Teorie Chern – Simons - Chern–Simons theory
Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace.Září 2018) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) ( |
The Teorie Chern – Simons je trojrozměrný topologická kvantová teorie pole z Schwarzův typ vyvinutý uživatelem Edward Witten. Objevil to nejprve matematický fyzik Albert Schwarz. Je pojmenována podle matematiků Shiing-Shen Chern a James Harris Simons kdo představil Chern – Simons ve 3 formách. V teorii Chern-Simons je akce je úměrná integrálu Chern – Simons ve 3 formách.
v fyzika kondenzovaných látek Teorie Chern-Simons popisuje topologické pořadí v frakční kvantový Hallův jev státy. V matematice se používá k výpočtu uzlové invarianty a tři potrubí invarianty, jako je Jonesův polynom.
Teorie Chern-Simons je specifikována výběrem jednoduchých Lež skupina G známý jako měřicí skupina teorie a také číslo označované jako úroveň teorie, což je konstanta, která znásobuje akci. Akce závisí na rozchodu, nicméně funkce oddílu z kvantová teorie je dobře definované když je úroveň celé číslo a měřidlo intenzita pole zmizí na všech hranice trojrozměrného časoprostoru.
Používá se také k vytváření topologické kvantové počítače (TQC). Konkrétně teorie SU (2) Chern – Simons popisuje nejjednodušší neabelian anyonic model TQC, model Yang-Lee-Fibonacci. Své pravidla fúze jsou také popsány Teorie WZW a teorie konformního pole.[1][2]
Klasická teorie
Matematický původ
Ve 40. letech 20. století S. S. Chern a A. Weil studoval vlastnosti globálního zakřivení hladkých potrubí M tak jako de Rhamova kohomologie (Teorie Chern-Weil ), což je důležitý krok v teorii charakteristické třídy v diferenciální geometrie. Vzhledem k bytu G-hlavní balíček P na M existuje jedinečný homomorfismus zvaný Chern – Weilův homomorfismus z algebry G-připojené invariantní polynomy na G (Lieova algebra z G) ke kohomologii . Pokud je invariantní polynom homogenní, lze zapsat konkrétně libovolný k- forma uzavřeného spojení ω jako někteří 2k-forma asociovaného tvaru zakřivení Ω z ω.
V roce 1974 S. S. Chern a J. H. Simons konkrétně postavil (2k - 1) -form df(ω) takové, že
kde T je homomorfismus Chern-Weil. Tento formulář se nazývá Forma Chern – Simons. Li df(ω) je uzavřený, lze integrovat výše uvedený vzorec
kde C je (2k - 1) -dimenzionální cyklus zapnut M. Tento invariant se nazývá Chern – Simons invariantní. Jak bylo zdůrazněno v úvodu článku Chern – Simons, invariant Chern – Simons CS(M) je hraniční pojem, který nelze určit žádnou čistou kombinační formulací. Lze jej také definovat jako
kde je první číslo Pontryagin a s(M) je část normálního ortogonálního svazku P. Kromě toho je termín Chern – Simons popsán jako eta invariantní definovali Atiyah, Patodi a Singer.
Invarianci měřidla a metrickou invariantu lze v teorii Chern-Weil považovat za invariantu pod adjunktní akcí Lieovy skupiny. The akce integrální (cesta integrální ) z teorie pole ve fyzice se považuje za Lagrangian integrál formy Chern – Simons a Wilsonova smyčka, holonomie vektorového svazku M. To vysvětluje, proč je teorie Chern-Simons úzce spjata teorie topologického pole.
Konfigurace
Teorie Chern – Simons lze definovat na jakékoli topologické 3-potrubí M, s hranicí nebo bez ní. Jelikož tyto teorie jsou topologické teorie typu Schwarz, ne metrický je třeba zavést M.
