Monad (teorie kategorií) - Monad (category theory)

v teorie kategorií, pobočka matematika, a monad (taky trojnásobný, trojice, standardní konstrukce a základní konstrukce)^[1] je endofunctor (A funktor mapování a kategorie pro sebe), spolu se dvěma přirozené transformace požadováno splnit určité podmínky soudržnosti. Monády se používají v teorii párů adjunkční funktory a zobecňují se operátoři uzavírání na částečně objednané sady do libovolných kategorií.

Úvod a definice

Monad je určitý typ endofunctor. Například pokud ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou dvojice adjunkční funktory, s ${ displaystyle F}$ vlevo adjoint na ${ displaystyle G}$ , pak složení ${ displaystyle G circ F}$ je monad. Li ${ displaystyle F}$ a ${ displaystyle G}$ jsou inverzní funktory, odpovídající monadou je funktor identity. Obecně platí, že doplňky nejsou ekvivalence —Týkají se kategorií různé povahy. Teorie monad je důležitá jako součást snahy zachytit, co je to, co přídavná práva „zachovávají“. Druhá polovina teorie, toho, čeho se lze naučit také z úvah ${ Displaystyle F Circ G}$ , je diskutována v rámci dvojí teorie komonády.

Formální definice

V celém tomto článku ${ displaystyle C}$ označuje a kategorie. A monad na ${ displaystyle C}$ se skládá z endofunktoru ${ displaystyle T dvojtečka C až C}$ společně se dvěma přirozené transformace: ${ displaystyle eta dvojtečka 1_ {C} do T}$ (kde ${ displaystyle 1_ {C}}$ označuje funktor identity na ${ displaystyle C}$ ) a ${ displaystyle mu colon T ^ {2} to T}$ (kde ${ displaystyle T ^ {2}}$ je funktor ${ Displaystyle T Circ}$ z ${ displaystyle C}$ na ${ displaystyle C}$ ). Ty jsou vyžadovány ke splnění následujících podmínek (někdy nazývaných podmínky soudržnosti ):

${ displaystyle mu circ T mu = mu circ mu T}$ (jako přirozené transformace ${ displaystyle T ^ {3} to T}$ );
${ displaystyle mu circ T eta = mu circ eta T = 1_ {T}}$ (jako přirozené transformace ${ displaystyle T až T}$ ; tady ${ displaystyle 1_ {T}}$ označuje transformaci identity z ${ displaystyle T}$ na ${ displaystyle T}$ ).

Tyto podmínky můžeme přepsat pomocí následujícího komutativní diagramy:

Viz článek o přirozené transformace pro vysvětlení notací ${ displaystyle T mu}$ a ${ displaystyle mu T}$ , nebo viz níže komutativní diagramy nepoužívající tyto pojmy:

První axiom je podobný asociativita v monoidy pokud na to myslíme ${ displaystyle mu}$ jako binární operace monoidu a druhý axiom je podobný existenci an prvek identity (o kterém si myslíme, že je dán ${ displaystyle eta}$ ). Skutečně monad ${ displaystyle C}$ lze alternativně definovat jako a monoidní v kategorii ${ displaystyle mathbf {End} _ {C}}$ jejichž objekty jsou endofunktory ${ displaystyle C}$ a jejichž morfismy jsou přirozenými transformacemi mezi nimi, s monoidní struktura indukované složením endofunktorů.

Napájecí sada monad

The napájecí sada monad je monad ${ displaystyle { mathcal {P}}}$ na kategorii ${ displaystyle mathbf {sada}}$ : Pro sadu ${ displaystyle A}$ nechat ${ displaystyle T (A)}$ být napájecí sada z ${ displaystyle A}$ a pro funkci ${ displaystyle f dvojtečka A až B}$ nechat ${ displaystyle T (f)}$ být funkcí mezi množinami sil indukovanými převzetím přímé obrázky pod ${ displaystyle f}$ . Pro každou sadu ${ displaystyle A}$ , máme mapu ${ displaystyle eta _ {A} dvojtečka A až T (A)}$ , který přiřadí každému ${ displaystyle a v A}$ the jedináček ${ displaystyle {a }}$ . Funkce

{ displaystyle mu _ {A} dvojtečka T (T (A)) až T (A)}

vezme sadu sad svaz. Tyto údaje popisují monad.

