Chow skupina - Chow group
v algebraická geometrie, Chow skupiny (pojmenoval podle Wei-Liang Chow podle Claude Chevalley (1958 )) z algebraická rozmanitost nad jakýmkoli pole jsou algebro-geometrické analogy homologie a topologický prostor. Prvky skupiny Chow jsou tvořeny z poddruhů (tzv algebraické cykly ) podobným způsobem, jakým se ze subkomplexů tvoří skupiny zjednodušené nebo buněčné homologie. Když je odrůda hladký, skupiny Chow lze interpretovat jako kohomologické skupiny (srov Poincaré dualita ) a mají násobení zvané křižovatkový produkt. Skupiny Chow nesou bohaté informace o algebraické rozmanitosti a je obecně obtížné je vypočítat.
Racionální ekvivalence a Chowovy skupiny
Co bude následovat, definujte a odrůda přes pole být integrální systém z konečný typ přes . Pro jakékoli schéma konečného typu , an algebraický cyklus na znamená konečný lineární kombinace poddruhů s celé číslo koeficienty. (Zde a níže se rozumí, že se pod odrůdy uzavírají , pokud není uvedeno jinak.) Pro a přirozené číslo , skupina z -dimenzionální cykly (nebo -cykly, zkráceně) zapnuto je bezplatná abelianská skupina na množině -dimenzionální poddruhy .
Pro rozmanitost dimenze a jakékoli racionální funkce na což není identicky nula, dělitel z je -cyklus
kde součet běží přes všechny -dimenzionální poddruhy z a celé číslo označuje pořadí zmizení podél . (Tím pádem je negativní, pokud má tyč .) Definice pořadí zmizení vyžaduje určitou péči jednotné číslo.[1]
Pro schéma konečného typu , skupina -cykly racionálně ekvivalentní nule je podskupinou generované cykly pro všechny -dimenzionální poddruhy z a všechny nenulové racionální funkce na . The Chow skupina z -dimenzionální cykly zapnuty je kvocientová skupina z podskupinou cyklů racionálně ekvivalentní nule. Někdy někdo píše pro třídu subvariety ve skupině Chow, a pokud dvě poddruhy a mít , pak a se říká, že jsou racionálně ekvivalentní.
Například když je rozmanitá dimenze , skupina Chow je skupina dělitele dělitele z . Když je hladký , je to izomorfní s Picardova skupina z svazky řádků na .
Příklady racionální ekvivalence
Racionální ekvivalence v projektivním prostoru
Racionálně ekvivalentní cykly definované hyperplošinami lze snadno postavit na projektivním prostoru, protože je lze všechny konstruovat jako mizející lokusy stejného vektorového svazku. Například vzhledem k tomu, dva homogenní polynomy stupně , tak , můžeme zkonstruovat rodinu hyperplošin definovaných jako mizející místo . Schematicky to lze zkonstruovat jako
pomocí projekce vidíme vlákno přes bod je projektivní hyperplocha definovaná . To lze použít k ukázce, že třída cyklu každého hyperplocha stupně je racionálně ekvivalentní , od té doby lze použít k nastolení racionální ekvivalence. Všimněte si, že místo je a má mnohost , což je koeficient jeho třídy cyklu.
Racionální ekvivalence cyklů na křivce
Pokud vezmeme svazky řádků hladké projektivní křivky , pak mizející lokusy generické sekce obou liniových svazků definují neekvivalentní třídy cyklu v . To je proto, že pro hladké odrůdy, takže třídy dělitele a definovat nerovnoměrné třídy.
Chowův prsten
Když schéma je hladký nad polem , skupiny Chow tvoří a prsten, nejen odstupňovaná abelianská skupina. Jmenovitě, kdy je hladký , definovat být Chowovou skupinou kodimenzionální - cykly zapnuty . (Když je rozmanitá dimenze , to jen znamená .) Potom skupiny tvoří komutativ odstupňovaný prsten s produktem:
Produkt vzniká protínáním algebraických cyklů. Například pokud a jsou hladké poddruhy codimension a respektive a pokud a protínají příčně, pak produkt v je součet neredukovatelných složek křižovatky , které všechny mají kodimenzionální rozměr .
