Svazek (matematika) - Sheaf (mathematics)

tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Září 2019) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a snop je nástroj pro systematické sledování lokálně definovaných dat připojených k otevřené sady a topologický prostor. Data lze omezit na menší otevřené sady a data přiřazená otevřené sadě jsou ekvivalentní všem kolekcím kompatibilních dat přiřazených ke kolekcím menších otevřených sad pokrývajících původní. Taková data mohou například sestávat z prsteny z kontinuální nebo hladký nemovitý -hodnota funkce definované na každé otevřené sadě. Snopy jsou záměrně docela obecné a abstraktní objekty a jejich správná definice je spíše technická. Jsou různě definovány, například jako snopy sady nebo snopy prstenů, v závislosti na typu dat přiřazených otevřeným množinám.

Jsou tu také mapy (nebo morfismy ) od jednoho snopu k druhému; snopy (konkrétního typu, jako jsou snopy z abelianské skupiny ) s jejich morfismy na pevném topologickém prostoru a kategorie. Na druhou stranu každému průběžná mapa je spojena jak a přímý funktor obrazu, přičemž snopy a jejich morfismy na doména snopy a morfismy na codomain a funktor inverzního obrazu pracující v opačném směru. Tyto funktory a jejich určité varianty jsou podstatnou součástí teorie svazků.

Vzhledem ke své obecné povaze a univerzálnosti mají snopy několik aplikací v topologii a zejména v algebraický a diferenciální geometrie. Nejprve geometrické struktury, jako je struktura a diferencovatelné potrubí nebo a systém lze vyjádřit jako svazek prstenů v prostoru. V takových kontextech několik geometrických konstrukcí, jako je vektorové svazky nebo dělitele jsou přirozeně specifikovány jako snopy. Za druhé, snopy poskytují rámec pro velmi obecný teorie cohomologie, který zahrnuje i „obvyklé“ topologické kohomologické teorie jako např singulární kohomologie. Zejména v algebraické geometrii a teorii složité potrubí cohomologie svazků poskytuje silné spojení mezi topologickými a geometrickými vlastnostmi prostorů. Snopy také poskytují základ pro teorii D- moduly, které poskytují aplikace k teorii diferenciální rovnice. Kromě toho zobecnění snopů na obecnější nastavení než topologické prostory, jako např Grothendieckova topologie, poskytli aplikace matematická logika a teorie čísel.

Definice a příklady

V mnoha matematických oborech je definováno několik struktur na a topologický prostor ${ displaystyle X}$ (např diferencovatelné potrubí ) může být přirozeně lokalizovaný nebo omezený na otevřeno podmnožiny ${ displaystyle U podmnožina X}$: typické příklady zahrnují kontinuální nemovitý -hodnota nebo komplex -hodnotené funkce, ${ displaystyle n}$ krát rozlišitelný (reálné nebo komplexní hodnoty) funkce, ohraničený funkce se skutečnou hodnotou, vektorová pole, a sekce ze všech vektorový svazek v prostoru. Schopnost omezit data na menší otevřené podmnožiny dává vzniknout konceptu předsunutí. Zhruba řečeno, snopy jsou pak ty předsazky, kde lze místní data lepit na globální data.

Předvádí

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologickým prostorem. A předsádka sad ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle X}$ skládá se z následujících údajů:

• Pro každou otevřenou sadu ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle X}$, sada ${ displaystyle F (U)}$. Tato sada je někdy také označována ${ displaystyle Gamma (U, F)}$. Prvky v této sadě se nazývají sekce z ${ displaystyle F}$ přes ${ displaystyle U}$.
• Za každé zahrnutí otevřených sad ${ displaystyle V subseteq U}$, funkce ${ displaystyle operatorname {res} _ {V, U} dvojtečka F (U) rightarrow F (V)}$. S ohledem na mnoho níže uvedených příkladů, morfismy ${ displaystyle { text {res}} _ {V, U}}$ jsou nazývány omezovací morfismy. Li ${ displaystyle s v F (U)}$, pak jeho omezení ${ displaystyle { text {res}} _ {V, U} (s)}$ je často označován ${ displaystyle s | _ {V}}$ analogicky s omezením funkcí.

Omezovací morfismy jsou nutné k uspokojení dvou dalších (funkční ) vlastnosti:

• Pro každou otevřenou sadu ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle X}$, morfismus omezení ${ displaystyle operatorname {res} _ {U, U} dvojtečka F (U) rightarrow F (U)}$ je morfismus identity ${ displaystyle F (U)}$.
• Pokud máme tři otevřené sady ${ displaystyle W subseteq V subseteq U}$, pak kompozitní ${ displaystyle { text {res}} _ {W, V} circ { text {res}} _ {V, U} = { text {res}} _ {W, U}}$

Druhý axiom neformálně říká, že nezáleží na tom, zda se omezíme na Ž v jednom kroku nebo nejprve omezit na PROTI, pak na Ž. Níže je uvedena stručná formulace funkcionálu této definice.

Mnoho příkladů předvoleb pochází z různých tříd funkcí: do jakékoli ${ displaystyle U}$, lze přiřadit sadu ${ displaystyle C ^ {0} (U)}$ nepřetržitých funkcí se skutečnou hodnotou ${ displaystyle U}$. Omezovací mapy jsou pak dány omezením spojité funkce na ${ displaystyle U}$ do menší otevřené podmnožiny ${ displaystyle V}$, což je opět spojitá funkce. Dva axiomy presheaf jsou okamžitě zkontrolovány, čímž je uveden příklad presheaf. To lze rozšířit na svazek holomorfních funkcí ${ displaystyle { mathcal {H}} (-)}$ a svazek hladkých funkcí ${ displaystyle C ^ { infty} (-)}$.

Další běžnou třídou příkladů je přiřazování ${ displaystyle U}$ soubor konstantní funkce se skutečnou hodnotou U. Tento presheaf se nazývá konstantní presheaf spojené s ${ displaystyle mathbb {R}}$ a je označen ${ displaystyle { underline { mathbb {R}}} ^ {psh}}$.