Teorie Chern – Simons je teorie měřidel, což znamená, že a klasický konfigurace v teorii Chern – Simons M s měřicí skupina G je popsán a ředitel školy G- svazek na M. The spojení tohoto svazku se vyznačuje a připojení v jedné formě A který je oceňují v Lež algebra G z Lež skupina G. Obecně spojení A je definován pouze na jednotlivci souřadnicové záplaty a hodnoty A na různých opravách souvisejí s mapami známými jako transformace měřidla. Vyznačují se tvrzením, že kovarianční derivace, což je součet vnější derivace operátor d a spojení A, transformuje do adjunkční reprezentace skupiny měřidel G. Druhá mocnina kovariančního derivátu sama o sobě může být interpretována jako a G-hodnota 2-forma F volal zakřivená forma nebo intenzita pole. Také se transformuje v adjoint reprezentaci.
Dynamika
The akce S Chern-Simonsovy teorie je úměrná integrálu Chern – Simons ve 3 formách
Konstanta k se nazývá úroveň teorie. Klasická fyzika Chern-Simonsovy teorie je nezávislá na výběru úrovně k.
Klasicky je systém charakterizován svými pohybovými rovnicemi, které jsou extrémy akce s ohledem na variace pole A. Z hlediska zakřivení pole
the polní rovnice je výslovně
Klasické pohybové rovnice jsou proto uspokojeny, jen když křivka zmizí všude, v takovém případě se říká, že spojení je byt. Tak klasická řešení G Teorie Chern – Simons jsou plochá spojení principálu G-bundles on M. Plochá spojení jsou zcela určena holonomy kolem nekontrolovatelných cyklů na základně M. Přesněji řečeno, jsou v korespondenci jedna ku jedné s třídami ekvivalence homomorfismů z základní skupina z M do skupiny měřidel G až do konjugace.
Li M má hranici N pak existují další data, která popisují volbu bagatelizace jistiny G-bundle on N. Taková volba charakterizuje mapu z N na G. Dynamika této mapy je popsána v Wess – Zumino – Witten (WZW) model na N na úrovni k.
Kvantování
Na kanonicky kvantifikovat Teorie Chern – Simons definuje stav na každém 2-dimenzionálním povrchu Σ v M. Stejně jako v jakékoli teorii kvantového pole, stavy odpovídají paprskům v Hilbertův prostor. V teorii topologického pole Schwarzova typu neexistuje žádná preferovaná představa o čase, takže lze požadovat, aby Σ byla Cauchyho povrch ve skutečnosti lze stav definovat na jakémkoli povrchu.
Σ je codimension jedna, a tak jeden může snížit M podél Σ. Po takovém řezání bude M potrubí s hranicí a zejména klasicky bude dynamika of popsána modelem WZW. Witten ukázal, že tato korespondence platí i kvantově mechanicky. Přesněji prokázal, že Hilbertův prostor států je vždy konečně trojrozměrný a lze jej kanonicky identifikovat s prostorem konformní bloky modelu G WZW na úrovni k.
Například když Σ je 2 koule, je tento Hilbertův prostor jednorozměrný, takže existuje pouze jeden stav. Když Σ je 2-torus, stavy odpovídají integrovatelnému reprezentace z afinní Lieova algebra odpovídá g na úrovni k. Charakterizace konformních bloků ve vyšších rodech nejsou pro Wittenovo řešení Chern – Simonsovy teorie nutné.
Pozorovatelní
Wilsonovy smyčky
The pozorovatelné Chern-Simonsovy teorie jsou n-směřovat korelační funkce operátorů invariantních k měřidlu. Nejčastěji studovanou třídou invariantních operátorů měřidla jsou Wilsonovy smyčky. Wilsonova smyčka je holonomie kolem smyčky M, vysledováno v daném zastoupení R z G. Jelikož se budeme zajímat o produkty Wilsonových smyček, můžeme bez ztráty obecnosti omezit naši pozornost neredukovatelné reprezentace R.
Přesněji řečeno, vzhledem k neredukovatelnému zastoupení R a smyčka K. v Mlze definovat Wilsonovu smyčku podle
kde A je spojení 1-forma a vezmeme Hodnota Cauchyho jistiny z konturový integrál a je exponenciálně seřazené podle cesty.