Poznámky

Axiomy monády jsou formálně podobné monoidní axiomy. Ve skutečnosti jsou monády zvláštními případy monoidů, konkrétně jsou to právě monoidy mezi nimi endofunktory ${ displaystyle operatorname {End} (C)}$ , který je vybaven násobením daným složením endofunktorů.

Složení monád není obecně monádou. Například dvojitá sada napájení monad ${ displaystyle { mathcal {P}} circ { mathcal {P}}}$ nepřipouští žádnou monadovou strukturu. ^[2]

Comonads

The kategorický duální definice je formální definice a Comonad (nebo kotníková); to lze rychle říci v pojmech, že comonad pro kategorii ${ displaystyle C}$ je monad pro opačná kategorie ${ displaystyle C ^ { mathrm {op}}}$ . Je to tedy funktor ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle C}$ pro sebe, se sadou axiomů pro počítat a komplikace které pocházejí z obrácení šipek všude v právě dané definici.

Monády jsou pro monoidy stejně jako pro komony komonoidy. Každá sada je komonoid jedinečným způsobem, takže komonoidy jsou méně známé abstraktní algebra než monoidy; komonoidy v kategorii vektorových prostorů s obvyklým tenzorovým součinem jsou však důležité a široce studované pod názvem uhlígebry.

Terminologická historie

Pojem monad vynalezl Roger Godement v roce 1958 pod názvem „standardní konstrukce“. V 60. a 70. letech mnoho lidí používalo název „triple“. Nyní standardní termín „monad“ je způsoben Saunders Mac Lane.

Příklady

Monády vyplývající z přídavků

Žádný přídavné jméno

{ displaystyle F: C rightleftarrows D: G}

vede k monad C. Tato velmi rozšířená konstrukce funguje následovně: endofunctor je kompozit

{ displaystyle T = G circ F.}

Tento endofunktor je rychle považován za monádu, kde jednotková mapa vychází z jednotkové mapy ${ displaystyle operatorname {id} _ {C} do G circ F}$ adjunkce a mapa násobení je konstruována pomocí mapy počtu adjunkce:

{ displaystyle T ^ {2} = G circ F circ G circ F { stackrel {G circ { text {countit}} circ F} { to}} G circ F = T.}

Dvojitá dualizace

The dvojitá dualizace monad, pro pevné pole k vyplývá z přídavku

{ displaystyle (-) ^ {*}: mathbf {Vect} _ {k} rightleftarrows mathbf {Vect} _ {k} ^ {op}: (-) ^ {*}}

kde oba funktory jsou dány zasláním a vektorový prostor PROTI k jeho duální vektorový prostor ${ displaystyle V ^ {*}: = operatorname {Hom} (V, k)}$ . Přidružený monad vysílá vektorový prostor PROTI k jeho dvojitý duální ${ displaystyle V ^ {**}}$ . O této monadě pojednává v mnohem větší obecnosti Kock (1970).

Operátory uzavření u částečně objednaných sad

Pro kategorie vyplývající z částečně objednané sady ${ displaystyle (P, leq)}$ (s jediným morfismem z ${ displaystyle x}$ na ${ displaystyle y}$ iff ${ displaystyle x leq y}$ ), pak se formalizmus stává mnohem jednodušším: adjunkční páry jsou Galoisova spojení a monády jsou operátoři uzavírání.