Snopy

Vzhledem k předsporu je přirozenou otázkou položit si otázku, do jaké míry jsou jeho sekce nad otevřenou sadou ${ displaystyle U}$ jsou specifikována svými omezeními na menší otevřené sady ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {i v I}}$ z otevřete kryt z ${ displaystyle U}$. A snop je presheaf, který splňuje následující dva další axiomy:

1. (Lokalita) Pokud ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je otevřený krytina otevřené sady ${ displaystyle U}$, a pokud ${ displaystyle s, t in F (U)}$ mít majetek ${ displaystyle s | _ {U_ {i}} = t | _ {U_ {i}}}$ pro každou sadu ${ displaystyle U_ {i}}$ potom krytiny ${ displaystyle s = t}$; a
2. (Lepení ) Pokud ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je otevřená krytina otevřené sady ${ displaystyle U}$, a pokud pro každého ${ displaystyle i in I}$ část ${ displaystyle s_ {i} v F (U_ {i})}$ je uveden tak, že pro každý pár ${ displaystyle U_ {i}, U_ {j}}$ krytiny stanoví omezení ${ displaystyle s_ {i}}$ a ${ displaystyle s_ {j}}$ dohodnout se na překrývání, takže ${ displaystyle s_ {i} | _ {U_ {i} cap U_ {j}} = s_ {j} | _ {U_ {i} cap U_ {j}}}$, pak je tu sekce ${ displaystyle s v F (U)}$ takhle ${ displaystyle s | _ {U_ {i}} = s_ {i}}$ pro každého ${ displaystyle i in I}$.

Sekce ${ displaystyle s}$ jehož existenci zaručuje axiom 2, se nazývá lepení, zřetězenínebo kompletace částí s_i. Podle axiomu 1 je to jedinečné. Sekce ${ displaystyle s_ {i}}$ splňující podmínku axiomu 2 se často nazývají kompatibilní; tedy axiomy 1 a 2 společně uvádějí, že kompatibilní sekce mohou být jedinečně slepeny dohromady. A oddělený presheafnebo monopresheaf, je presheaf uspokojující axiom 1.^[1]

Předsunutí skládající se z výše zmíněných spojitých funkcí je svazek. Toto tvrzení se redukuje na kontrolu, že vzhledem k nepřetržité funkce ${ displaystyle f_ {i}: U_ {i} to mathbf {R}}$ které se shodují na křižovatkách ${ displaystyle U_ {i} čepice U_ {j}}$, existuje jedinečná spojitá funkce ${ displaystyle f: U to mathbf {R}}$ jehož omezení se rovná ${ displaystyle f_ {i}}$. Naproti tomu konstantní presheaf je obvykle ne svazek: pokud ${ displaystyle U = U_ {1} sqcup U_ {2}}$ je disjunktní unie dvou otevřených podmnožin a ${ displaystyle f_ {1}, f_ {2}}$ vezměte různé hodnoty, pak neexistuje konstantní funkce zapnuta U jehož omezení by se rovnalo těmto dvěma (odlišným) konstantním funkcím.

Předvrtáky a snopy jsou obvykle označeny velkými písmeny, F je zvláště běžné, pravděpodobně pro francouzština slovo pro svazek, faisceau. Použití kaligrafických písmen, jako je ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ je také běžné.

Je možné ukázat, že k určení svazku stačí zadat jeho omezení na otevřené množiny a základ pro topologii podkladového prostoru. Kromě toho lze také ukázat, že stačí ověřit výše uvedené axiomy svazku vzhledem k otevřeným sadám krytiny. Toto pozorování se používá ke konstrukci dalšího příkladu, který je rozhodující v algebraické geometrii, konkrétně kvazi-koherentní snopy. Zde je dotyčný topologický prostor spektrum komutativního kruhu R, jehož body jsou hlavní ideály p v R. Otevřené sady ${ displaystyle D_ {f}: = {p podmnožina R, f notin p }}$ tvoří základ pro Zariski topologie v tomto prostoru. Vzhledem k R-modul M, tam je svazek, označený ${ displaystyle { tilde {M}}}$ na Spec R, který uspokojuje

${ displaystyle { tilde {M}} (D_ {f}): = M [1 / f],}$ the lokalizace z M na F.

Další příklady

Svazek částí souvislé mapy

Jakákoli souvislá mapa ${ displaystyle f: Y až X}$ topologických prostor určuje svazek ${ displaystyle Gamma (Y / X)}$ na ${ displaystyle X}$ nastavením

${ displaystyle Gamma (Y / X) (U) = {s: U až Y, f circ s = operatorname {id} _ {U} }.}$

Jakýkoli takový ${ displaystyle s}$ se běžně nazývá a sekce z ${ displaystyle f}$a tento příklad je důvodem, proč prvky v ${ displaystyle F (U)}$ se obecně nazývají sekce. Tato konstrukce je obzvláště důležitá, když ${ displaystyle f}$ je projekce a svazek vláken do svého základního prostoru. Například svazky hladkých funkcí jsou úseky triviální svazek. Další příklad: svazek částí

${ displaystyle mathbf {C} { stackrel { exp} { to}} mathbf {C} zpětné lomítko {0 }}$

je svazek, který přiřazuje libovolné ${ displaystyle U}$ soubor poboček komplexní logaritmus na ${ displaystyle U}$.

Daný bod X a abelianská skupina S, mrakodrap snop S_X definováno takto: Pokud U je otevřená sada obsahující X, pak S_X(U) = S. Li U neobsahuje X, pak S_X(U) = 0, triviální skupina. Mapy omezení jsou buď identita na S, pokud obě otevřené sady obsahují X, nebo jinak nulová mapa.

Snopy na potrubích

Na n-dimenzionální C^k- potrubí M, existuje řada důležitých snopů, například snop z j-krát nepřetržitě diferencovatelné funkce ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {M} ^ {j}}$ (s j ≤ k). Jeho sekce jsou na některých otevřených U jsou C^j-funkce U → R. Pro j = k, tomuto svazku se říká struktura svazek a je označen ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {M}}$. Nenulová C^k funkce také tvoří svazek, označený ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ { times}}$. Diferenciální formy (stupně p) také tvoří svazek Ω^p_M. Ve všech těchto příkladech jsou restrikční morfismy dány omezujícími funkcemi nebo formami.

