Profunctor - Profunctor
v teorie kategorií, pobočka matematika, profesoři jsou zobecněním vztahy a také z bimoduly.
Definice
A profesor (také pojmenovaný distributor francouzskou školou a modul školou v Sydney) od a kategorie do kategorie , psaný
- ,
je definován jako a funktor
kde označuje opačná kategorie z a označuje kategorie sad. Vzhledem k morfismům respektive v a prvek , píšeme k označení akcí.
Za použití kartézský uzávěr z , kategorie malých kategorií profunctor lze na něj pohlížet jako na funktora
kde označuje kategorii z předvádí přes .
A korespondence z na je profunctor .
Oznamovatelé jako kategorie
Ekvivalentní definice profesora je kategorie, jejíž objekty jsou nesouvislým spojením objektů a objekty , a jejichž morfismy jsou morfismem a morfismy , plus nula nebo více dalších morfismů z objektů na objekty . Sady ve formální definici výše jsou hom-sady mezi objekty a předměty . (Tito jsou také známí jako sady het, protože lze nazývat odpovídající morfismy heteromorfismy.[1]) Předchozí definici lze obnovit omezením homfunktoru na .
To také objasňuje, že profunktora lze považovat za vztah mezi objekty a objekty , kde je každý člen relace spojen se souborem morfismů. Funktor je speciální případ profunktoru, stejně jako funkce je speciální případ relace.
Složení profesorů
Kompozitní dvou profesorů
- a
darováno
kde je vlevo Kan rozšíření funktoru podél Yoneda funktor z (který každému objektu z sdružuje funktor ).
To lze ukázat
kde je nejméně rovnocenný vztah takový, že kdykoli existuje morfismus v takhle
- a .
Bicategory profesorů
Složení profesorů je asociativní pouze do izomorfismu (protože produkt není striktně asociativní v Soubor). Nejlepší lze tedy doufat, že postaví dvoukategorie Prof jehož
- 0-buňky jsou malé kategorie,
- 1-buňky mezi dvěma malými kategoriemi jsou profunktory mezi těmito kategoriemi,
- 2články mezi dvěma profesory jsou přirozené transformace mezi těmi profesory.
Vlastnosti
Zvedání funktorů na profesory
Funktor může být viděn jako profunctor postcomposing s funktorem Yoneda:
- .
Je možné ukázat, že takový profunctor má správné adjoint. Navíc se jedná o charakteristiku: profunctor má právo adjoint právě tehdy faktory prostřednictvím Cauchyho dokončení z , tj. existuje funktor takhle .
Reference
- ^ heteromorfismus
- Bénabou, Jean (2000). „Distributoři v práci“ (PDF). Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - Borceux, Francis (1994). Příručka kategorické algebry. POHÁR.
- Lurie, Jacob (2009). Teorie vyšších toposů. Princeton University Press.
- Profunctor v nLab
- Heteromorfismus v nLab