Nezapomenutelné doplňky

Například nechte ${ displaystyle G}$ být zapomnětlivý funktor z kategorie Grp z skupiny do kategorie Soubor sad a nech ${ displaystyle F}$ být volná skupina funktor z kategorie množin do kategorie skupin. Pak ${ displaystyle F}$ je vlevo adjoint z ${ displaystyle G}$ . V tomto případě přidružená monáda ${ displaystyle T = G circ F}$ vezme sadu ${ displaystyle X}$ a vrátí základní sadu volné skupiny ${ displaystyle mathrm {zdarma} (X)}$ .Jednotková mapa této monády je dána mapami

{ displaystyle X rightarrow T (X)}

včetně jakékoli sady ${ displaystyle X}$ do sady ${ displaystyle mathrm {zdarma} (X)}$ přirozeným způsobem, jako řetězce délky 1. Násobením této monády je dále mapa

{ displaystyle T (T (X)) pravá šipka T (X)}

vyrobený z přírodního zřetězení nebo „zploštění“ „řetězců řetězců“. To činí dva přirozené transformace Předchozí příklad o volných skupinách lze zobecnit na jakýkoli typ algebry ve smyslu a různé algebry v univerzální algebra. Každý takový typ algebry tedy vede k monad v kategorii množin. Důležité je, že typ algebry lze získat z monády (jako kategorie algeber Eilenberg – Moore), takže monády lze také považovat za zobecňující odrůdy univerzálních algeber.

Další monad vyplývající z adjunkce je, když ${ displaystyle T}$ je endofunctor v kategorii vektorových prostorů, který mapuje vektorový prostor ${ displaystyle V}$ k jeho tenzorová algebra ${ displaystyle T (V)}$ , a která mapuje lineární mapy na jejich tenzorový produkt. Pak máme přirozenou transformaci odpovídající vložení ${ displaystyle V}$ do jeho tenzorová algebra a přirozená transformace odpovídající mapě z ${ displaystyle T (T (V))}$ na ${ displaystyle T (V)}$ lze získat jednoduše rozšířením všech tenzorových produktů.

Codensity monády

Za mírných podmínek z funktorů, kteří nepřipouštějí levý adjoint, vzniká monad, tzv codensity monad. Například zařazení

{ displaystyle mathbf {FinSet} podmnožina mathbf {sada}}

nepřipouští levý adjoint. Jeho codensity monad je monad na sadách odesílajících jakoukoli sadu X na soubor ultrafiltry na X. Tento a podobné příklady jsou popsány v Leinster (2013).

Algebry pro monádu

Vzhledem k tomu, monad ${ displaystyle (T, eta, mu)}$ na kategorii ${ displaystyle C}$ , je přirozené uvažovat ${ displaystyle T}$ -algebry, tj. objekty C jednal podle T způsobem, který je kompatibilní s jednotkou a násobením monády. Více formálně, a T-algebra ${ displaystyle (x, h)}$ je objekt ${ displaystyle x}$ z ${ displaystyle C}$ společně se šipkou ${ displaystyle h dvojtečka Tx až x}$ z ${ displaystyle C}$ volal strukturní mapa algebry tak, že diagramy

a

dojíždět.

Morfismus ${ Displaystyle f colon (x, h) to (x ', h')}$ z ${ displaystyle T}$ -algebry je šíp ${ Displaystyle f tlustého střeva x až x '}$ z ${ displaystyle C}$ takový, že diagram

dojíždí. T-algebry tvoří kategorii nazvanou Kategorie Eilenberg – Moore a označeno ${ displaystyle C ^ {T}}$ . Například pro výše zmíněnou skupinu volných skupin, a T-algebra je množina X společně s mapou z volné skupiny generované X vůči X s výhradou podmínek asociativity a jednotnosti. Taková struktura je rovnocenná tomu, co se říká X je skupina sama o sobě.

Dalším příkladem je distribuční monad na kategorii souprav. Je definován zasláním sady X na sadu funkcí ${ displaystyle f: X až [0,1]}$ s konečnou podporou a tak ${ displaystyle sum _ {x v X} f (x) = 1}$ . Inspekcí definic lze ukázat, že algebry nad distribuční monadou jsou ekvivalentní konvexní sady, tj. soupravy vybavené operacemi ${ displaystyle x + _ {r} y}$ pro ${ displaystyle r v [0,1]}$ s výhradou axiomů připomínajících chování konvexních lineárních kombinací ${ displaystyle rx + (1-r) y}$ v euklidovském prostoru.^[3]