Odeslání úkolu U na kompaktně podporované funkce na U není svazek, protože obecně neexistuje způsob, jak tuto vlastnost zachovat předáním do menší otevřené podmnožiny. Místo toho to tvoří a šupa, a dvojí koncept, kde mapy omezení jdou opačným směrem než u snopů.^[2] Nicméně, přičemž dvojí těchto vektorových prostorů dává svazek, svazek distribuce.

Předheavy, které nejsou snopy

Kromě výše zmíněného konstantního presheea, který obvykle není snopem, existují další příklady presheea, které nejsou snopy:

• Nechat ${ displaystyle X}$ být dvoubodový topologický prostor ${ displaystyle {x, y }}$ s diskrétní topologií. Definujte předsporu ${ displaystyle F}$ jak následuje: F(∅) = {∅}, F({X}) = R, F({y}) = R, F({X, y}) = R × R × R. Mapa omezení F({X, y}) → F({X}) je projekce R × R × R na svou první souřadnici a mapu omezení F({X, y}) → F({y}) je projekce R × R × R na jeho druhou souřadnici. ${ displaystyle F}$ je presheaf, který není oddělen: Globální sekce je určena třemi čísly, ale hodnoty této sekce nad {X} a {y} určit pouze dvě z těchto čísel. Takže zatímco můžeme libovolné dvě sekce přilepit přes {X} a {y}, nemůžeme je jedinečně lepit.
• Nechat ${ displaystyle X = mathbb {R}}$ být skutečná linie a nechte ${ displaystyle F (U)}$ být množinou ohraničený spojité funkce zapnuty ${ displaystyle U}$. To není svazek, protože to není vždy možné lepit. Například pojďme U_i být množinou všeho X takové, že |X| < i. Funkce identity F(X) = X je na každém ohraničen U_i. Následně dostaneme sekci s_i na U_i. Tyto sekce se však nelepí, protože funkce F není ohraničen na skutečné linii. tudíž F je preshea, ale ne snop. Ve skutečnosti, F je oddělena, protože se jedná o dílčí presheu svazku spojitých funkcí.

Motivující svazky ze složitých analytických prostorů a algebraické geometrie

Jedna z historických motivací pro snopy pochází ze studia složité potrubí,^[3] komplexní analytická geometrie,^[4] a teorie schémat z algebraická geometrie. Je to proto, že ve všech předchozích případech uvažujeme o topologickém prostoru ${ displaystyle X}$ spolu s konstrukčním svazkem ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ což mu dává strukturu komplexního potrubí, komplexního analytického prostoru nebo schématu. Tato perspektiva vybavení topologického prostoru svazkem je nezbytná pro teorii místně prstencovaných prostorů (viz níže).

Technické výzvy se složitými potrubími

Jednou z hlavních historických motivací pro zavádění snopů byla konstrukce zařízení, které sleduje holomorfní funkce na složité potrubí. Například na a kompaktní komplexní potrubí ${ displaystyle X}$ (jako složitý projektivní prostor nebo mizející místo a homogenní polynom ), pouze holomorfní funkce

${ displaystyle f: X to mathbb {C}}$

jsou funkce konstanty.^[5] To znamená, že by mohly existovat dva kompaktní komplexní potrubí ${ displaystyle X, X '}$ které nejsou izomorfní, ale přesto jsou označeny jejich prstenem globálních holomorfních funkcí ${ displaystyle { mathcal {H}} (X), { mathcal {H}} (X ')}$, jsou izomorfní. Porovnejte to s hladké potrubí kde každé potrubí ${ displaystyle M}$ lze do některých vložit ${ displaystyle mathbb {R} ^ {N}}$, proto jeho kruh hladkých funkcí ${ displaystyle C ^ { infty} (M)}$ pochází z omezení plynulých funkcí z ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {N})}$. Další složitost při uvažování prstence holomorfních funkcí na složitém potrubí ${ displaystyle X}$ dostane dostatečně malou otevřenou sadu ${ displaystyle U podmnožina X}$, holomorfní funkce budou izomorfní ${ displaystyle { mathcal {H}} (U) cong { mathcal {H}} ( mathbb {C} ^ {n})}$. Snopy jsou přímým nástrojem pro řešení této složitosti, protože umožňují sledovat holomorfní strukturu na podkladovém topologickém prostoru ${ displaystyle X}$ na libovolné otevřené podmnožiny ${ displaystyle U podmnožina X}$. To znamená jako ${ displaystyle U}$ se topologicky stává složitějším ${ displaystyle { mathcal {H}} (U)}$ lze vyjádřit lepením ${ displaystyle { mathcal {H}} (U_ {i})}$. Všimněte si, že někdy je tento svazek označen ${ displaystyle { mathcal {O}} (-)}$ nebo prostě ${ displaystyle { mathcal {O}}}$, nebo dokonce ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ když chceme zdůraznit prostor, ke kterému je svazek struktury přidružen.

Sledování dílčích potrubí s kladkami

Další běžný příklad snopů lze zkonstruovat zvážením složitého podmanifoldu ${ displaystyle Y hookrightarrow X}$. K tomu je přidružen svazek ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {Y}}$ který má otevřenou podmnožinu ${ displaystyle U podmnožina X}$ a dává kruh holomorfních funkcí ${ displaystyle U cap Y}$. Bylo zjištěno, že tento druh formalizmu je mimořádně silný a hodně motivuje homologická algebra jako svazek kohomologie protože teorie průniku lze postavit pomocí těchto druhů snopů z křižovatkového vzorce Serre.

Provoz s kladkami

Morfismy

Morfismy snopů jsou zhruba řečeno analogické funkcím mezi nimi. Na rozdíl od funkce mezi sadami, které nemají žádnou další strukturu, jsou morfismy snopů ty funkce, které zachovávají strukturu vlastní snopům. Tato myšlenka je upřesněna v následující definici.

Nechat F a G být dva snopy X. A morfismus ${ displaystyle varphi: G až F}$ sestává z morfismu ${ displaystyle varphi _ {U}: G (U) až F (U)}$ pro každou otevřenou sadu U z X, pod podmínkou, že tento morfismus je kompatibilní s omezeními. Jinými slovy pro každou otevřenou podmnožinu PROTI otevřené sady U, následující diagram je komutativní.