HOMFLY a Jonesovy polynomy
Zvažte odkaz L v M, což je sbírka ℓ disjunktní smyčky. Obzvláště zajímavý pozorovatelný je ℓ-bodová korelační funkce vytvořená z produktu Wilsonových smyček kolem každé disjunktní smyčky, z nichž každá je sledována v základní zastoupení z G. Dá se vytvořit normalizovaná korelační funkce dělením této pozorovatelné funkce oddílu Z(M), což je pouze funkce korelace 0 bodů.
Ve zvláštním případě, ve kterém M je 3-koule, Witten ukázal, že tyto normalizované korelační funkce jsou úměrné známým uzlové polynomy. Například v G = U(N) Chern – Simonsova teorie na úrovni k normalizovaná korelační funkce je až do fáze rovna
krát HOMFLY polynom. Zejména když N = 2 se polynom HOMFLY redukuje na Jonesův polynom. V SO (N) případ, jeden najde podobný výraz s Kauffmanův polynom.
Fázová nejednoznačnost odráží skutečnost, že, jak Witten ukázal, funkce kvantové korelace nejsou klasickými daty plně definovány. The spojovací číslo smyčky se sebou vstupuje do výpočtu funkce oddílu, ale toto číslo není invariantní při malých deformacích a zejména není topologickým invariantem. Toto číslo lze vykreslit dobře definované, pokud zvolíte rámování pro každou smyčku, což je volba preferovaného nenulového normální vektor v každém bodě, podél kterého jeden deformuje smyčku, aby vypočítal své spojovací číslo. Tento postup je příkladem dělení bodů regulace postup zavedený Paul Dirac a Rudolf Peierls definovat zjevně odlišné množství v kvantová teorie pole v roce 1934.
Sir Michael Atiyah ukázal, že existuje kanonická volba 2-rámování[Citace je zapotřebí ], který se dnes v literatuře obecně používá a vede k dobře definovanému spojovacímu číslu. S kanonickým rámováním je výše uvedená fáze exponenciální 2πi/(k + N) vynásobí počet odkazů L sám se sebou.
- Problém (Rozšíření Jonesova polynomu na obecné 3-variety)
`` Původní Jonesův polynom byl definován pro 1-články ve 3-sféře (3-koule, 3-prostor R3). Můžete definovat Jonesův polynom pro 1-odkazy v libovolném 3-potrubí? ““
Viz oddíl 1.1 tohoto příspěvku[3] pro pozadí a historii tohoto problému. Kauffman předložil řešení v případě produktového potrubí uzavřeného orientovaného povrchu a uzavřeného intervalu zavedením virtuálních 1 uzlů.[4] V ostatních případech je otevřený. Wittenova cesta integrální pro Jonesův polynom je psána pro odkazy v jakémkoli kompaktním 3-varietě formálně, ale počet se nedělá ani na fyzikální úrovni v žádném případě kromě 3-koule (3-koule, 3-prostor R3). Tento problém je otevřený také na úrovni fyziky. V případě Alexanderova polynomu je tento problém vyřešen.
Vztahy s jinými teoriemi
Topologické teorie řetězců
V kontextu teorie strun, a U(N) Chern – Simonsova teorie o orientovaném Lagrangeově 3-podmanifonu M 6-variet X vzniká jako teorie strunového pole otevřených řetězců končících na a D-brane obal X v A-model topologická teorie strun na X. The B-model topologická teorie pole otevřených řetězců na vesmírném světě objem zásobníku D5-bran je 6-dimenzionální variantou Chern-Simonsovy teorie známé jako holomorfní Chern-Simonsova teorie.
WZW a maticové modely
Teorie Chern – Simons souvisí s mnoha dalšími teoriemi pole. Například, když vezmeme v úvahu Chern-Simonsovu teorii s měřicí skupinou G na potrubí s hranicí, pak mohou být měřeny všechny trojrozměrné šířící se stupně volnosti, takže teorie dvourozměrného konformního pole známý jako G. Model Wess – Zumino – Witten na hranici. Kromě toho U(N) a SO (N) Chern – Simonsovy teorie obecně N jsou dobře aproximovány maticové modely.