Monady a doplňky

Jak bylo zmíněno výše, každé adjunkce vede k monad. Naopak každá monáda vychází z nějakého přídavku, jmenovitě volného zapomenutí

{ displaystyle T (-): C rightleftarrows C ^ {T}: { text {zapomenout}}}

jehož levý adjoint pošle objekt X zdarma T-algebra T(X). Obvykle však existuje několik odlišných přídavků, které vedly k monad: let ${ displaystyle mathbf {Adj} (C, T)}$ být kategorií, jejíž objekty jsou adjunkce ${ displaystyle (F, G, e, varepsilon)}$ takhle ${ displaystyle (GF, e, G varepsilon F) = (T, eta, mu)}$ a jejichž šipky jsou morfismem přídavků, na kterých je totožnost ${ displaystyle C}$ . Pak výše uvedená volná zapomnětlivá funkce zahrnující kategorii Eilenberg – Moore ${ displaystyle C ^ {T}}$ je koncový objekt v ${ displaystyle mathbf {Adj} (C, T)}$ . Počáteční objekt je Kategorie Kleisli, což je ze své podstaty celá podkategorie ${ displaystyle C ^ {T}}$ skládající se pouze z bezplatných T-algebry, tj., T-algebry formuláře ${ displaystyle T (x)}$ pro nějaký objekt X z C.

Monadické doplňky

Vzhledem k jakémukoli přídavku ${ displaystyle (F: C až D, G: D až C, eta, varepsilon)}$ s přidruženou monad T, funktor G lze započítat jako

{ displaystyle D { stackrel { tilde {G}} { to}} C ^ {T} { stackrel { text {zapomenout}} { to}} C,}

tj., G(Y) může být přirozeně obdařen a T-algebraová struktura pro všechny Y v D. Přídavné jméno se nazývá a monadická adjunkce pokud je první funktor ${ displaystyle { tilde {G}}}$ výnosy rovnocennost kategorií mezi D a kategorie Eilenberg – Moore ${ displaystyle C ^ {T}}$ .^[4] V širším smyslu funktor ${ displaystyle G dvojtečka D až C}$ se říká, že je monadický pokud má levý adjoint ${ displaystyle F}$ vytvoření monadického přídavku. Například volno-zapomnětlivá adjunkce mezi skupinami a množinami je monadická, protože algebry nad přidruženou monadou jsou skupiny, jak bylo uvedeno výše. Obecně platí, že znalost monadické adjunkce umožňuje rekonstruovat objekty D z objektů v C a T-akce.

Beckova veta o monadicitě

Beckova veta o monadicitě dává nezbytnou a dostatečnou podmínku, aby adjunkce byla monadická. Zjednodušená verze této věty to uvádí G je monadická, pokud ano konzervativní (nebo G odráží izomorfismy, tj. morfismus v D je izomorfismus právě tehdy, pokud je jeho obraz pod G je izomorfismus v C) a C má a G konzervuje ekvalizéry.

Například zapomnětlivý funktor z kategorie kompaktní Hausdorffovy prostory k sadám je monadický. Zapomnětlivý funktor ze všech topologických prostorů na množiny však není konzervativní, protože existují spojité bijektivní mapy (mezi nekompaktními nebo ne-Hausdorffovými prostory), které nelze homeomorfismy. Tento zapomnětlivý funktor tedy není monadický.^[5]Duální verze Beckovy věty, charakterizující komonadická adjunkce, je relevantní v různých oblastech, jako je teorie topos a témata v algebraická geometrie související s klesání. Prvním příkladem komonadické adjunkce je adjunkce

{ displaystyle - otimes _ {A} B: mathbf {Mod} _ {A} rightleftarrows mathbf {Mod} _ {B}: operatorname {forget}}

pro prstenový homomorfismus ${ displaystyle A až B}$ mezi komutativními kroužky. Tato adjunkce je podle Beckovy věty komonadická, právě když B je věrně plochý jako A-modul. Umožňuje tak sestup B-moduly, vybavené vztažným bodem sestupu (tj. akce komonády dané adjunkcí) na A- moduly. Výsledná teorie věrně plochý sestup je široce používán v algebraické geometrii.