${ displaystyle { begin {array} {rcl} G (U) & { xrightarrow { quad varphi _ {U} quad}} & F (U) r_ {V, U} { Biggl downarrow } && { Biggl downarrow} r_ {V, U} G (V) & { xrightarrow [{ quad varphi _ {V} quad}] {}} & F (V) end {pole} }}$

Například převzetí derivátu dává morfismus snopů R:${ displaystyle { mathcal {O}} _ { mathbf {R}} ^ {n} až { mathcal {O}} _ { mathbf {R}} ^ {n-1}.}$Ve skutečnosti, vzhledem k (n-krát nepřetržitě diferencovatelná) funkce ${ displaystyle f: U to mathbf {R}}$ (s U v R otevřené), omezení (na menší otevřenou podmnožinu PROTI) jeho derivátu se rovná derivátu ${ displaystyle f | _ {V}}$.

S touto představou morfismu se svazuje na pevném topologickém prostoru X tvoří a kategorie. Obecné kategorické pojmy mono-, epi- a izomorfismy lze proto použít na snopy. Snop morfismus ${ displaystyle varphi}$ je izomorfismus (resp. monomorfismus) právě tehdy, když každý ${ displaystyle varphi _ {U}}$ je bijekce (resp. injektivní mapa). Navíc morfismus snopů ${ displaystyle varphi}$ je izomorfismus právě tehdy, když existuje otevřená obálka ${ displaystyle {U _ { alpha} }}$ takhle ${ displaystyle varphi | _ {U _ { alpha}}}$ jsou izomorfismy snopů pro všechny ${ displaystyle alpha}$. Toto tvrzení, které platí i pro monomorfismy, ale neplatí pro předsea, je dalším příkladem myšlenky, že snopy mají místní povahu.

Odpovídající výroky neplatí pro epimorfismus (snopy) a jejich selhání se měří pomocí svazek kohomologie.

Stonky snopu

The stonek ${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x}}$ snopu ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ zachycuje vlastnosti svazku „kolem“ bodu X ∈ X, zobecňující zárodky funkcí Pojem „kolem“ zde znamená, že z koncepčního hlediska se člověk dívá na menší a menší sousedství bodu. Žádná jednotlivá čtvrť samozřejmě nebude dostatečně malá, což vyžaduje zvážení nějakého limitu. Přesněji řečeno, stonek je definován

${ displaystyle { mathcal {F}} _ {x} = varinjlim _ {U ni x} { mathcal {F}} (U),}$

the přímý limit být přes všechny otevřené podmnožiny X obsahující daný bod X. Jinými slovy, prvek stonku je dán řezem přes nějaké otevřené sousedství X, a dva takové úseky jsou považovány za rovnocenné, pokud se jejich omezení dohodnou na menší čtvrti.

Přirozený morfismus F(U) → F_X vezme sekci s v F(U) k jeho zárodek v x. Tím se zobecňuje obvyklá definice a zárodek.

V mnoha situacích stačí znát stonky snopu, aby bylo možné ovládat snop sám. Například na stoncích lze testovat, zda morfismus snopů je či není monomorfismus, epimorfismus nebo izomorfismus. V tomto smyslu je snop určen svými stopkami, což jsou místní data. Naproti tomu globální informace přítomné v svazku, tj globální sekce, tj. sekce ${ displaystyle { mathcal {F}} (X)}$ v celém prostoru X, obvykle nesou méně informací. Například pro a kompaktní komplexní potrubí X, globální části svazku holomorfních funkcí jsou spravedlivé C, protože jakákoli holomorfní funkce

${ displaystyle X to mathbf {C}}$

je konstantní Liouvilleova věta.^[5]

Přeměna předspěchu na svazek

Často je užitečné vzít data obsažená v presheea a vyjádřit je jako snop. Ukazuje se, že existuje nejlepší možný způsob, jak toho dosáhnout. Trvá presheaf F a vyrábí nový svazek aF volal sheafifikace nebo snop spojený s presheaf F. Například sheafifikace konstantního presheea (viz výše) se nazývá konstantní svazek. Navzdory svému názvu jsou jeho sekce lokálně konstantní funkce.

Snop aF lze postavit pomocí étalé prostor z F, jmenovitě jako svazek částí mapy

${ displaystyle mathrm {Spe} (F) až X.}$

Další konstrukce snopu aF postupuje pomocí funktoru L od presheaves k presheaves, které postupně zlepšují vlastnosti presheaf: pro jakýkoli presheaf F, LF je oddělený presheaf a pro jakýkoli oddělený presheaf F, LF je svazek. Přidružený svazek aF darováno LLF.^[6]

Myšlenka, že snop aF je nejlepší možná aproximace na F snopem je upřesněno pomocí následujícího univerzální vlastnictví: existuje přirozený morfismus presheea ${ displaystyle i colon F to aF}$ takže pro jakýkoli svazek G a jakýkoli morfismus presea ${ displaystyle f tračník F až G}$existuje jedinečný morfismus snopů ${ displaystyle { tilde {f}} dvojtečka aF rightarrow G}$ takhle ${ displaystyle f = { tilde {f}} i}$. Ve skutečnosti A je vlevo adjunkční funktor do funktoru zařazení (nebo zapomnětlivý funktor ) z kategorie snopů do kategorie předsazenek a i je jednotka adjunktu. Tímto způsobem se kategorie snopů změní na a Giraud podkategorie předsporců. Tato kategorická situace je důvodem, proč se funktor sheafifikace objevuje při konstrukci kokkerů morfismů snopů nebo tenzorových produktů snopů, ale ne pro jádra.

Podnoží, kvocientové snopy

Li K. je podnoží snopu F abelianských skupin, pak kvocient snop Q je svazek spojený s presheaf ${ displaystyle U mapsto F (U) / K (U)}$; jinými slovy, kvocient svazku zapadá do přesného sledu svazků abelianských skupin;

${ displaystyle 0 až K až F až Q až 0,}$

(tomu se také říká a prodloužení svazku.)

Nechat F, G být snopy abelianských skupin. Sada ${ displaystyle U mapsto operatorname {Hom} (F, G)}$ morfismů snopů z F na G tvoří abelianskou skupinu (strukturou abelianské skupiny z G). The svazek hom z F a G, označeno,

${ displaystyle { mathcal {Hom}} (F, G)}$

je svazek abelianských skupin ${ displaystyle U mapsto operatorname {Hom} (F | _ {U}, G | _ {U})}$ kde ${ displaystyle F | _ {U}}$ je snop na U dána ${ displaystyle (F | _ {U}) (V) = F (V)}$ (Poznámka: sheafifikace zde není nutná). Přímý součet F a G je svazek daný ${ displaystyle U mapsto F (U) oplus G (U)}$a tenzorový produkt F a G je svazek spojený s presheaf ${ displaystyle U mapsto F (U) krát G (U)}$.

