříd homotopy map ${ displaystyle g colon [0,1] ^ {n} až X}$ z n-krychle na X které berou hranici n- krychle do b.

Složení v základní skupině

Pro ${ displaystyle n geq 1}$, třídy homotopy tvoří a skupina. Chcete-li definovat skupinovou operaci, připomeňte si to v základní skupina, produkt ${ displaystyle f ast g}$ dvou smyček ${ displaystyle f, g: [0,1] až X}$ je definován nastavením

${ displaystyle f * g = { begin {cases} f (2t) & t in left [0, { tfrac {1} {2}} right] g (2t-1) & t in left [{ tfrac {1} {2}}, 1 right] end {cases}}}$

Myšlenka složení v základní skupině je myšlenka cestovat první cestou a druhou za sebou, nebo rovnocenně nastavit jejich dvě domény dohromady. Pojem složení, který chceme pro n-th homotopy group is the same, except that now the domains that we stick together are cubes, and we must bond them along a face. Definujeme tedy součet map ${ displaystyle f, g: [0,1] ^ {n} až X}$ podle vzorce

${ displaystyle (f + g) (t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {n}) = { begin {cases} f (2t_ {1}, t_ {2}, ldots, t_ {n}) & t_ {1} in left [0, { tfrac {1} {2}} right] g (2t_ {1} -1, t_ {2}, ldots, t_ {n }) & t_ {1} in left [{ tfrac {1} {2}}, 1 right] end {cases}}}$

Pro odpovídající definici ve sférách definujte součet ${ displaystyle f + g}$ map ${ displaystyle f, g tračník S ^ {n} až X}$ být ${ displaystyle Psi}$ složený s h, kde ${ displaystyle Psi}$ je mapa z ${ displaystyle S ^ {n}}$ do klínový součet ze dvou n- koule, které sbalí rovník a h je mapa z klínového součtu dvou n- koule do X který je definován jako F na první sféře a G na druhém.

Li ${ displaystyle n geq 2}$, pak ${ displaystyle pi _ {n}}$ je abelian.^[2] Dále, podobně jako u základní skupiny, u prostoru spojeného s cestou jakékoli dvě volby základního bodu vedou k izomorfii ${ displaystyle pi _ {n}}$.^[3]

Je lákavé pokusit se zjednodušit definici skupin homotopy vynecháním základních bodů, ale to obvykle nefunguje u prostorů, které nejsou jednoduše připojeno, dokonce i pro cesty spojené s cestou. Sada tříd homotopy map z koule do prostoru spojeného s cestou není skupinou homotopy, ale je to v podstatě sada oběžných drah základní skupiny ve skupině homotopy a obecně nemá žádnou přirozenou strukturu skupiny.

Cesta z těchto obtíží byla nalezena definováním vyšší homotopy grupoidy filtrovaných mezer a n- kostky mezer. Ty se vztahují k relativním skupinám homotopy a k n-adické homotopické skupiny. Vyšší homotopy van Kampenova věta pak umožňuje odvodit některé nové informace o skupinách homotopy a dokonce i o typech homotopy. Další informace a odkazy viz "Vyšší dimenzionální teorie grup" a odkazy níže.

Dlouhá přesná sekvence fibrace

Nechat p: E → B být zachováním základního bodu Serre fibrace s vláknem F, tj. mapa s homotopy zvedací vlastnost s ohledem na CW komplexy. Předpokládejme to B je spojeno s cestou. Pak je tu dlouhá přesná sekvence homotopických skupin

${ displaystyle cdots to pi _ {n} (F) to pi _ {n} (E) to pi _ {n} (B) to pi _ {n-1} (F ) to cdots to pi _ {0} (E) to 0.}$

Zde mapy zahrnující π₀ nejsou skupiny homomorfismy protože π₀ nejsou skupiny, ale jsou přesné v tom smyslu, že se obrázek rovná jádru.