Obecněji v různých případech teorie průniku vytvoří explicitní cyklus, který představuje produkt v kruhu Chow. Například pokud a jsou poddruhy doplňkové dimenze (což znamená, že jejich dimenze odpovídá dimenzi ), jehož průsečík má tedy rozměr nula se rovná součtu bodů průsečíku s volanými koeficienty křižovatková čísla. Pro jakékoli poddruhy a plynulého schématu přes , bez předpokladu dimenze křižovatky, William Fulton a Robert MacPherson Teorie průniku konstruuje kanonický prvek Chowových skupin jehož obraz ve skupinách Chow z je produkt .[2]
Příklady
Projektivní prostor
Chowův prsten z projektivní prostor přes jakékoli pole je prsten
kde je třída nadroviny (nulový lokus jedné lineární funkce). Kromě toho jakákoli podrodina z stupeň a codimension v projektivním prostoru je racionálně ekvivalentní . Z toho vyplývá, že pro jakékoli dvě poddruhy a doplňkové dimenze v a stupňů , , respektive jejich produkt v kruhu Chow je prostě
kde je třída a - racionální bod . Například pokud a protínají se příčně, vyplývá z toho je nulový cyklus studia . Pokud základní pole je algebraicky uzavřeno, to znamená, že existují přesně průsečíky; toto je verze Bézoutova věta, klasický výsledek enumerativní geometrie.
Projektivní vzorec svazku
Vzhledem k tomu, vektorový balíček hodnosti přes hladké správné schéma nad polem, Chowův prsten přidružený projektivní svazek lze vypočítat pomocí Chowova kruhu z a Chernovy třídy . Pokud to necháme a Chernovy třídy , pak existuje izomorfismus prstenů
Hirzebruchovy povrchy
Například prsten Chow a Hirzebruchův povrch lze snadno vypočítat pomocí vzorce projektivního svazku. Připomeňme, že je konstruován jako přes . Pak je jedinou netriviální třídou Chern tohoto vektorového svazku . To znamená, že Chowův prsten je izomorfní
Poznámky
U jiných algebraických odrůd mohou mít skupiny Chow bohatší chování. Například pojďme být eliptická křivka přes pole . Pak je zapnuta skupina Chow nulových cyklů zapadá do přesná sekvence
Skupina Chow eliptické křivky úzce souvisí se skupinou z -racionální body z . Když je pole s číslem, se nazývá Skupina Mordell – Weil z , a některé z nejhlubších problémů v teorii čísel jsou pokusy porozumět této skupině. Když je komplexní číslo, příklad eliptické křivky ukazuje, že Chowovy skupiny mohou být nespočet abelianské skupiny.
Funkčnost
Pro správný morfismus schémat přes , tady je dopředný homomorfismus pro každé celé číslo . Například pro a správné schéma přes , to dává homomorfismus , který má uzavřený bod v až do konce . (Uzavřený bod v má formu pro konečné pole rozšíření z a jeho stupeň znamená stupeň pole přes .)
Pro plochý morfismus schémat přes s vlákny dimenze (možná prázdné), je zde homomorfismus .
Klíčovým výpočetním nástrojem pro skupiny Chow je lokalizační sekvence, jak následuje. Pro schéma přes pole a uzavřený podsystém z , tady je přesná sekvence
kde první homomorfismus je dopředný vztah spojený se správným morfismem , a druhý homomorphism je pullback s ohledem na plochý morphism .[3] Lokalizační sekvenci lze rozšířit doleva pomocí zobecnění Chowových skupin (Borel – Moore) motivická homologie skupiny, také známé jako vyšší Chow skupiny.[4]
Pro jakýkoli morfismus plynulých schémat existuje homomorfismus zpětného rázu , což je ve skutečnosti kruhový homomorfismus .
Příklady plochých stažení
Všimněte si, že nepříklady lze sestrojit pomocí zvětšení; například, vezmeme-li výbuch původu v pak je vlákno nad počátkem isomorfní .
Rozvětvené krytiny křivek
Zvažte rozvětvené zakřivení křivek
Protože morfismus se rozvětvuje kdykoli dostaneme faktorizaci
kde jeden z . To znamená, že body mít multiplicity resp. Ploché stažení bodu je tedy
Plochá rodina odrůd
Zvažte plochou rodinu odrůd
a subvariety . Poté pomocí kartézského čtverce
vidíme ten obraz je podrodina . Proto máme
Cyklo mapy
Existuje několik homomorfismů (známých jako cyklomapy) ze skupin Chow do více vypočítatelných teorií.
Nejprve pro schéma X nad komplexními čísly existuje homomorfismus od Chowových skupin po Homologie Borel – Moore:[5]
Faktor 2 se objeví, protože an i-dimenzionální subvarieta X má skutečný rozměr 2i. Když X je plynulý nad komplexními čísly, lze tuto cyklickou mapu přepsat pomocí Poincaré dualita jako homomorfismus
V tomto případě (X uhladit C), tyto homomorfismy tvoří kruhový homomorfismus od Chowova prstenu po prstenec cohomology. Intuitivně je to proto, že produkty v prstenu Chow a prstenu cohomology popisují průnik cyklů.
Pro hladký komplex projektivní rozmanitost, cyklická mapa od Chowova prstenu po běžné kohomologické faktory prostřednictvím bohatší teorie, Deligneova kohomologie.[6] To zahrnuje Mapa Abel – Jacobi z cyklů homologicky ekvivalentních nule k střední Jacobian. The exponenciální posloupnost ukázat to CH1(X) se izomorfně mapuje na Deligneovu kohomologii, ale to selže CHj(X) s j > 1.
