Pletená monoidní kategorie - Braided monoidal category
v matematika, a komutativní omezení na monoidní kategorie je výběr z izomorfismus pro každou dvojici předmětů A a B které tvoří „přirozenou rodinu“. Zejména je třeba mít omezení komutativity pro všechny páry předmětů .
A pletená monoidní kategorie je monoidní kategorie vybaven a opletení—To znamená omezení komutativity který splňuje axiomy včetně hexagonálních identit definovaných níže. Termín pletené odkazuje na skutečnost, že skupina copu hraje důležitou roli v teorii opletených monoidních kategorií. Částečně z tohoto důvodu jsou v teorii spletené monoidní kategorie a další témata uzlové invarianty.
Alternativně lze pletenou monoidní kategorii považovat za tříkategorie s jednou 0-buňkou a jednou 1-buňkou.
Pletené monoidní kategorie byly zavedeny André Joyal a Ross Street v předtisku z roku 1986.[1] Upravená verze tohoto článku byla zveřejněna v roce 1993.[2]
Šestiúhelník identity
Pro spolu s omezením komutativity aby se dalo nazvat pletenou monoidní kategorií, musí pro všechny objekty dojíždět následující hexagonální diagramy . Tady je asociativní izomorfismus vycházející z monoidní struktura na :
![]() |
![]() |
Vlastnosti
Soudržnost
Lze ukázat, že přirozený izomorfismus spolu s mapami vycházející z monoidní struktury kategorie , uspokojit různé podmínky soudržnosti, které uvádějí, že různá složení strukturních map jsou stejná. Zejména:
- Opletení dojíždí s jednotkami. To znamená, že následující diagram dojíždí:

- Akce na - složené faktory tenzoru prostřednictvím skupina copu. Zejména,
jako mapy . Zde jsme vynechali asociační mapy.
Variace
Existuje několik variant pletených monoidních kategorií, které se používají v různých kontextech. Viz například výkladový materiál Savage (2009) pro vysvětlení symetrických a hraničních monoidních kategorií a kniha Chari a Pressley (1995) pro pásky.
Symetrické monoidní kategorie
Splétaná monoidní kategorie se nazývá symetrická, pokud také uspokojuje pro všechny páry předmětů a . V tomto případě je akce na - složené faktory tenzoru prostřednictvím symetrická skupina.
Kategorie karet
Opletená monoidní kategorie je a kategorie pásu karet Pokud to je tuhý a může zachovat kvantovou stopu a ko-kvantovou stopu. Kategorie pásu karet jsou zvláště užitečné při konstrukci uzlové invarianty.
Vazební monoidní kategorie
Společná nebo „kaktusová“ monoidní kategorie je monoidní kategorií společně s rodinou přírodních izomorfismů s následujícími vlastnostmi:
- pro všechny páry předmětů a .
První vlastnost nám to ukazuje , což nám umožňuje vynechat analogii k druhému definujícímu diagramu opletené monoidní kategorie a ignorovat asociační mapy, jak je naznačeno.
Příklady
- Kategorie reprezentace skupiny (nebo a Lež algebra ) je symetrická monoidní kategorie, kde .
- Kategorie reprezentací a kvantovaná univerzální obalová algebra je pletená monoidní kategorie, kde je konstruován pomocí univerzální R-matice. Ve skutečnosti je tento příklad také kategorií pásu karet.
Aplikace
- Uzlové invarianty.
- Symetrický uzavřené monoidní kategorie se používají v denotačních modelech lineární logika a lineární typy.
- Popis a klasifikace topologicky uspořádaných kvantových systémů.
Reference
- ^ André Joyal; Ross Street (listopad 1986), „Splétané monoidní kategorie“ (PDF), Zprávy z matematiky Macquarie (860081)
- ^ André Joyal; Ross Street (1993), „Pletené tenzorové kategorie“, Pokroky v matematice, 102: 20–78, doi:10.1006 / aima.1993.1055
- Chari, Vyjayanthi; Pressley, Andrew. „Průvodce kvantovými skupinami“. Cambridge University Press. 1995.
- Savage, Alistair. Opletené a hraniční monoidní kategorie. Algebry, reprezentace a aplikace, 229–251, Contemp. Math., 483, Amer. Matematika. Soc., Providence, RI, 2009. K dispozici na arXiv
externí odkazy
- Pletená monoidní kategorie v nLab
- John Baez (1999), Úvod do pletených monoidních kategorií, Nálezy z tohoto týdne v matematické fyzice 137.