Příklad: Hopfova fibrace. Nechat B rovnat se S² a E rovnat se S³. Nechat p být Hopfova fibrace, který má vlákninu S¹. Z dlouhé přesné sekvence

${ displaystyle cdots to pi _ {n} (S ^ {1}) to pi _ {n} (S ^ {3}) to pi _ {n} (S ^ {2}) to pi _ {n-1} (S ^ {1}) to cdots}$

a skutečnost, že π_n(S¹) = 0 pro n ≥ 2, zjistíme, že π_n(S³) = π_n(S²) pro n ≥ 3. Zejména ${ displaystyle pi _ {3} (S ^ {2}) = pi _ {3} (S ^ {3}) = mathbb {Z}.}$

V případě krycího prostoru, když je vlákno diskrétní, máme to π_n(E) je izomorfní s π_n(B) pro n > 1, že π_n(E) vkládá injekčně do π_n(B) pro všechny pozitivní n, a že podskupina π₁(B), což odpovídá vložení π₁(E) má kosety v bijekci s prvky vlákna.

Když je fibrace mapovací vlákno nebo duálně, cofibration je mapovací kužel, pak je výsledná přesná (nebo dvojí, souběžná) posloupnost dána Sekvence puppe.

Homogenní prostory a koule

Existuje mnoho realizací koulí jako homogenních prostorů, které poskytují dobré nástroje pro výpočet homotopy skupin Lieových skupin a klasifikaci hlavních svazků na prostorech vytvořených z koulí.

Speciální ortogonální skupina

Dochází k fibraci^[4]

${ displaystyle SO (n-1) to SO (n) to SO (n) / SO (n-1) cong S ^ {n-1}}$

s uvedením dlouhé přesnosti

${ displaystyle cdots to pi _ {i} (SO (n-1)) to pi _ {i} (SO (n)) to pi _ {i} (S ^ {n-1 }) to pi _ {i-1} (SO (n-1)) to cdots}$

který počítá homotopické skupiny nízkého řádu z ${ displaystyle pi _ {i} (SO (n-1)) cong pi _ {i} (SO (n))}$ pro ${ displaystyle i$, od té doby ${ displaystyle S ^ {n-1}}$ je ${ displaystyle (n-2)}$-připojeno. Zejména dochází k fibraci

${ displaystyle SO (3) to SO (4) to S ^ {3}}$

jejichž nižší homotopické skupiny lze explicitně vypočítat. Od té doby ${ displaystyle SO (3) cong mathbb {RP} ^ {3}}$a je tu fibrace

${ displaystyle mathbb {Z} / 2 na S ^ {n} na mathbb {RP} ^ {n}}$

my máme ${ displaystyle pi _ {i} (SO (3)) cong pi _ {i} (S ^ {3})}$ pro ${ displaystyle i> 1}$. Pomocí tohoto a skutečnosti, že ${ displaystyle pi _ {4} (S ^ {3}) = mathbb {Z} / 2}$, které lze vypočítat pomocí Postnikovův systém, máme dlouhou přesnou sekvenci

${ displaystyle { begin {zarovnáno} cdots to & pi _ {4} (SO (3)) to pi _ {4} (SO (4)) to pi _ {4} (S ^ {3}) to to & pi _ {3} (SO (3)) to pi _ {3} (SO (4)) to pi _ {3} (S ^ { 3}) to to & pi _ {2} (SO (3)) to pi _ {2} (SO (4)) to pi _ {2} (S ^ {3} ) to cdots end {zarovnáno}}}$

Od té doby ${ displaystyle pi _ {2} (S ^ {3}) = 0}$ my máme ${ displaystyle pi _ {2} (SO (4)) = 0}$. Také prostřední řada dává ${ displaystyle pi _ {3} (SO (4)) cong mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ od spojovací mapy ${ displaystyle pi _ {4} (S ^ {3}) = mathbb {Z} / 2 až mathbb {Z} = pi _ {3} ( mathbb {RP} ^ {3})}$ je triviální. Také to můžeme vědět ${ displaystyle pi _ {4} (SO (4))}$ má dvě torze.