Teorie gravitace Chern – Simons
V roce 1982 S. Deser, R. Jackiw a S. Templeton navrhli gravitační teorii Chern – Simons ve třech rozměrech, ve kterých Akce Einstein – Hilbert v gravitační teorii je upraven přidáním Chern-Simonsova termínu.Deser, Jackiw a Templeton (1982)
V roce 2003 R. Jackiw a S. Y. Pi rozšířili tuto teorii do čtyř dimenzí Jackiw & Pi (2003) a Chern-Simonsova teorie gravitace má některé značné účinky nejen na základní fyziku, ale také na teorii kondenzované hmoty a astronomii.
Čtyřrozměrný případ je velmi analogický s trojrozměrným případem. Ve třech dimenzích je gravitační termín Chern – Simons
Tato variace dává Bavlněný tenzor
Poté se provede Chern – Simonsova modifikace trojrozměrné gravitace přidáním výše uvedeného bavlněného tenzoru k polní rovnici, kterou lze získat jako vakuové řešení změnou Einstein-Hilbertovy akce.
Viz také (2 + 1) –dimenzionální topologická gravitace.
Chern – Simons záleží na teoriích
V roce 2013 Kenneth A. Intriligator a Nathan Seiberg vyřešil pomocí těchto 3d Chern – Simonsových teorií měřidel a jejich fází monopoly nesoucí další stupně volnosti. The Wittenův index z mnoha vakuum objeveno bylo vypočítáno zhutněním prostoru zapnutím hmotnostních parametrů a poté výpočtem indexu. V nějaké vakuu supersymetrie byl vypočítán jako zlomený. Tyto monopoly souvisely s kondenzovaná hmota víry. (Intriligator & Seiberg (2013) )
The N = 6 Chern – Simonsova teorie hmoty je holografický duální M-teorie na .
Chern – Simonsovy výrazy v jiných teoriích
Termín Chern – Simons lze také přidat k modelům, které nejsou topologickými teoriemi kvantového pole. Ve 3D to vede k masivnímu foton pokud je tento termín přidán k činnosti Maxwellovy teorie elektrodynamika. Tento termín lze vyvolat integrací přes masivní náboj Dirac pole. Objevuje se také například v kvantový Hallův jev. Deset a jedenáctimenzionální zobecnění termínů Chern – Simons se objevují v akcích všech deset a jedenáct dimenzionálních supergravitace teorie.
Renormalizace úrovně v jedné smyčce
Pokud někdo přidá hmotu k teorii měřidla podle Chern-Simons, pak už to obecně není topologické. Pokud však někdo přidá n Majoranské fermiony pak kvůli paritní anomálie, po integraci vedou k čisté teorii Chern-Simons s jednou smyčkou renormalizace úrovně Chern – Simons -n/ 2, jinými slovy, úroveň k teorie s n fermiony je ekvivalentní úrovni k − n/ 2 teorie bez fermionů.
Viz také
- Teorie měřidla (matematika)
- Forma Chern – Simons
- Topologická kvantová teorie pole
- Alexanderův polynom
- Jonesův polynom
- 2 + 1D topologická gravitace
Reference
- Chern, S.-S. & Simons, J. (1974). "Charakteristické tvary a geometrické invarianty". Annals of Mathematics. 99 (1): 48–69. doi:10.2307/1971013. JSTOR 1971013.
