Řetězcová topologie - String topology - Wikipedia

Řetězcová topologie, pobočka matematika, je studium algebraických struktur na homologie z volné mezery ve smyčce. Pole zahájili Moira Chas a Dennis Sullivan (1999 ).

Motivace

Zatímco singulární kohomologie prostoru má vždy strukturu produktu, to neplatí pro singulární homologie prostoru. Přesto je možné postavit takovou strukturu pro orientovaného potrubí ${ displaystyle M}$ dimenze ${ displaystyle d}$ . Jedná se o tzv křižovatkový produkt. Intuitivně to lze popsat takto: dané třídy ${ displaystyle x v H_ {p} (M)}$ a ${ displaystyle y v H_ {q} (M)}$ , vezměte jejich produkt ${ displaystyle x krát y v H_ {p + q} (M krát M)}$ a udělejte to příčně k úhlopříčce ${ displaystyle M hookrightarrow M krát M}$ . Křižovatka je pak třídou ${ displaystyle H_ {p + q-d} (M)}$ , produkt křižovatky ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ . Jedním ze způsobů, jak tuto konstrukci zpřísnit, je použít čtyřnásobně.

Dalším případem, kdy homologie prostoru má produkt, je (založený) prostor smyčky ${ displaystyle Omega X}$ prostoru ${ displaystyle X}$ . Zde má prostor samotný produkt

{ displaystyle m dvojtečka Omega X krát Omega X až Omega X}

tím, že nejdříve projdete první smyčkou a potom druhou Pro prostor volné smyčky neexistuje obdobná struktura produktu ${ displaystyle LX}$ všech map z ${ displaystyle S ^ {1}}$ na ${ displaystyle X}$ protože tyto dvě smyčky nemusí mít společný bod. Náhrada mapy ${ displaystyle m}$ je mapa

{ displaystyle gamma colon { rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M) do LM}

kde ${ displaystyle { rm {Mapa}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M)}$ je podprostor ${ displaystyle LM krát LM}$ , kde hodnota dvou smyček se shoduje na 0 a ${ displaystyle gamma}$ je definována opět složením smyček.

Produkt Chas – Sullivan

Myšlenkou produktu Chas – Sullivan je nyní kombinovat výše uvedené struktury produktu. Zvažte dvě třídy ${ displaystyle x v H_ {p} (LM)}$ a ${ displaystyle y v H_ {q} (LM)}$ . Jejich produkt ${ displaystyle x krát y}$ leží v ${ displaystyle H_ {p + q} (LM krát LM)}$ . Potřebujeme mapu

{ displaystyle i ^ {!} dvojtečka H_ {p + q} (LM krát LM) až H_ {p + qd} ({ rm {Map}} (S ^ {1} lor S ^ {1 }, M)).}

Jedním ze způsobů, jak to postavit, je použít stratifolds (nebo jinou geometrickou definici homologie) k provedení příčného průniku (po interpretaci ${ displaystyle { rm {Mapa}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M) podmnožina LM krát LM}$ jako zahrnutí Hilbertova potrubí ). Další přístup začíná mapou sbalení z ${ displaystyle LM krát LM}$ do Thomův prostor normálního svazku ${ displaystyle { rm {Mapa}} (S ^ {1} lor S ^ {1}, M)}$ . Skládání indukované mapy v homologii s Thomův izomorfismus, dostaneme mapu, kterou chceme.

Nyní můžeme skládat ${ displaystyle i ^ {!}}$ s indukovanou mapou ${ displaystyle gamma}$ dostat se do třídy ${ displaystyle H_ {p + q-d} (LM)}$ , produkt Chas – Sullivan společnosti ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle y}$ (viz např. Cohen & Jones (2002) ).

Poznámky

Stejně jako v případě produktu křižovatky existují různé konvence značek týkající se produktu Chas – Sullivan. V některých konvencích je známka komutativní, v jiných nikoli.
Stejná konstrukce funguje, pokud vyměníme ${ displaystyle H}$ jiným multiplikátem teorie homologie ${ displaystyle h}$ -li ${ displaystyle M}$ je orientován s ohledem na ${ displaystyle h}$ .
Dále můžeme nahradit ${ displaystyle LM}$ podle ${ displaystyle L ^ {n} M = { rm {Mapa}} (S ^ {n}, M)}$ . Snadnou variantou výše uvedené konstrukce to získáme ${ displaystyle { mathcal {}} h _ {*} ({ rm {Map}} (N, M))}$ je modul přes ${ displaystyle { mathcal {}} h _ {*} L ^ {n} M}$ -li ${ displaystyle N}$ je potrubí rozměrů ${ displaystyle n}$ .
The Serre spektrální sekvence je kompatibilní s výše uvedenými algebraickými strukturami pro svazek vláken ${ displaystyle { rm {ev}} dvojtečka LM až M}$ s vláknem ${ displaystyle Omega M}$ a svazek vláken ${ displaystyle LE to LB}$ pro svazek vláken ${ displaystyle E do B}$ , což je důležité pro výpočty (viz Cohen, Jones & Yan (2004) a Meier (2010)).

Struktura Batalin – Vilkovisky

Existuje akce ${ displaystyle S ^ {1} krát LM až LM}$ rotací, která vyvolá mapu

{ displaystyle H _ {*} (S ^ {1}) další H _ {*} (LM) až H _ {*} (LM)}

.