Aplikace na sférické svazky

Milnor^[5] využil skutečnost ${ displaystyle pi _ {3} (SO (4)) = mathbb {Z} oplus mathbb {Z}}$ klasifikovat balíčky se třemi koulemi ${ displaystyle S ^ {4}}$zejména byl schopen najít Exotické koule které jsou hladké potrubí pouze homeomorfní ${ displaystyle S ^ {7}}$, není difeomorfní. Pamatujte, že jakýkoli svazek koulí může být sestaven z a ${ displaystyle 4}$-Vektorový svazek, které mají strukturní skupinu ${ displaystyle SO (4)}$ od té doby ${ displaystyle S ^ {3}}$ může mít strukturu orientované Riemannovo potrubí.

Složitý projektivní prostor

Dochází k fibraci

${ displaystyle S ^ {1} až S ^ {2n-1} to mathbb {CP} ^ {n}}$

kde ${ displaystyle S ^ {2n-1}}$ je jednotková koule v ${ displaystyle mathbb {C} ^ {n}}$. Tuto sekvenci lze použít k zobrazení prosté propojenosti ${ displaystyle mathbb {CP} ^ {n}}$ pro všechny ${ displaystyle n}$.

Metody výpočtu

Výpočet skupin homotopie je obecně mnohem obtížnější než u jiných homotopů invarianty naučil se v algebraické topologii. Na rozdíl od Věta Seifert – van Kampen pro základní skupinu a Věta o excizi pro singulární homologie a kohomologie, neexistuje žádný jednoduchý známý způsob, jak vypočítat homotopické skupiny prostoru rozdělením na menší prostory. Metody vyvinuté v 80. letech 20. století, zahrnující teorém typu van Kampen pro vyšší homotopické grupoidy, však umožnily nové výpočty pro homotopické typy atd. Ukázkový výsledek najdete v příspěvku Ellis a Michajlov z roku 2010.^[6]

Pro některé prostory, jako např Tori, všechny vyšší homotopické skupiny (tj. druhá a vyšší homotopická skupina) jsou triviální. Jedná se o tzv asférické prostory. Navzdory intenzivnímu výzkumu výpočtu homotopických skupin koulí však není ani ve dvou dimenzích úplný seznam znám. Pro výpočet i čtvrté homotopické skupiny S² člověk potřebuje mnohem pokročilejší techniky, než by mohly naznačovat definice. Zejména Serre spektrální sekvence byl zkonstruován právě pro tento účel.

Určité skupiny homotopy z n-připojeno mezery lze vypočítat porovnáním s homologické skupiny přes Hurewiczova věta.

Seznam metod pro výpočet skupin homotopy

• Dlouhá přesná sekvence homotopy skupin fibrace.
• Hurewiczova věta, který má několik verzí.
• Blakersova-Masseyova věta, také známý jako excize pro skupiny homotopy.
• Freudenthalova věta o suspenzi, důsledek excize pro homotopické skupiny.

Relativní homotopické skupiny

Existuje také užitečné zobecnění skupin homotopy, ${ displaystyle pi _ {n} (X)}$, nazývané relativní homotopické skupiny ${ displaystyle pi _ {n} (X, A)}$ pro pár ${ displaystyle (X, A)}$, kde A je podprostor o X.

Konstrukce je motivována pozorováním, že pro zařazení ${ displaystyle i colon (A, x_ {0}) hookrightarrow (X, x_ {0})}$, na každé homotopické skupině je indukovaná mapa ${ displaystyle i _ {*} dvojtečka pi _ {n} (A) až pi _ {n} (X)}$ což obecně není injekce. Ve skutečnosti jsou prvky jádra známy po zvážení zástupce ${ displaystyle f colon I ^ {n} až X}$ a převzetí založené homotopy ${ displaystyle F colon I ^ {n} krát I to X}$ na konstantní mapu ${ displaystyle x_ {0}}$nebo jinými slovy ${ displaystyle H_ {I ^ {n} krát 1} = f}$, zatímco omezení na jakoukoli jinou hraniční složku ${ displaystyle I ^ {n + 1}}$ je triviální. Proto máme následující konstrukci:

