Derivátor - Derivator - Wikipedia
v matematika, deriváty jsou navrhovaným novým rámcem[1][2]str. 190-195 pro homologická algebra poskytnutí rámce pro neabelovskou homologickou algebru a její různé zobecnění. Byly zavedeny k řešení nedostatků odvozené kategorie (například nefunkčnost konstrukce kužele) a zároveň poskytnout jazyk pro homotopická algebra.
Derivátory poprvé představil Alexander Grothendieck ve svém dlouho nepublikovaném rukopisu z roku 1983 Pronásledování hromádek. Poté je dále rozvinul v obrovském nepublikovaném rukopisu z roku 1991 Les Dérivateurs téměř 2 000 stránek.
Rukopis upravil pro online publikaci Georges Maltsiniotis. Teorii dále rozvíjelo několik dalších lidí, včetně Hellera, Franke, Keller a Groth.
Motivace
Jedním z motivačních důvodů pro zvažování derivátorů je nedostatek funkčnosti s konstrukcí kužele s trojúhelníkové kategorie. Derivátory jsou schopny vyřešit tento problém a vyřešit zařazení obecného homotopické kolimity, sledováním všech možných diagramů v kategorii s slabé ekvivalence a jejich vzájemné vztahy. Heuristicky, vzhledem k diagramu
což je kategorie se dvěma objekty a jednou šipkou neidentity a funktorem
do kategorie s třídou slabé ekvivalence , a splnění správných hypotéz, by měl mít přidružený funktor
kde je cílový objekt jedinečný až do slabé ekvivalence v . Derivátory jsou schopny kódovat tento druh informací a poskytnout kalkulátor diagramu, který se použije odvozené kategorie a homotopická teorie.
Definice
Prederivátory
Formálně, a předchůdce je 2 funktor
z vhodné 2 kategorie indexy do kategorie kategorií. Typicky takové 2 funktory pocházejí z uvažování kategorií kde se nazývá kategorie koeficientů. Například, může být kategorie filtrovaných malých kategorií, jejichž objekty lze považovat za indexovací sady pro a filtrovaný kolimit. Poté, vzhledem k morfismu diagramů
označit podle
Tomu se říká inverzní obraz funktor. V motivačním příkladu je to pouze předkompozice, tedy daný funktor existuje přidružený funktor . Všimněte si, že tyto 2 funktory lze považovat za
kde je vhodná třída slabé ekvivalence v kategorii .
Indexování kategorií
Existuje několik příkladů indexovacích kategorií použitých v této konstrukci
- 2-kategorie konečných kategorií, takže objekty jsou kategorie, jejichž kolekce objektů jsou konečné sady.
- Pořadová kategorie lze rozdělit do dvou kategorií, kde objekty jsou kategorie s jedním objektem a funktory přicházejí ze šipek v pořadové kategorii.
- Další možností je jednoduše použít kategorii malých kategorií.
- Kromě toho spojené s jakýmkoli topologickým prostorem je kategorie které lze použít jako kategorii indexování.
- To lze zobecnit na jakékoli topos , takže kategorie indexování je podkladový web.
Derivátory
Derivátory jsou pak axiomatizací prederivátorů, které jsou vybaveny adjunkčními funktory
kde je vlevo přidružen k a tak dále. Heuristicky, by měl odpovídat inverzním limitům, na kolimity.
Reference
- Les Dérivateurs: Texte d'Alexandre Grothendieck. Édité par M. Künzer, J. Malgoire, G. Maltsiniotis
- Derivátory, špičaté deriváty a stabilní deriváty (Moritz Groth)
externí odkazy
- derivátor v nLab
- Subtopoi, otevřené subtoposy a uzavřené subtoposy
- https://golem.ph.utexas.edu/category/2018/03/stabilization_of_derivators.html
![]() | Tento algebra související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to. |
- ^ Grothendieck. „Les Dérivateurs“.
- ^ Grothendieck. „Pronásledování hromádek“. thivizovatel.github.io. Archivováno (PDF) od původního dne 30. července 2020. Citováno 2020-09-17.