Zapojení základní třídy ${ displaystyle [S ^ {1}] v H_ {1} (S ^ {1})}$ , dává operátorovi

{ displaystyle Delta tlustého střeva H _ {*} (LM) až H _ {* + 1} (LM)}

stupně 1. Lze ukázat, že tento operátor pěkně interaguje s produktem Chas – Sullivan v tom smyslu, že společně tvoří strukturu Batalin – Vilkovisky algebra na ${ displaystyle { mathcal {}} H _ {*} (LM)}$ . Obecně je obtížné tento operátor vypočítat. Definující identity Batalin-Vilkoviskyho algebry byly v původním článku zkontrolovány „obrázky“. Méně přímý, ale pravděpodobně koncepčnější způsob, jak toho dosáhnout, může být použití akce kaktusového operátu na volném prostoru smyčky ${ displaystyle LM}$ .^[1] Kaktusový operad je slabě ekvivalentní s rámem malé disky operad^[2] a jeho působení na topologický prostor implikuje Batalin-Vilkovisky strukturu homologie.^[3]

Polní teorie

Kalhoty

Existuje několik pokusů o konstrukci (topologických) polních teorií pomocí topologie řetězce. Základní myšlenkou je opravit orientované potrubí ${ displaystyle M}$ a přidružit se ke každému povrchu ${ displaystyle p}$ příchozí a ${ displaystyle q}$ odchozí hraniční složky (s ${ displaystyle n geq 1}$ ) operace

{ displaystyle H _ {*} (LM) ^ { otimes p} až H _ {*} (LM) ^ { otimes q}}

který splňuje obvyklé axiomy pro a teorie topologického pole. Produkt Chas – Sullivan je spojen s kalhotami. Je možné ukázat, že tyto operace jsou 0, pokud je rod povrchu větší než 0 (viz Tamanoi (2010) )

Strukturovanější přístup (vystaven v roce 2006) Godin (2008) ) dává ${ displaystyle { mathcal {}} (H _ {*} (LM), H _ {*} (LM))}$ struktura titulu ${ displaystyle d}$ otevřená a uzavřená homologická teorie konformního pole (HCFT) s pozitivní hranicí. Ignorování otevřené a uzavřené části se rovná následující struktuře: let ${ displaystyle S}$ být povrch s hranicí, kde jsou hraniční kruhy označeny jako příchozí nebo odchozí. Pokud existují ${ displaystyle p}$ příchozí a ${ displaystyle q}$ odchozí a ${ displaystyle n geq 1}$ , dostaneme operace

{ displaystyle H _ {*} (LM) ^ { otimes p} až H _ {*} (LM) ^ { otimes q}}

parametrizován určitou pokroucenou homologií skupina tříd mapování z ${ displaystyle S}$ .

Reference

^ Voronov, Alexander (2005). „Poznámky k univerzální algebře“. Grafy a vzory v matematice a teoretické fyzice (M. Lyubich a L. Takhtajan, eds.). Providence, RI: Amer. Matematika. Soc. 81–103.
^ Cohen, Ralph L .; Hess, Kathryn; Voronov, Alexander A. (2006). „Kaktusový operad“. Řetězcová topologie a cyklická homologie. Basilej: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7388-7.
^ Getzler, Ezra (1994). „Batalin-Vilkovisky algebry a dvourozměrné topologické teorie pole“. Comm. Matematika. Phys. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th / 9212043.

Chas, Moira; Sullivan, Dennis (1999). "Řetězec topologie". arXiv:matematika / 9911159v1.
Cohen, Ralph L.; Jones, John D. S. (2002). "Homotopická teoretická realizace topologie řetězce". Mathematische Annalen. 324: 773–798. arXiv:matematika / 0107187. doi:10.1007 / s00208-002-0362-0. PAN 1942249.
Ralph Louis Cohen, John D. S. Jones a Jun Yan, Algebra smyčkové homologie koulí a projektivních prostorů v Kategorické techniky rozkladu v algebraické topologii: Mezinárodní konference v algebraické topologii, Ostrov Skye, Skotsko, červen 2001, Birkhäuser, s. 77–92 (2004).
Meier, Lennart (2011). "Spektrální sekvence v topologii řetězců". Algebraická a geometrická topologie. 11 (5): 2829–2860. arXiv:1001.4906. doi:10.2140 / agt.2011.11.2829. PAN 2846913.
Godin, Véronique (2008). Msgstr "Operace vyšší topologie řetězce". arXiv:0711.4859v2.
Tamanoi, Hirotaka (2010). "Smyčka se koprodukuje v topologii strun a trivialitě operací vyššího rodu TQFT". Journal of Pure and Applied Algebra. 214 (5): 605–615. arXiv:0706.1276. doi:10.1016 / j.jpaa.2009.07.011. PAN 2577666.

[1] Voronov, Alexander (2005). „Poznámky k univerzální algebře“. Grafy a vzory v matematice a teoretické fyzice (M. Lyubich a L. Takhtajan, eds.). Providence, RI: Amer. Matematika. Soc. 81–103.

[2] Cohen, Ralph L .; Hess, Kathryn; Voronov, Alexander A. (2006). „Kaktusový operad“. Řetězcová topologie a cyklická homologie. Basilej: Birkhäuser. ISBN 978-3-7643-7388-7.

[3] Getzler, Ezra (1994). „Batalin-Vilkovisky algebry a dvourozměrné topologické teorie pole“. Comm. Matematika. Phys. 159 (2): 265–285. arXiv:hep-th / 9212043.

[1]

[2]

[3]