Exponenciální objekt - Exponential object

v matematika, konkrétně v teorie kategorií, an exponenciální objekt nebo mapový objekt je kategorické zobecnění a funkční prostor v teorie množin. Kategorie se vším konečné výrobky a exponenciální objekty se nazývají kartézské uzavřené kategorie. Kategorie (např podkategorií z Horní) bez souvisejících produktů může stále mít exponenciální zákon.^[1][2]

Definice

Nechat ${ displaystyle mathbf {C}}$ být kategorií, ať ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle Y}$ být předměty z ${ displaystyle mathbf {C}}$a nechte ${ displaystyle mathbf {C}}$ mít všechny binární produkty s ${ displaystyle Y}$. Objekt ${ textstyle Z ^ {Y}}$ společně s a morfismus ${ textstyle mathrm {eval} dvojtečka (Z ^ {Y} krát Y) pravá šipka Z}$ je exponenciální objekt pokud pro jakýkoli objekt ${ displaystyle X}$ a morfismus ${ textový styl dvojtečka X krát Y do Z}$ existuje jedinečný morfismus ${ textstyle lambda g dvojtečka X až Z ^ {Y}}$ (volal přemístit z ${ displaystyle g}$) tak, že následující diagram dojíždí:

Toto přiřazení jedinečného ${ displaystyle lambda g}$ ke každému ${ displaystyle g}$ zakládá izomorfismus z hom-sady, ${ textstyle mathrm {Hom} (X krát Y, Z) cong mathrm {Hom} (X, Z ^ {Y}).}$

Li ${ textstyle Z ^ {Y}}$existuje pro všechny objekty ${ displaystyle Z, Y}$ v ${ displaystyle mathbf {C}}$, pak funktor ${ displaystyle (-) ^ {Y} dvojtečka mathbf {C} do mathbf {C}}$ definované na objektech ${ displaystyle Z mapsto Z ^ {Y}}$ a na šipkách od ${ displaystyle (f tlustý X až Z) mapsto (f ^ {Y} tlustý X ^ {Y} až Z ^ {Y})}$, je pravý adjoint funktoru produktu ${ displaystyle - krát Y}$. Z tohoto důvodu morfismy ${ displaystyle lambda g}$ a ${ displaystyle g}$ jsou někdy nazývány exponenciální sousední jeden druhého.^[3]

Rovná definice

Alternativně lze exponenciální objekt definovat pomocí rovnic:

• Existence ${ displaystyle lambda g}$ je zaručeno existencí operace ${ displaystyle lambda -}$.
• Komutativita výše uvedených diagramů je zaručena rovností ${ displaystyle forall g colon X times Y to Z, mathrm {eval} circ ( lambda g times mathrm {id} _ {Y}) = g}$.
• Jedinečnost ${ displaystyle lambda g}$ je zaručena rovností ${ displaystyle forall h colon X to Z ^ {Y}, lambda ( mathrm {eval} circ (h times mathrm {id} _ {Y})) = h}$.

Univerzální vlastnictví

Exponenciální ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ je dán a univerzální morfismus z funktoru produktu ${ displaystyle - krát Y}$ k objektu ${ displaystyle Z}$. Tento univerzální morfismus se skládá z předmětu ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ a morfismus ${ textstyle mathrm {eval} dvojtečka (Z ^ {Y} krát Y) pravá šipka Z}$.

Příklady

V kategorie sad, exponenciální objekt ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ je sada všech funkcí ${ displaystyle Y až Z}$.^[4] Mapa ${ displaystyle mathrm {eval} dvojtečka (Z ^ {Y} krát Y) do Z}$ je jen hodnotící mapa, který dvojici odešle ${ displaystyle (f, y)}$ na ${ displaystyle f (y)}$. Pro jakoukoli mapu ${ displaystyle g dvojtečka (X krát Y) pravá šipka Z}$ mapa ${ displaystyle lambda g dvojtečka X až Z ^ {Y}}$ je kari druh ${ displaystyle g}$:

${ displaystyle lambda g (x) (y) = g (x, y). ,}$

A Heyting algebra ${ displaystyle H}$ je jen omezený mříž který má všechny exponenciální objekty. Heyting implication, ${ displaystyle Y Rightarrow Z}$, je alternativní notace pro ${ displaystyle Z ^ {Y}}$. Výše uvedené výsledky adjunkce se promítají do implikace (${ displaystyle Rightarrow: H krát H do H}$) bytost pravý adjoint na setkat (${ displaystyle klín: H krát H až H}$). Tuto adjunkci lze zapsat jako ${ displaystyle (- klín Y) dashv (Y Rightarrow -)}$nebo lépe jako:

$${ displaystyle (- klín Y): H { stackrel { longrightarrow} { podmnožina { longleftarrow} { top}}} H: (Y Rightarrow -)}$$

V kategorie topologických prostorů, exponenciální objekt ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ existuje za předpokladu, že ${ displaystyle Y}$ je místně kompaktní Hausdorffův prostor. V tom případě prostor ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ je množina všech spojité funkce z ${ displaystyle Y}$ na ${ displaystyle Z}$ společně s kompaktně otevřená topologie. Vyhodnocovací mapa je stejná jako v kategorii sad; je spojitá s výše uvedenou topologií.^[5] Li ${ displaystyle Y}$ není místně kompaktní Hausdorff, exponenciální objekt nemusí existovat (prostor ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ stále existuje, ale nemusí se stát exponenciálním objektem, protože vyhodnocovací funkce nemusí být spojitá). Z tohoto důvodu nelze kategorii topologických prostorů kartézsky uzavřít. Kategorie lokálně kompaktních topologických prostorů však také kartézská není. ${ displaystyle Z ^ {Y}}$ nemusí být lokálně kompaktní pro lokálně kompaktní prostory ${ displaystyle Z}$ a ${ displaystyle Y}$. Kartézská uzavřená kategorie prostorů je například dána znakem celá podkategorie překlenutý kompaktně generované Hausdorffovy prostory.

v funkční programovací jazyky morfismus ${ displaystyle operatorname {eval}}$ je často volala ${ displaystyle operatorname {použít}}$ a syntaxe ${ displaystyle lambda g}$ je často psaný ${ displaystyle operatorname {kari} (g)}$. Morfismus ${ displaystyle operatorname {eval}}$ nesmí být zaměňována s eval funkce v některých programovací jazyky, který hodnotí citované výrazy.

Viz také

• Uzavřená monoidní kategorie

Poznámky

Reference

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George Strecker (2006) [1990]. Kategorie abstraktu a betonu (Radost koček). John Wiley & Sons.
• Awodey, Steve (2010). „Kapitola 6: Exponenciály“. Teorie kategorií. Oxford New York: Oxford University Press. ISBN  978-0199237180.
• MacLane, Saunders (1998). „Kapitola 4: Sousedství“. Kategorie pro pracujícího matematika. New York: Springer. ISBN  978-0387984032.

externí odkazy

• Interaktivní webová stránka který generuje příklady exponenciálních objektů a dalších kategorických konstrukcí. Napsáno Jocelyn Paine.