Použití

Monády se používají v Funkcionální programování k vyjádření typů sekvenčního výpočtu (někdy s vedlejšími efekty). Vidět monady ve funkčním programování a matematicky více orientovaný modul Wikibook b: Haskell / teorie kategorií.

V kategorické logice byla vytvořena analogie mezi teorií monad-comonad a modální logika přes operátoři uzavírání, vnitřní algebry a jejich vztah k modely z S4 a intuitivní logika.

Zobecnění

Je možné definovat monády v a 2-kategorie ${ displaystyle C}$ . Výše popsané monády jsou monády pro ${ displaystyle C = mathbf {kočka}}$ .

Viz také

Reference

^ Barr, Michael; Wells, Charles (1985), „Topózy, trojice a teorie“ (PDF), Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 278, s. 82 a 120, ISBN 0-387-96115-1.
^ Klin; Salamanca, Iterovaná Covariant Powerset není Monad, doi:10.1016 / j.entcs.2018.11.013
^ Świrszcz, T. (1974), „Monadické funktory a konvexita“, Býk. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys., 22: 39–42, PAN 0390019,Jacobs, Bart (2010), „Konvexita, dualita a efekty“, Teoretická informatika„Pokrok IFIP v oblasti informačních a komunikačních technologií, 323, s. 1–19, doi:10.1007/978-3-642-15240-5_1, ISBN 978-3-642-15239-9
^ MacLane (1978) používá silnější definici, kde jsou tyto dvě kategorie spíše izomorfní než ekvivalentní.
^ MacLane (1978, §§VI.3, VI.9)

Další čtení

Barr, Michael; Wells, Charlesi (1999), Teorie kategorie pro výpočetní vědu (PDF)
Bože, Rogere (1958), Topologie Algébrique et Théorie des Faisceaux., Actualités Sci. Ind., Publ. Matematika. Univ. Štrasburk, 1252, Paříž: Hermann, s. Viii + 283 s
Kock, Anders (1970), „On Double Dualization Monads“, Mathematica Scandinavica, 27: 151, doi:10,7146 / math.scand.a-10995
Leinster, Tom (2013), „Codensity and the ultrafilter monad“, Teorie a aplikace kategorií, 28: 332–370, arXiv:1209.3606, Bibcode:2012arXiv1209,3606L
MacLane, Saunders (1978), Kategorie pro Working Mathematician, Postgraduální texty z matematiky, 5, doi:10.1007/978-1-4757-4721-8, ISBN 978-1-4419-3123-8
Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata z řádu, topologie, algebry a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 0-521-83414-7. Zbl 1034.18001.
Riehl, Emily (2017), Teorie kategorií v kontextu, ISBN 9780486820804
Turi, Daniele (1996–2001), Kategorie Teorie Poznámky k přednášce (PDF)

externí odkazy

Monády, pět krátkých přednášek (s jednou přílohou).
John Baez Nálezy z tohoto týdne v matematické fyzice (týden 89) pokrývá monády ve 2 kategoriích.

[1] Barr, Michael; Wells, Charles (1985), „Topózy, trojice a teorie“ (PDF), Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, Springer-Verlag, 278, s. 82 a 120, ISBN 0-387-96115-1.

[2] Klin; Salamanca, Iterovaná Covariant Powerset není Monad, doi:10.1016 / j.entcs.2018.11.013

[3] Świrszcz, T. (1974), „Monadické funktory a konvexita“, Býk. Acad. Polon. Sci. Sér. Sci. Matematika. Astronom. Phys., 22: 39–42, PAN 0390019,Jacobs, Bart (2010), „Konvexita, dualita a efekty“, Teoretická informatika„Pokrok IFIP v oblasti informačních a komunikačních technologií, 323, s. 1–19, doi:10.1007/978-3-642-15240-5_1, ISBN 978-3-642-15239-9

[4] MacLane (1978) používá silnější definici, kde jsou tyto dvě kategorie spíše izomorfní než ekvivalentní.

[5] MacLane (1978, §§VI.3, VI.9)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]