Všechny tyto operace sahají do svazky modulů přes svazek prstenů A; výše uvedené je zvláštní případ, kdy A je stálý svazek ${ displaystyle { underline { mathbf {Z}}}}$.

Základní funkcionalita

Vzhledem k tomu, že data (před) svazku závisí na otevřených podmnožinách základního prostoru, svazky v různých topologických prostorech spolu nesouvisí v tom smyslu, že mezi nimi nejsou žádné morfismy. Avšak vzhledem k průběžné mapě F : X → Y mezi dvěma topologickými prostory, dopředný a zpětný chod se vztahují na svazky X těm na Y a naopak.

Přímý obraz

Dopředný (také známý jako přímý obraz ) snopu ${ displaystyle { mathcal {F}}}$ na X je svazek definovaný

${ displaystyle (f _ {*} { mathcal {F}}) (V) = { mathcal {F}} (f ^ {- 1} (V)).}$

Tady PROTI je otevřená podmnožina Y, takže jeho preimage je otevřen X kontinuitou F. Tato konstrukce obnovuje svazek mrakodrapů ${ displaystyle S_ {x}}$ zmíněno výše:

${ displaystyle S_ {x} = i _ {*} (S)}$

kde ${ displaystyle i: {x } až X}$ je zahrnutí a S je považován za svazek na jedináček (podle ${ displaystyle S ( {* }) = S, S ( emptyset) = emptyset}$.

Pro mapu mezi místně kompaktní prostory, přímý obraz s kompaktní podporou je podnoží přímého obrazu.^[7] Podle definice, ${ displaystyle (f _ {!} { mathcal {F}}) (V)}$ sestává z nich ${ displaystyle f in { mathcal {F}} (f ^ {- 1} (V))}$ jehož Podpěra, podpora je správná mapa přes PROTI. Li F je tedy vlastní ${ displaystyle f _ {!} { mathcal {F}} = f _ {*} { mathcal {F}}}$, ale obecně nesouhlasí.

Inverzní obraz

Zpětný chod nebo inverzní obraz jde opačným směrem: vytváří svazek X, označeno ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ z svazku ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na Y. Li F je zahrnutí otevřené podmnožiny, pak je inverzní obraz pouze omezením, tj. je dán vztahem ${ displaystyle (f ^ {- 1} { mathcal {G}}) (U) = { mathcal {G}} (U)}$ pro otevřené U v X. Svazek F (na nějakém prostoru X) je nazýván místně konstantní -li ${ displaystyle X = bigcup _ {i in I} U_ {i}}$ některými otevřenými podmnožinami ${ displaystyle U_ {i}}$ takové, že omezení F pro všechny tyto otevřené podmnožiny je konstantní. Jeden z široké škály topologických prostorů X, takové snopy jsou ekvivalent na reprezentace z základní skupina ${ displaystyle pi _ {1} (X)}$.

Pro obecné mapy F, definice ${ displaystyle f ^ {- 1} { mathcal {G}}}$ je více zapojen; je podrobně popsáno na funktor inverzního obrazu. Stopka je nezbytným zvláštním případem zpětného rázu s ohledem na přirozenou identifikaci, kde i je jako výše:

${ displaystyle { mathcal {G}} _ {x} = i ^ {- 1} { mathcal {G}} ( {x }).}$

Obecněji řečeno, stopky uspokojí ${ displaystyle (f ^ {- 1} { mathcal {G}}) _ {x} = { mathcal {G}} _ {f (x)}}$.

Prodloužení o nulu

Pro zařazení ${ displaystyle j: U až X}$ otevřené podskupiny, prodloužení o nulu svazku abelianských skupin U je definován jako

${ displaystyle (j _ {!} { mathcal {F}}) (V) = { mathcal {F}} (V)}$ -li ${ displaystyle V podmnožina U}$ a ${ displaystyle (j _ {!} { mathcal {F}}) (V) = 0}$ v opačném případě.

Pro svazek ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ na X, tato konstrukce je v jistém smyslu doplňkem k ${ displaystyle i _ {*}}$, kde ${ displaystyle i}$ je zahrnutí doplňku U:

${ displaystyle (j _ {!} j ^ {*} { mathcal {G}}) _ {x} = { mathcal {G}} _ {x}}$ pro X v U, a stopka je jinak nulová, zatímco

${ displaystyle (i _ {*} i ^ {*} { mathcal {G}}) _ {x} = 0}$ pro X v Ua rovná se ${ displaystyle { mathcal {G}} _ {x}}$ v opačném případě.

Tyto funktory jsou proto užitečné při snižování teoretických otázek týkajících se svazků X těm ve vrstvách a stratifikace, tj. rozklad X do menších, místně uzavřených podmnožin.

Doplňky

Snopy v obecnějších kategoriích

Kromě (před) snopů, jak byly představeny výše, kde ${ displaystyle { mathcal {F}} (U)}$ je pouze sada, je v mnoha případech důležité sledovat další strukturu na těchto úsecích. Například části svazku spojitých funkcí přirozeně tvoří reálný vektorový prostor a omezení je a lineární mapa mezi těmito vektorovými prostory.

Předobjedná se s hodnotami v libovolné kategorii C jsou definovány nejprve zvážením kategorie otevřených sad na X být posetální kategorie Ó(X), jejichž objekty jsou otevřené sady X a jejichž morfismy jsou inkluze. Pak C-zahrnuto předpětí X je stejný jako a kontravariantní funktor z Ó(X) až C. Morfismy v této kategorii funktorů, také známé jako přirozené transformace, jsou stejné jako morfismy definované výše, jak je vidět rozluštěním definic.

