Lawvere – Tierneyova topologie - Lawvere–Tierney topology - Wikipedia

V matematice, a Lawvere – Tierneyova topologie je analogem a Grothendieckova topologie pro libovolný topos, který se používá ke konstrukci toposu snopů. Topologie Lawvere – Tierney se také někdy nazývá a místní operátor nebo Dosah nebo topologie nebo geometrická modalita. Byli představeni William Lawvere  (1971 ) a Myles Tierney.

Definice

Li E je topos, pak topologie na E je morfismus j z klasifikátor podobjektu Ω až Ω takové, že j zachovává pravdu (${ displaystyle j circ { mbox {true}} = { mbox {true}}}$), zachovává křižovatky (${ displaystyle j circ wedge = wedge circ (j times j)}$), a je idempotentní (${ displaystyle j circ j = j}$).

j-uzavření

Komutativní diagramy ukazující jak j-kryt funguje. Ω a t jsou klasifikátor podobjektu. χ_s je charakteristický morfismus s jako podobjekt A a ${ displaystyle j circ chi _ {s}}$ je charakteristický morfismus ${ displaystyle { bar {s}}}$ který je j- uzavření s. Dolní dva čtverce jsou čtverce zpětného rázu a jsou obsaženy také v horním diagramu: první jako lichoběžník a druhý jako obdélník se dvěma čtverci.

Vzhledem k podobjektu ${ displaystyle s: S rightarrowtail A}$ objektu A s klasifikátorem ${ displaystyle chi _ {s}: A rightarrow Omega}$, pak složení ${ displaystyle j circ chi _ {s}}$ definuje další podobjekt ${ displaystyle { bar {s}}: { bar {S}} rightarrowtail A}$ z A takhle s je podobjektem ${ displaystyle { bar {s}}}$, a ${ displaystyle { bar {s}}}$ se říká, že j-uzavření z s.

Některé věty související s j-příloha jsou (pro některé podobjekty s a w z A):

• inflační majetek: ${ displaystyle s subseteq { bar {s}}}$
• idempotence: ${ displaystyle { bar {s}} equiv { bar { bar {s}}}}$
• zachování křižovatek: ${ displaystyle { overline {s cap w}} equiv { bar {s}} cap { bar {w}}}$
• zachování objednávky: ${ displaystyle s subseteq w Longrightarrow { bar {s}} subseteq { bar {w}}}$
• stabilita při zpětném rázu: ${ displaystyle { overline {f ^ {- 1} (s)}} equiv f ^ {- 1} ({ bar {s}})}$.

Příklady

Grothendieckovy topologie pro malou kategorii C jsou v podstatě stejné jako topologie Lawvere – Tierney na toposu předskoků sad C.

Reference

• Lawvere, F. W. (1971), „Kvantifikátory a svazky“, Actes du Congrès International des Mathématiciens (Nice, 1970) (PDF), 1, Paříž: Gauthier-Villars, s. 329–334, PAN  0430021
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994), Snopy v geometrii a logice. První úvod do teorie topos, Universitext, New York: Springer-Verlag. Opravený dotisk vydání z roku 1992.
• McLarty, Colin (1995) [1992], Základní kategorie, základní topózy, Oxford Logic Guides, New York: Oxford University Press, s. 1. 196