- Deser, Stanley; Jackiw, Roman; Templeton, S. (1982). „Trojrozměrné teorie masivních měřidel“ (PDF). Dopisy o fyzické kontrole. 48 (15): 975–978. Bibcode:1982PhRvL..48..975D. doi:10.1103 / PhysRevLett.48.975.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Intriligator, Kenneth; Seiberg, Nathan (2013). "Aspekty 3D N = 2 Chern – Simons Matter Theories “. Journal of High Energy Physics. 2013: 79. arXiv:1305.1633. Bibcode:2013JHEP ... 07..079I. doi:10.1007 / JHEP07 (2013) 079. S2CID 119106931.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Jackiw, Roman; Pi, S.-Y (2003). „Chern – Simonsova modifikace obecné relativity“. Fyzický přehled D. 68 (10): 104012. arXiv:gr-qc / 0308071. Bibcode:2003PhRvD..68j4012J. doi:10.1103 / PhysRevD.68.104012. S2CID 2243511.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Kulshreshtha, Usha; Kulshreshtha, D.S .; Mueller-Kirsten, H. J. W .; Vary, J. P. (2009). „Hamiltonian, Path integrál a BRST formulace Chern-Simons-Higgsovy teorie pod příslušným rozchodem upevnění“. Physica Scripta . 79 (4): 045001. Bibcode:2009PhyS ... 79d5001K. doi:10.1088/0031-8949/79/04/045001.
- Kulshreshtha, Usha; Kulshreshtha, D.S .; Vary, J. P. (2010). „Lightian-front Hamiltonian, Path integrál a BRST formulace Chern-Simons-Higgsovy teorie pod příslušným rozchodem upevnění“. Physica Scripta. 82 (5): 055101. Bibcode:2010PhyS ... 82e5101K. doi:10.1088/0031-8949/82/05/055101.
- Lopez, Ana; Fradkin, Eduardo (1991). „Frakční kvantový Hallův jev a Chern-Simonsovy teorie teorií“. Fyzický přehled B. 44 (10): 5246–5262. Bibcode:1991PhRvB..44.5246L. doi:10.1103 / PhysRevB.44.5246. PMID 9998334.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Marino, Marcos (2005). „Chern-Simonsova teorie a topologické řetězce“. Recenze moderní fyziky. 77 (2): 675–720. arXiv:hep-th / 0406005. Bibcode:2005RvMP ... 77..675M. doi:10.1103 / RevModPhys.77.675. S2CID 6207500.
- Marino, Marcos (2005). Teorie Chern-Simons, maticové modely a topologické řetězce. Mezinárodní série monografií o fyzice. Oxford University Press.
- Witten, Edward (1988). „Topologická kvantová teorie pole“. Komunikace v matematické fyzice. 117 (3): 353–386. Bibcode:1988CMaPh.117..353W. doi:10.1007 / BF01223371. S2CID 43230714.
- Witten, Edward (1989). "Kvantová teorie pole a Jonesův polynom". Komunikace v matematické fyzice. 121 (3): 351–399. Bibcode:1989CMaPh.121..351W. doi:10.1007 / BF01217730. PAN 0990772. S2CID 14951363.
- Witten, Edward (1995). „Chern – Simonsova teorie jako teorie strun“. Pokrok v matematice. 133: 637–678. arXiv:hep-th / 9207094. Bibcode:1992hep.th .... 7094W.
- Charakteristický
- ^ Freedman, Michael H .; Kitaev, Alexej; Larsen, Michael J .; Wang, Zhenghan (2002-09-20). "Topologický kvantový výpočet". arXiv:quant-ph / 0101025.
- ^ Wang, Zhenghan. „Topologický kvantový výpočet“ (PDF).
- ^ Kauffman, L.H .; Ogasa, E; Schneider, J (2018), Rotující konstrukce pro virtuální 1 uzly a 2 uzly a vláknová a svařovaná ekvivalence virtuálních 1 uzlů, arXiv:1808.03023
- ^ Kauffman, L.E. (1998), Přednášky na zasedání MSRI v lednu 1997, setkání AMS na University of Maryland, College Park v březnu 1997, přednáška institutu Isaaca Newtona v listopadu 1997, uzly na Hellasu v řeckém Delphi v červenci 1998, sympózium APCTP-NANKAI o systémech Yang-Baxter Systems „Nelineární modely a aplikace v Soulu v Koreji v říjnu 1998, teorie virtuálních uzlů, evropská J. Combin. 20 (1999) 663–690, arXiv:matematika / 9811028
externí odkazy
- "Chern-Simons funkční", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]