Pravidelná kategorie - Regular category - Wikipedia

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Září 2016) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v teorie kategorií, a běžná kategorie je kategorie s konečné limity a ekvalizéry dvojice zvaných morfismů páry jader, uspokojující jisté přesnost podmínky. Tímto způsobem pravidelné kategorie zachycují mnoho vlastností abelianské kategorie jako existence snímky, bez nutnosti přidání. Současné pravidelné kategorie zároveň poskytují základ pro studium fragmentu logika prvního řádu, známý jako regulární logika.

Definice

Kategorie C je nazýván pravidelný pokud splňuje následující tři vlastnosti:^[1]

• C je konečně kompletní.
• Li F : X → Y je morfismus v C, a

je zarazit, pak ekvalizér p₀, p₁ existuje. Dvojice (p₀, p₁) se nazývá pár jádra z F. Jelikož jde o pullback, dvojice jader je jedinečná až jedinečná izomorfismus.

• Li F : X → Y je morfismus v C, a

je pullback, a pokud F je pravidelný epimorfismus, pak G je také pravidelný epimorfismus. A pravidelný epimorfismus je epimorfismus, který se jeví jako kokvalizér nějaké dvojice morfismů.

Příklady

Mezi příklady běžných kategorií patří:

• Soubor, kategorie sady a funkce mezi sadami
• Obecněji každý elementární topos
• Grp, kategorie skupiny a skupinové homomorfismy
• Kategorie prsteny a kruhové homomorfismy
• Obecněji řečeno, kategorie modelů jakéhokoli odrůda
• Každý ohraničený meet-semilattice, s morfismem daným vztahem objednávky
• Každý abelianská kategorie

Následující kategorie jsou ne pravidelný:

• Horní, kategorie topologické prostory a spojité funkce
• Kočka, kategorie malé kategorie a funktory

Epi-mono faktorizace

V běžné kategorii jeepimorfismus a monomorfismy tvoří a faktorizační systém. Každý morfismus f: X → Y lze rozložit na pravidelné epimorfismus e: X → E následuje a monomorfismus m: E → Y, aby f = já. Faktorizace je jedinečná v tom smyslu, že pokud e ': X → E' je další pravidelný epimorfismus a m ': E' → Y je další takový monomorfismus f = m'e ', pak existuje izomorfismus h: E → E ' takhle on = e ' a m'h = m. Monomorfismus m se nazývá obraz z F.

Přesné sekvence a pravidelné funktory

V běžné kategorii schéma formuláře ${ displaystyle R rightrightarrows X až Y}$ se říká, že je přesná sekvence pokud se jedná o pár ekvalizérů a pár jader. Terminologie je zobecněním přesné sekvence v homologická algebra: v abelianská kategorie, diagram

${ displaystyle R ; { přesahující {r} { podmnožina {s} { rightrightarrows}}} ; X xrightarrow {f} Y}$

je v tomto smyslu přesný právě tehdy ${ displaystyle 0 až R { xrightarrow {(r, s)}} X oplus X { xrightarrow {(f, -f)}} Y až 0}$ je krátká přesná sekvence v obvyklém smyslu.

Volá se funktor mezi regulárními kategoriemi pravidelný, pokud zachovává konečné limity a ekvalizéry párů jader. Funktor je pravidelný, právě když zachová konečné limity a přesné sekvence. Z tohoto důvodu se někdy nazývají pravidelné funktory přesné funktory. O funktorech, které zachovávají konečné limity, se často říká, že jsou vlevo přesně.

Pravidelná logika a pravidelné kategorie

Pravidelná logika je fragment logika prvního řádu které mohou vyjadřovat prohlášení formuláře

${ displaystyle forall x ( phi (x) to psi (x))}$,

kde ${ displaystyle phi}$ a ${ displaystyle psi}$ jsou pravidelné vzorce tj. vzorce vytvořené z atomové vzorce, konstanta pravdy, binární splňuje (spojení) a existenční kvantifikace. Takové vzorce lze interpretovat v běžné kategorii a interpretace je modelem a následující ${ displaystyle forall x ( phi (x) to psi (x))}$, pokud je interpretace ${ displaystyle phi}$ faktory prostřednictvím výkladu ${ displaystyle psi}$.^[2] To dává pro každou teorii (sadu sekvencí) T a pro každou běžnou kategorii C kategorie Mod(T, C) modelů T v C. Tato konstrukce dává funktor Mod(T,-):RegCat→Kočka z kategorie RegCat z malý pravidelné kategorie a pravidelné funktory do malých kategorií. Pro každou teorii je to důležitý výsledek T existuje pravidelná kategorie R (T), takže pro každou běžnou kategorii C tady je rovnocennost

${ displaystyle mathbf {Mod} (T, C) cong mathbf {RegCat} (R (T), C)}$,

což je přirozené C. Tady, R (T) se nazývá klasifikace kategorie pravidelné teorie T. Až do rovnocennosti každá malá regulární kategorie vzniká tímto způsobem jako klasifikační kategorie nějaké regulární teorie.^[2]

Přesné (účinné) kategorie

Teorie ekvivalenční vztahy je běžná teorie. Vztah ekvivalence na objektu ${ displaystyle X}$ pravidelné kategorie je monomorfismus do ${ displaystyle X krát X}$ který splňuje interpretace podmínek pro reflexivitu, symetrii a tranzitivitu.

Každý pár jader ${ displaystyle p_ {0}, p_ {1}: R rightarrow X}$ definuje vztah ekvivalence ${ displaystyle R rightarrow X krát X}$. Naopak se říká, že jde o vztah ekvivalence efektivní pokud vznikne jako pár jádra.^[3] Vztah ekvivalence je účinný právě tehdy, má-li ekvalizér a jedná se o jádrový pár.

Pravidelná kategorie se říká, že je přesnýnebo přesné ve smyslu Barrnebo efektivní pravidelné, pokud je každý vztah ekvivalence účinný.^[4] (Všimněte si, že termín "přesná kategorie" se také používá odlišně přesné kategorie ve smyslu Quillen.)

Příklady přesných kategorií

• The kategorie sad je v tomto smyslu přesný, stejně jako jakýkoli (základní) topos. Každý vztah ekvivalence má coequalizer, který je nalezen při třídy ekvivalence.
• Každý abelianská kategorie je přesný.
• Každá kategorie, která je monadický přes kategorii sad je přesná.
• Kategorie Kamenné prostory je pravidelné, ale není přesné.

Viz také

• Alegorie (teorie kategorií)
• Topos
• Přesné dokončení

Reference

• Michael Barr, Pierre A. Grillet, Donovan H. van Osdol. Přesné kategorie a kategorie snopůSpringer, Přednášky z matematiky 236. 1971.
• Francis Borceux, Příručka kategorické algebry 2, Cambridge University Press, (1994).
• Stephen Lack, Poznámka k přesnému dokončení pravidelné kategorie a jejím nekonečným zevšeobecněním ". Teorie a aplikace kategorií, sv. 5, č. 3, (1999).
• Jaap van Oosten (1995), Teorie základní kategorie, BRICS Lectures Series LS-95-1, (1995).
• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter, eds. (2004). Kategorické základy. Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN  0-521-83414-7. Zbl  1034.18001.