Šest operací - Six operations

v matematika, Grothendieckových šest operací, pojmenoval podle Alexander Grothendieck, je formalismus v homologická algebra. Původně vzešel ze vztahů v étale cohomology které vznikají morfismem schémata F : X → Y. Základní vhled spočíval v tom, že mnoho elementárních faktů týkajících se kohomologie je zapnuto X a Y byly formální důsledky malého počtu axiomů. Tyto axiomy platí v mnoha případech zcela nesouvisející s původním kontextem, a proto platí i formální důsledky. Od té doby se ukázalo, že šest formálních operací se vztahuje na kontexty, jako je D-moduly na algebraických varietách, snopy v lokálně kompaktních topologických prostorech a motivy.

Operace

Jedná se o šest funktorů. Obvykle se jedná o funktory mezi odvozenými kategoriemi, takže jsou ve skutečnosti doleva a doprava odvozené funktory.

the přímý obraz ${ displaystyle f _ {*}}$
the inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {*}}$
the správný (nebo mimořádný) přímý obraz ${ displaystyle f_ {!}}$
the správný (nebo mimořádný) inverzní obraz ${ displaystyle f ^ {!}}$
vnitřní tenzorový produkt
interní Hom

Funktory ${ displaystyle f ^ {*}}$ a ${ displaystyle f _ {*}}$ pro muže adjunkční funktor pár, stejně jako ${ displaystyle f_ {!}}$ a ${ displaystyle f ^ {!}}$ .^[1] Podobně je interní tenzorový produkt ponechán adjungovaný s interním Hom.

Šest operací v étale cohomology

Nechat F : X → Y být morfismem schémat. Morfismus F indukuje několik funktorů. Konkrétně to dává adjunkční funktory F^* a F_* mezi kategoriemi snopů na X a Y, a dává to funktor F_! přímého obrazu se správnou podporou. V odvozená kategorie, Rf_! připouští správné adjoint F^!. A konečně, při práci s abelianskými snopy existuje funktor tenzorového součinu internal a vnitřní funktor Hom, které jsou adjungovány. Šest operací jsou odpovídající funktory odvozené kategorie: Lf^*, Rf_*, Rf_!, F^!, ⊗^L, a RHom.

Předpokládejme, že se omezíme na kategorii ${ displaystyle ell}$ -adické torzní kladky, kde ${ displaystyle ell}$ je coprime k charakteristice X a ze dne Y. V SGA 4 III Grothendieck a Artin dokázali, že pokud F je hladký relativního rozměru d, pak Lf^* je izomorfní s F^!(−d)[−2d], kde (−d) označit dth inverzní Tate twist a [−2d] označuje posun stupně o −2d. Dále předpokládejme, že F je oddělený a konečného typu. Li G : Y′ → Y je další morfismus schémat, pokud X′ označuje základní změnu X podle G, a pokud F' a G′ Označuje základní změny F a G podle G a Fpak existují přirozené izomorfismy:

{ Displaystyle Lg ^ {*} Circ Rf _ {!} do Rf '_ {!} Circ Lg' ^ {*},}

{ displaystyle Rg '_ {*} circ f' ^ {!} to f ^ {!} circ Rg _ {*}.}

Znovu za předpokladu, že F je oddělené a konečného typu pro všechny objekty M v odvozené kategorii X a N v odvozené kategorii Yexistují přírodní izomorfismy:

{ displaystyle (Rf _ {!} M) otimes _ {Y} N to Rf _ {!} (M otimes _ {X} Lf ^ {*} N),}

{ displaystyle operatorname {RHom} _ {Y} (Rf _ {!} M, N) až Rf _ {*} operatorname {RHom} _ {X} (M, f ^ {!} N),}

{ displaystyle f ^ {!} operatorname {RHom} _ {Y} (M, N) to operatorname {RHom} _ {X} (Lf ^ {*} M, f ^ {!} N).}

Li i je uzavřené ponoření Z do S s doplňkovým otevřeným ponořením j, pak v odvozené kategorii existuje rozlišovací trojúhelník:

{ displaystyle Rj _ {!} j ^ {!} až 1 až Ri _ {*} i ^ {*} až Rj _ {!} j ^ {!} [1],}

kde první dvě mapy jsou počet a jednotka přídavků. Li Z a S jsou pravidelné, pak existuje izomorfismus:

{ displaystyle 1_ {Z} (- c) [- 2c] až i ^ {!} 1_ {S},}

kde 1_Z a 1_S jsou jednotky operací tenzorového produktu (které se liší v závislosti na kategorii kategorie ${ displaystyle ell}$ - zvažuje se adická torzní kladka).

Li S je pravidelný a G : X → S, a pokud K. je invertibilní objekt v odvozené kategorii na S s ohledem na ⊗^L, pak definujte D_X být funktorem RHom (-, G^!K.). Pak pro objekty M a M′ V odvozené kategorii dne X, kanonické mapy:

{ displaystyle M až D_ {X} (D_ {X} (M)),}

{ displaystyle D_ {X} (M otimes D_ {X} (M ')) to operatorname {RHom} (M, M'),}

jsou izomorfismy. Nakonec, pokud F : X → Y je morfismus S-schémata, a pokud M a N jsou objekty v odvozených kategoriích X a Y, pak existují přírodní izomorfismy:

{ displaystyle D_ {X} (f ^ {*} N) cong f ^ {!} (D_ {Y} (N)),}

{ displaystyle D_ {X} (f ^ {!} N) cong f ^ {*} (D_ {Y} (N)),}

{ displaystyle D_ {Y} (f _ {!} M) cong f _ {*} (D_ {X} (M)),}

{ displaystyle D_ {Y} (f _ {*} M) cong f _ {!} (D_ {X} (M)).}

Viz také

Reference

^ Fausk, H .; P. Hu; J. P. May (2003). "Izomorfismy mezi levým a pravým sousedním" (PDF). Teorie Appl. Kategorie: 107–131. arXiv:matematika / 0206079. Bibcode:2002math ...... 6079F. Citováno 6. června 2013.

Laszlo, Yves; Olsson, Martin (2005). "Šest operací pro snopy na Artinových zásobnících I: Konečné koeficienty". arXiv:matematika / 0512097. Bibcode:Matematika 2005 ..... 12097L. Citovat deník vyžaduje | deník = (Pomoc)
Ayoub, Joseph. Les six opérations de Grothendieck et le formalisme des cycle évanescents dans le monde motivique (PDF) (Teze).
Cisinski, Denis-Charles; Déglise, Frédéric (2019). Triangulované kategorie smíšených motivů. Springer Monografie z matematiky. arXiv:0912.2110. doi:10.1007/978-3-030-33242-6. ISBN 978-3-030-33241-9.
Mebkhout, Zoghman (1989). Le formalisme des six opérations de Grothendieck pour les D_X-modulů cohérents. Travaux en Cours. sv. 35. Paříž: Hermann. ISBN 2-7056-6049-6.

externí odkazy

[Fausk2003-1] Fausk, H .; P. Hu; J. P. May (2003). "Izomorfismy mezi levým a pravým sousedním" (PDF). Teorie Appl. Kategorie: 107–131. arXiv:matematika / 0206079. Bibcode:2002math ...... 6079F. Citováno 6. června 2013.

[1]