Pokud cílová kategorie C připouští vše limity, a C-hodnota presheaf je snop, pokud je následující diagram je ekvalizér:

${ displaystyle F (U) rightarrow prod _ {i} F (U_ {i}) {{{}} na vrcholu longrightarrow} na vrcholu { longrightarrow na vrcholu {}}} prod _ {i, j} F (U_ {i} cap U_ {j}).}$

Zde je první mapa výsledkem restrikčních map

${ displaystyle operatorname {res} _ {U_ {i}, U} dvojtečka F (U) rightarrow F (U_ {i})}$

a dvojice šípů je produktem dvou sad omezení

${ displaystyle operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {i}} dvojtečka F (U_ {i}) rightarrow F (U_ {i} cap U_ {j}) }$

a

${ displaystyle operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {j}} dvojtečka F (U_ {j}) rightarrow F (U_ {i} cap U_ {j}) .}$

Li C je abelianská kategorie, tuto podmínku lze také přeformulovat požadavkem, že existuje přesná sekvence

${ displaystyle 0 to F (U) to prod _ {i} F (U_ {i}) xrightarrow { operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {i} } - operatorname {res} _ {U_ {i} cap U_ {j}, U_ {j}}} prod _ {i, j} F (U_ {i} cap U_ {j}).}$

Zvláštní případ tohoto stavu svazku nastává pro U je prázdná sada a sada indexů Já také prázdný. V takovém případě podmínka svazku vyžaduje ${ displaystyle { mathcal {F}} ( emptyset)}$ být koncový objekt v C.

Prstencové prostory a svazky modulů

V několika geometrických disciplínách, včetně algebraická geometrie a diferenciální geometrie, prostory přicházejí s přirozeným svazkem prstenů, který se často nazývá svazek struktury a označuje se ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X})}$. Takový pár ${ displaystyle (X, { mathcal {O}} _ {X})}$ se nazývá a prstencový prostor. Mnoho typů prostorů lze definovat jako určité typy kruhových prostorů. Obyčejně všechny stonky ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X, x}}$ struktury svazku jsou místní prsteny, v takovém případě se dvojici říká a místně prstencový prostor.

Například an n-dimenzionální C^k potrubí M je místně prstencový prostor, jehož strukturu svazku tvoří ${ displaystyle C ^ {k}}$-funkce na otevřených podmnožinách M. Vlastnost bytí a lokálně prstencový prostor se promítá do skutečnosti, že taková funkce, která je v bodě nenulová X, je také nenulová na dostatečně malém otevřeném sousedství X. Někteří autoři vlastně definovat reálné (nebo složité) potrubí jsou lokálně prstencové prostory, které jsou lokálně izomorfní pro dvojici skládající se z otevřené podmnožiny ${ displaystyle mathbf {R} ^ {n}}$ (resp. ${ displaystyle mathbf {C} ^ {n}}$) spolu s svazkem C^k (resp. holomorfní) funkce.^[8] Podobně, Schémata, základní pojem mezer v algebraické geometrii, jsou místně prstencové prostory, které jsou místně izomorfní k spektrum prstenu.

Vzhledem k prstencovému prostoru, a svazek modulů je svazek ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ tak, že na každé otevřené sadě U z X, ${ displaystyle { mathcal {M}} (U)}$ je ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} (U)}$-module a pro každé zahrnutí otevřených sad PROTI ⊆ U, mapa omezení ${ displaystyle { mathcal {M}} (U) až { mathcal {M}} (V)}$ je kompatibilní s mapou omezení Ó(U) → Ó(PROTI): omezení fs je omezení F krát to s pro libovolné F v Ó(U) a s v F(U).

Nejdůležitější geometrické objekty jsou svazky modulů. Například existuje korespondence jedna k jedné mezi vektorové svazky a místně zdarma snopy z ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$- moduly. Toto paradigma platí pro skutečné vektorové svazky, složité vektorové svazky nebo vektorové svazky v algebraické geometrii (kde ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ skládá se z hladkých funkcí, holomorfních funkcí nebo běžných funkcí). Řetězce řešení diferenciálních rovnic jsou D- moduly, tj. Moduly přes svazek diferenciální operátory. V jakémkoli topologickém prostoru moduly přes konstantní svazek ${ displaystyle { underline { mathbf {Z}}}}$ jsou stejné jako snopy abelianských skupin ve smyslu výše.

Pro svazky modulů přes svazky prstenů existuje jiný funktor inverzního obrazu. Tento funktor je obvykle označován ${ displaystyle f ^ {*}}$ a je odlišný od ${ displaystyle f ^ {- 1}}$. Vidět funktor inverzního obrazu.

Podmínky konečnosti pro svazky modulů

Podmínky konečnosti modulu skončily komutativní prsteny způsobí podobné podmínky konečnosti pro svazky modulů: ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ je nazýván definitivně generováno (resp. konečně představen) pokud pro každý bod X z X, existuje otevřené sousedství U z X, přirozené číslo n (možná v závislosti na U) a surjektivní morfismus snopů ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} do { mathcal {M}} | _ {U}}$ (respektive navíc přirozené číslo ma přesná sekvence ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {m} | _ {U} do { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} | _ {U} do { mathcal {M}} | _ {U} do 0}$.) Souběžně s pojmem a koherentní modul, ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ se nazývá a koherentní svazek jestli je konečného typu a jestli, pro každou otevřenou množinu U a každý morfismus snopů ${ displaystyle phi: { mathcal {O}} _ {X} ^ {n} do { mathcal {M}}}$ (ne nutně surjektivní), jádro φ je konečného typu. ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$ je koherentní pokud je koherentní jako modul nad sebou. Stejně jako u modulů je koherence obecně přísně silnější podmínkou než konečná prezentace. The Dobře, věta o koherenci uvádí, že svazek holomorfních funkcí na a komplexní potrubí je koherentní.

Étalé prostor snopu

Ve výše uvedených příkladech bylo poznamenáno, že některé snopy se přirozeně vyskytují jako snopy sekcí. Ve skutečnosti lze všechny svazky svazků reprezentovat jako svazky úseků topologického prostoru zvaného étalé prostor, z francouzského slova étalé [etale], což znamená zhruba „rozprostřeno“. Li ${ displaystyle F in { text {Sh}} (X)}$ je snop přes ${ displaystyle X}$, pak étalé prostor z ${ displaystyle F}$ je topologický prostor ${ displaystyle E}$ společně s a místní homeomorfismus ${ displaystyle pi: E až X}$ tak, že svazek sekcí ${ displaystyle Gamma ( pi, -)}$ z ${ displaystyle pi}$ je ${ displaystyle F}$. Prostor ${ displaystyle E}$ je obvykle velmi podivné, i když snop ${ displaystyle F}$ vyplývá z přirozené topologické situace, ${ displaystyle E}$ nemusí mít jasnou topologickou interpretaci. Například pokud ${ displaystyle F}$ je svazek částí spojité funkce ${ displaystyle f: Y až X}$, pak ${ displaystyle E = Y}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle f}$ je místní homeomorfismus.

