Derivátor - Derivator - Wikipedia

v matematika, deriváty jsou navrhovaným novým rámcem^{[1][2]str. 190-195} pro homologická algebra poskytnutí rámce pro neabelovskou homologickou algebru a její různé zobecnění. Byly zavedeny k řešení nedostatků odvozené kategorie (například nefunkčnost konstrukce kužele) a zároveň poskytnout jazyk pro homotopická algebra.

Derivátory poprvé představil Alexander Grothendieck ve svém dlouho nepublikovaném rukopisu z roku 1983 Pronásledování hromádek. Poté je dále rozvinul v obrovském nepublikovaném rukopisu z roku 1991 Les Dérivateurs téměř 2 000 stránek.

Rukopis upravil pro online publikaci Georges Maltsiniotis. Teorii dále rozvíjelo několik dalších lidí, včetně Hellera, Franke, Keller a Groth.

Motivace

Jedním z motivačních důvodů pro zvažování derivátorů je nedostatek funkčnosti s konstrukcí kužele s trojúhelníkové kategorie. Derivátory jsou schopny vyřešit tento problém a vyřešit zařazení obecného homotopické kolimity, sledováním všech možných diagramů v kategorii s slabé ekvivalence a jejich vzájemné vztahy. Heuristicky, vzhledem k diagramu

${ displaystyle bullet to bullet}$

což je kategorie se dvěma objekty a jednou šipkou neidentity a funktorem

${ displaystyle F: ( kulka k kulka) k A}$

do kategorie ${ displaystyle A}$ s třídou slabé ekvivalence ${ displaystyle W}$, a splnění správných hypotéz, by měl mít přidružený funktor

${ displaystyle C (F): odrážka A [W ^ {- 1}]}$

kde je cílový objekt jedinečný až do slabé ekvivalence v ${ displaystyle { mathcal {C}} [W ^ {- 1}]}$. Derivátory jsou schopny kódovat tento druh informací a poskytnout kalkulátor diagramu, který se použije odvozené kategorie a homotopická teorie.

Definice

Prederivátory

Formálně, a předchůdce ${ displaystyle mathbb {D}}$ je 2 funktor

${ displaystyle mathbb {D}: { text {Ind}} ^ {op} to { text {CAT}}}$

z vhodné 2 kategorie indexy do kategorie kategorií. Typicky takové 2 funktory pocházejí z uvažování kategorií ${ displaystyle { underline { text {Hom}}} (I ^ {op}, A)}$ kde ${ displaystyle A}$ se nazývá kategorie koeficientů. Například, ${ displaystyle { text {Ind}}}$ může být kategorie filtrovaných malých kategorií, jejichž objekty lze považovat za indexovací sady pro a filtrovaný kolimit. Poté, vzhledem k morfismu diagramů

${ displaystyle f: I to J}$

označit ${ displaystyle f ^ {*}}$ podle

${ displaystyle f ^ {*}: mathbb {D} (J) do mathbb {D} (I)}$

Tomu se říká inverzní obraz funktor. V motivačním příkladu je to pouze předkompozice, tedy daný funktor ${ displaystyle F_ {I} v { podtržení { text {Hom}}} (I ^ {op}, A)}$ existuje přidružený funktor ${ displaystyle F_ {J} = F_ {I} circ f}$. Všimněte si, že tyto 2 funktory lze považovat za

${ displaystyle { underline { text {Hom}}} (-, A [W ^ {- 1}])}}$

kde ${ displaystyle W}$ je vhodná třída slabé ekvivalence v kategorii ${ displaystyle A}$.

Indexování kategorií

Existuje několik příkladů indexovacích kategorií použitých v této konstrukci

• 2-kategorie ${ displaystyle { text {FinCat}}}$ konečných kategorií, takže objekty jsou kategorie, jejichž kolekce objektů jsou konečné sady.
• Pořadová kategorie ${ displaystyle Delta}$ lze rozdělit do dvou kategorií, kde objekty jsou kategorie s jedním objektem a funktory přicházejí ze šipek v pořadové kategorii.
• Další možností je jednoduše použít kategorii malých kategorií.
• Kromě toho spojené s jakýmkoli topologickým prostorem ${ displaystyle X}$ je kategorie ${ displaystyle { text {Open}} (X)}$ které lze použít jako kategorii indexování.
• To lze zobecnit na jakékoli topos ${ displaystyle T}$, takže kategorie indexování je podkladový web.

Derivátory

Derivátory jsou pak axiomatizací prederivátorů, které jsou vybaveny adjunkčními funktory

${ displaystyle { begin {matrix} f ^ {?} & f _ {!} & f ^ {*} & f _ {*} & f ^ {!} end {matrix}}}$

kde ${ displaystyle f_ {!}}$ je vlevo přidružen k ${ displaystyle f ^ {*}}$ a tak dále. Heuristicky, ${ displaystyle f _ {*}}$ by měl odpovídat inverzním limitům, ${ displaystyle f_ {!}}$ na kolimity.

Reference

• Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis
• Derivátory, špičaté deriváty a stabilní deriváty (Moritz Groth)

externí odkazy

• derivátor v nLab
• Subtopoi, otevřené subtoposy a uzavřené subtoposy
• https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html

Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.