Pro schéma X přes libovolné pole k, existuje obdobná cyklická mapa od Chowových skupin po (Borel – Moore) etologie homologie. Když X je hladký k, tento homomorfismus lze identifikovat s prstencovým homomorfismem od Chowova prstenu po etale cohomology.[7]
Vztah k teorii K.
An (algebraický) vektorový svazek E na plynulém schématu X přes pole má Třídy Chern Ci(E) v CHi(X), se stejnými formálními vlastnostmi jako v topologii.[8] Třídy Chern poskytují úzké spojení mezi vektorovými svazky a skupinami Chow. Jmenovitě K.0(X) být Grothendieckova skupina vektorových svazků na X. Jako součást Grothendieck – Riemann – Rochova věta, Grothendieck ukázal, že Chern charakter dává izomorfismus
Tento izomorfismus ukazuje důležitost racionální ekvivalence ve srovnání s jakoukoli jinou přiměřený vztah ekvivalence na algebraických cyklech.
Dohady
Některé z nejhlubších dohadů v algebraické geometrii a teorii čísel jsou pokusy porozumět Chowovým skupinám. Například:
- The Mordell – Weilova věta znamená, že skupina dělitele třídy CHn-1(X) je definitivně generován pro jakoukoli odrůdu X dimenze n přes číselné pole. Je otevřeným problémem, zda jsou všechny skupiny Chow definitivně generovány pro každou odrůdu v číselném poli. The Bloch –Kato domněnka o hodnoty L-funkcí předpovídá, že tyto skupiny jsou definitivně generovány. Kromě toho by se hodnost skupiny cyklů modulo homologické ekvivalence a také skupiny cyklů homologicky ekvivalentních nule měla rovnat pořadí zmizení funkce L dané odrůdy v určitých celočíselných bodech. Konečnost těchto řad by také vyplývala z Basové dohady v algebraické K-teorii.
- Pro hladkou komplexní projektivní rozmanitost X, Hodgeova domněnka předpovídá obrázek (tenzorovaný s rozumem Q) cyklomapy ze skupin Chow do singulární kohomologie. Pro hladkou projektivní rozmanitost v definitivně generovaném poli (například a konečné pole nebo číselné pole), Tate dohad předpovídá obraz (tenzorováno pomocí Ql) cyklomapy ze skupin Chow do l-adická kohomologie.
- Pro hladkou projektivní rozmanitost X přes jakékoli pole, Bloch –Beilinson domněnka předpovídá filtraci na Chowových skupinách X (tenzorováno racionály) se silnými vlastnostmi.[9] Domněnka by znamenala těsné spojení mezi singulární nebo etale kohomologií X a Chowovy skupiny X.
- Například pojďme X být hladký komplexní projektivní povrch. Skupina Chow nulových cyklů zapnuta X mapuje na celá čísla podle stupně homomorfismu; nechat K. být jádrem. Pokud geometrický rod h0(X, Ω2) není nula, Mumford to ukázal K. je „nekonečně-dimenzionální“ (nikoli obraz jakékoli rodiny konečných rozměrů nulových cyklů) X).[10] Bloch-Beilinsonova domněnka by znamenala uspokojivou konverzaci, Blochova domněnka o nulových cyklech: pro hladký komplexní projektivní povrch X s geometrickým rodem nula, K. by měl být konečný-rozměrný; přesněji by to mělo být izomorfně mapováno do skupiny komplexních bodů Albánská odrůda z X.[11]
Varianty
Bivariantní teorie
Fulton a MacPherson rozšířil prsten Chow na singulární odrůdy definováním "funkční Chow prsten „a obecněji bivariantní teorie spojená s jakýmkoli morfismem schémat.[12] Teorie bivariantů je dvojice kovariantů a kontravariantů funktory které přiřadí k mapě a skupina a a prsten resp. Zobecňuje to a teorie cohomologie, což je kontravariantní funktor, který přiřadí prostoru mezikruh, jmenovitě a cohomologický prsten. Název „bivariant“ odkazuje na skutečnost, že teorie obsahuje jak kovariantní, tak kontravariantní funktory.[13]
Toto je v jistém smyslu nejzákladnější rozšíření prstenu Chow na singulární odrůdy; další teorie jako např motivická kohomologie mapa do funkčního kruhu Chow.[14]
Další varianty
Aritmetické Chow skupiny jsou sloučením skupin odrůd Chow Q společně s kódováním komponent Arakelov-teoretický informace, tj. diferenciální formy na přidruženém komplexním potrubí.