Étalé prostor ${ displaystyle E}$ je vyroben ze stonků ${ displaystyle F}$ přes ${ displaystyle X}$. Jako sada je jejich disjunktní unie a ${ displaystyle pi}$ je zřejmá mapa, která má hodnotu ${ displaystyle x}$ na stopce ${ displaystyle F}$ přes ${ displaystyle x v X}$. Topologie ${ displaystyle E}$ je definována následovně. Pro každý prvek ${ displaystyle s v F (U)}$ a každý ${ displaystyle x v U}$, máme zárodek ${ displaystyle s}$ na ${ displaystyle x}$, označeno ${ displaystyle [s] _ {x}}$ nebo ${ displaystyle s_ {x}}$. Tyto bakterie určují body ${ displaystyle E}$. Pro všechny ${ displaystyle U}$ a ${ displaystyle s v F (U)}$, spojení těchto bodů (pro všechny ${ displaystyle x v U}$) je prohlášen za otevřený v ${ displaystyle E}$. Všimněte si, že každá stopka má diskrétní topologie jako topologie podprostoru. Dva morfismy mezi snopy určují souvislou mapu odpovídajících éterových prostorů, která je kompatibilní s projekčními mapami (v tom smyslu, že každý zárodek je mapován na zárodek ve stejném bodě). Tím se konstrukce stává funktorem.

Konstrukce výše určuje rovnocennost kategorií mezi kategorií svazků sad na ${ displaystyle X}$ a kategorie étalé mezer nad ${ displaystyle X}$. Konstrukci étalé prostoru lze také aplikovat na presheu, přičemž v tomto případě svazek částí éterického prostoru obnoví snop spojený s daným presheou.

Tato konstrukce dělá všechny svazky reprezentativní funktory o určitých kategoriích topologických prostorů. Jak je uvedeno výše, pojďme ${ displaystyle F}$ být snopem ${ displaystyle X}$, nechť ${ displaystyle E}$ být jeho étalé prostor, a nechť ${ displaystyle pi: E až X}$ být přirozenou projekcí. Zvažte podkategorie ${ displaystyle { text {Top}} / X}$ topologických prostorů ${ displaystyle X}$, tj. kategorie topologických prostorů spolu s pevnými spojitými mapami do ${ displaystyle X}$. Každý objekt této kategorie je spojitá mapa ${ displaystyle f: Y až X}$a morfismus z ${ displaystyle Y až X}$ na ${ displaystyle Z až X}$ je spojitá mapa ${ displaystyle Y až X}$ který dojíždí s těmito dvěma mapami do ${ displaystyle X}$. Je tu funktor

${ displaystyle Gamma: { text {nahoře}} / X na { text {sady}}}$

odeslání objektu ${ displaystyle f: Y až X}$ na ${ displaystyle f ^ {- 1} F (Y)}$. Například pokud ${ displaystyle i: U hookrightarrow X}$ je tedy zahrnutí otevřené podmnožiny

${ displaystyle Gamma (i) = f ^ {- 1} F (U) = F (U) = Gamma (F, U)}$

a za zahrnutí bodu ${ displaystyle i: {x } hookrightarrow X}$, pak

${ displaystyle Gamma (i) = f ^ {- 1} F ( {x }) = F | _ {x}}$

je stonek ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle x}$. Existuje přirozený izomorfismus

${ displaystyle (f ^ {- 1} F) (Y) cong operatorname {Hom} _ { mathbf {Top} / X} (f, pi)}$,

což ukazuje ${ displaystyle pi: E až X}$ (pro étalé prostor) představuje funktor ${ displaystyle Gamma}$.

${ displaystyle E}$ je konstruován tak, že projekční mapa ${ displaystyle pi}$ je krycí mapa. V algebraické geometrii se přirozený analog krycí mapy nazývá an étale morphism. Přes podobnost s „étalé“, slovem étale [etal] má ve francouzštině jiný význam. Je možné se otočit ${ displaystyle E}$ do systém a ${ displaystyle pi}$ do morfismu schémat takovým způsobem, že ${ displaystyle pi}$ zachovává stejné univerzální vlastnictví, ale ${ displaystyle pi}$ je ne obecně etalistický morfismus, protože není kvazi-konečný. Je to však formálně étale.

Definice svazků étalé prostory je starší než definice uvedená dříve v článku. To je ještě běžné v některých oblastech matematiky, jako je matematická analýza.

Snopová kohomologie

V kontextech, kde je otevřená množina U je pevná a svazek je považován za proměnnou, množinu F(U) je také často označován ${ displaystyle Gamma (U, F).}$

Jak bylo uvedeno výše, tento funktor nezachovává epimorfismy. Místo toho epimorfismus snopů ${ displaystyle { mathcal {F}} do { mathcal {G}}}$ je mapa s následující vlastností: pro libovolnou sekci ${ displaystyle g in { mathcal {G}} (U)}$ tam je krytina ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {i v I}}$ kde

${ displaystyle U = bigcup _ {i in I} U_ {i}}$

otevřených podmnožin, takže omezení ${ displaystyle g | _ {U_ {i}}}$ jsou v obraze ${ displaystyle { mathcal {F}} (U_ {i})}$. Nicméně, G sám nemusí být v obraze ${displaystyle {mathcal {F}}(U)}$. A concrete example of this phenomenon is the exponential map

${displaystyle {mathcal {O}}{stackrel {exp }{ o }}{mathcal {O}}^{ imes }}$

between the sheaf of holomorfní funkce and non-zero holomorphic functions. This map is an epimorphism, which amounts to saying that any non-zero holomorphic function G (on some open subset in C, say), admits a komplexní logaritmus lokálně, i.e., after restricting G to appropriate open subsets. Nicméně, G need not have a logarithm globally.