Prvky takové skupiny jsou homotopy tříd založených map ${ displaystyle D ^ {n} až X}$ které nesou hranici ${ displaystyle S ^ {n-1}}$ do A. Dvě mapy f, g se nazývají homotopické ve vztahu k A pokud jsou homotopické podle homotopie zachovávající základní bod F : Dⁿ × [0,1] → X takové, že pro každého p v Sⁿ⁻¹ a t v [0,1] prvek F(p,t) je v A. Všimněte si, že běžné homotopy skupiny jsou obnoveny pro zvláštní případ, ve kterém ${ displaystyle A = x_ {0}}$ je základní bod.

Tyto skupiny jsou abelian pro n ≥ 3, ale pro n = 2 tvoří horní skupinu a zkřížený modul se spodní skupinou π₁(A).

Existuje také dlouhá přesná sekvence relativních homotopy skupin, které lze získat prostřednictvím Sekvence puppe:

${ displaystyle cdots to pi _ {n} (A) to pi _ {n} (X) to pi _ {n} (X, A) to pi _ {n-1} (A) to cdots}$

Související pojmy

Homotopy skupiny jsou zásadní pro teorie homotopy, což následně stimulovalo rozvoj modelové kategorie. Je možné definovat abstraktní homotopické skupiny pro jednoduché sady.

Homologické skupiny jsou podobné homotopy skupin v tom, že mohou představovat "díry" v topologickém prostoru. Homotopy skupiny však obvykle nejsou komutativní, a často velmi složité a těžko vypočítatelné. Naproti tomu skupiny homologie jsou komutativní (stejně jako vyšší skupiny homotopy). Proto se někdy říká, že „homologie je komutativní alternativou k homotopii“.^[7] Vzhledem k topologickému prostoru X, své n-tá homotopická skupina je obvykle označena ${ displaystyle pi _ {n} (X)}$, a jeho n-tá homologická skupina je obvykle označena ${ displaystyle H_ {n} (X)}$.

Viz také

• Fibrace
• Hopfova fibrace
• Hopf invariantní
• Teorie uzlů
• Třída homotopy
• Homotopické skupiny koulí
• Topologický invariant
• Skupina homotopy s koeficienty
• Špičatá sada

Poznámky

Reference

• Ronald Brown, `Groupoidy a zkřížené objekty v algebraické topologii ', Homologie, homotopie a aplikace, 1 (1999) 1–78.
• Ronald Brown Philip J. Higgins, Rafael Sivera, Nonabelianská algebraická topologie: filtrované prostory, zkřížené komplexy, kubické homotopy grupoidy, EMS Tracts in Mathematics Sv. 15, 703 stran, European Math. Society, Zürich, 2011. doi:10.4171/083 PAN2841564
• Čech, Eduard (1932), „Höherdimensionale Homotopiegruppen“, Verhandlungen des Internationalen Mathematikerkongress, Curych.
• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-79540-1
• „Homotopy group“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• Hopf, Heinz (1931), „Über die Abbildungen der dreidimensionalen Sphäre auf die Kugelfläche“, Mathematische Annalen, 104 (1): 637–665, doi:10.1007 / BF01457962.
• Kamps, Klaus H .; Porter, Timothy (1997). Abstraktní homotopy a jednoduchá teorie homotopy. River Edge, NJ: World Scientific Publishing. doi:10.1142/9789812831989. ISBN  981-02-1602-5. PAN  1464944.
• Toda, Hiroši (1962). Složení metody v homotopických skupinách koulí. Annals of Mathematics Studies. 49. Princeton, N.J .: Princeton University Press. ISBN  0-691-09586-8. PAN  0143217.
• Whitehead, George William (1978). Základy teorie homotopy. Postgraduální texty z matematiky. 61 (3. vyd.). New York-Berlín: Springer-Verlag. str. xxi + 744. ISBN  978-0-387-90336-1. PAN  0516508.