Teorie Chowových skupin schémat konečného typu nad polem se snadno rozšiřuje i na teorii algebraické prostory. Klíčovou výhodou tohoto rozšíření je, že je snazší vytvářet kvocienty v druhé kategorii, a proto je přirozenější jej zvažovat ekvivariantní Chow skupiny algebraických prostorů. Mnohem impozantnější rozšíření je Chow skupina hromádky, který byl zkonstruován pouze v některých zvláštních případech a který je nutný zejména pro pochopení a virtuální základní třída.
Dějiny
Racionální ekvivalence dělitelů (známá jako lineární ekvivalence ) byl studován v různých formách v průběhu 19. století, což vedlo k ideální třídní skupina v teorii čísel a Jacobian odrůda v teorii algebraických křivek. Pro cykly s vyšší dimenzí byla zavedena racionální ekvivalence Francesco Severi ve 30. letech. V roce 1956 Wei-Liang Chow poskytl vlivný důkaz, že produkt křižovatky je dobře definován na cyklech modulo racionální ekvivalence pro hladkou kvaziprojektivní rozmanitost pomocí Chowovo pohyblivé lemma. Počínaje sedmdesátými léty, Fulton a MacPherson dal současný standardní základ skupinám Chow, kdekoli to bylo možné, pracoval se singulárními odrůdami. V jejich teorii je produkt křižovatky pro hladké odrůdy konstruován pomocí deformace na normální kužel.[15]
Viz také
- Teorie křižovatky
- Grothendieck – Riemann – Rochova věta
- Hodgeova domněnka
- Motiv (algebraická geometrie)
Reference
Citace
- ^ Fulton. Teorie průniku, oddíl 1.2 a dodatek A.3.
- ^ Fulton, Teorie průniku, oddíl 8.1.
- ^ Fulton, Teorie průniku, Proposition 1.8.
- ^ Bloch, algebraické cykly a vyšší K-skupiny; Voevodsky, Triangulované kategorie motivů nad polem, oddíl 2.2 a Propozice 4.2.9.
- ^ Fulton, Teorie průniku, oddíl 19.1
- ^ Voisin, Hodgeova teorie a komplexní algebraická geometrie, v. 1, oddíl 12.3.3; v. 2, věta 9,24.
- ^ Deligne, Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), vystavit 4.
- ^ Fulton, Teorie průniku, oddíl 3.2 a Příklad 8.3.3.
- ^ Voisin, Hodgeova teorie a složitá algebraická geometrie, v. 2, domněnka 11.21.
- ^ Voisin, Hodgeova teorie a komplexní algebraická geometrie, v. 2, věta 10.1.
- ^ Voisin, Hodgeova teorie a komplexní algebraická geometrie, v. 2, Ch. 11.
- ^ Fulton, Teorie průniku, Kapitola 17.
- ^ Fulton, William; MacPherson, Robert (1981). Kategorický rámec pro studium singulárních prostorů. Americká matematická společnost. ISBN 9780821822432.
- ^ B. Totaro, Chowovy skupiny, Chowova kohomologie a lineární variace
- ^ Fulton, Teorie průniku, kapitoly 5, 6, 8.
Úvodní
- Eisenbud, David; Harris, Joe, 3264 a All That: Druhý kurz v algebraické geometrii
Pokročilý
- Bloch, Spencer (1986), „Algebraické cykly a vyšší K.-teorie", Pokroky v matematice, 61 (3): 267–304, doi:10.1016/0001-8708(86)90081-2, ISSN 0001-8708, PAN 0852815
- Claude, Chevalley (1958), „Les classes d'équivalence rationnelle, já“, Anneaux de Chow et applications, Seminář Claude Chevalley, 3
- Claude, Chevalley (1958), „Les classes d'équivalence rationnelle, II“, Anneaux de Chow et applications, Seminář Claude Chevalley, 3
- Chow, Wei-Liang (1956), „O třídách ekvivalence cyklů v algebraické odrůdě“, Annals of Mathematics, 64: 450–479, doi:10.2307/1969596, ISSN 0003-486X, PAN 0082173
- Deligne, Pierre (1977), Cohomologie Etale (SGA 4 1/2), Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-08066-4, PAN 0463174
- Fulton, William (1998), Teorie křižovatky, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98549-7, PAN 1644323
- Severi, Francesco (1932), „La serie canonica e la teoria delle serie principali di gruppi di punti sopra una superficie algebrica“, Commentarii Mathematici Helvetici, 4: 268–326, doi:10.1007 / bf01202721, JFM 58.1229.01
- Voevodsky, Vladimir (2000), „Triangulované kategorie motivů nad polem“, Cykly, převody a teorie občanské homologie, Princeton University Press, s. 188–238, ISBN 9781400837120, PAN 1764202
- Voisin, Claire (2002), Hodgeova teorie a komplexní algebraická geometrie (2 obj.), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-71801-1, PAN 1997577