Sheaf cohomology captures this phenomenon. More precisely, for an přesná sekvence of sheaves of abelian groups

${displaystyle 0 o {mathcal {F}}_{1} o {mathcal {F}}_{2} o {mathcal {F}}_{3} o 0,}$

(i.e., an epimorphism ${displaystyle {mathcal {F}}_{2} o {mathcal {F}}_{3}}$ whose kernel is ${displaystyle {mathcal {F}}_{1}}$), there is a long exact sequence

${displaystyle 0 o Gamma (U,{mathcal {F}}_{1}) o Gamma (U,{mathcal {F}}_{2}) o Gamma (U,{mathcal {F}}_{3}) o H^{1}(U,{mathcal {F}}_{1}) o H^{1}(U,{mathcal {F}}_{2}) o H^{1}(U,{mathcal {F}}_{3}) o H^{2}(U,{mathcal {F}}_{1}) o dots }$

By means of this sequence, the first cohomology group ${displaystyle H^{1}(U,{mathcal {F}}_{1})}$ is a measure for the non-surjectivity of the map between sections of ${displaystyle {mathcal {F}}_{2}}$ a ${displaystyle {mathcal {F}}_{3}}$.

There are several different ways of constructing sheaf cohomology. Grothendieck (1957) introduced them by defining sheaf cohomology as the derived functor z ${ displaystyle Gamma}$. This method is theoretically satisfactory, but, being based on injective resolutions, of little use in concrete computations. Godement resolutions are another general, but practically inaccessible approach.

Computing sheaf cohomology

Especially in the context of sheaves on manifolds, sheaf cohomology can often be computed using resolutions by soft sheaves, fine sheaves, a flabby sheaves (také známý jako flasque sheaves z francouzštiny flasque meaning flabby). Například a rozdělení jednoty argument shows that the sheaf of smooth functions on a manifold is soft. The higher cohomology groups ${displaystyle H^{i}(U,{mathcal {F}})}$ pro ${ displaystyle i> 0}$ vanish for soft sheaves, which gives a way of computing cohomology of other sheaves. Například komplex de Rham is a resolution of the constant sheaf ${displaystyle {underline {mathbf {R} }}}$ on any smooth manifold, so the sheaf cohomology of ${displaystyle {underline {mathbf {R} }}}$ is equal to its de Rhamova kohomologie.

A different approach is by Čechova kohomologie. Čech cohomology was the first cohomology theory developed for sheaves and it is well-suited to concrete calculations, such as computing the coherent sheaf cohomology of complex projective space ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$^[9]. It relates sections on open subsets of the space to cohomology classes on the space. In most cases, Čech cohomology computes the same cohomology groups as the derived functor cohomology. However, for some pathological spaces, Čech cohomology will give the correct ${displaystyle H^{1}}$ but incorrect higher cohomology groups. To get around this, Jean-Louis Verdier rozvinutý hypercoverings. Hypercoverings not only give the correct higher cohomology groups but also allow the open subsets mentioned above to be replaced by certain morphisms from another space. This flexibility is necessary in some applications, such as the construction of Pierre Deligne je mixed Hodge structures.

Many other coherent sheaf cohomology groups are found using an embedding ${displaystyle i:Xhookrightarrow Y}$ of a space ${ displaystyle X}$ into a space with known cohomology, such as ${ displaystyle mathbb {P} ^ {n}}$, nebo některé weighted projective space. In this way, the known sheaf cohomology groups on these ambient spaces can be related to the sheaves ${displaystyle i_{*}{mathcal {F}}}$dávat ${displaystyle H^{i}(Y,i_{*}{mathcal {F}})cong H^{i}(X,{mathcal {F}})}$. For example, computing the coherent sheaf cohomology of projective plane curves is easily found. One big theorem in this space is the Hodge decomposition found using a spectral sequence associated to sheaf cohomology groups, proved by Deligne.^[10][11] V zásadě ${ displaystyle E_ {1}}$-page with terms

${displaystyle E_{1}^{p,q}=H^{p}(X,Omega _{X}^{q})}$

the sheaf cohomology of a hladký projektivní rozmanitost ${ displaystyle X}$, degenerates, meaning ${displaystyle E_{1}=E_{infty }}$. This gives the canonical Hodge structure on the cohomology groups ${displaystyle H^{k}(X,mathbb {C} )}$. It was later found these cohomology groups can be easily explicitly computed using Griffiths residues. Vidět Jacobian ideal. These kinds of theorems lead to one of the deepest theorems about the cohomology of algebraic varieties, the decomposition theorem, paving the path for Mixed Hodge modules.

Another clean approach to the computation of some cohomology groups is the Borel–Bott–Weil theorem, which identifies the cohomology groups of some line bundles na flag manifolds s neredukovatelné reprezentace z Lež skupiny. This theorem can be used, for example, to easily compute the cohomology groups of all line bundles on projective space and grassmann manifolds.

In many cases there is a duality theory for sheaves that generalizes Poincaré dualita. Vidět Grothendieck duality a Verdier duality.

Derived categories of sheaves

The odvozená kategorie of the category of sheaves of, say, abelian groups on some space X, denoted here as ${displaystyle D(X)}$, is the conceptual haven for sheaf cohomology, by virtue of the following relation:

${displaystyle H^{n}(X,{mathcal {F}})=operatorname {Hom} _{D(X)}(mathbf {Z} ,{mathcal {F}}[n]).}$

The adjunction between ${ displaystyle f ^ {- 1}}$, which is the left adjoint of ${ displaystyle f _ {*}}$ (already on the level of sheaves of abelian groups) gives rise to an adjunction

${displaystyle f^{-1}:D(Y) ightleftarrows D(X):Rf_{*}}$ (pro ${ displaystyle f: X až Y}$),

kde ${displaystyle Rf_{*}}$ is the derived functor. This latter functor encompasses the notion of sheaf cohomology since ${displaystyle H^{n}(X,{mathcal {F}})=R^{n}f_{*}{mathcal {F}}}$ pro ${displaystyle f:X o {*}}$.

Image functors for sheaves
direct image F∗
inverzní obraz F∗
direct image with compact support F!
exceptional inverse image Rf!
${displaystyle f^{*}leftrightarrows f_{*}}$
${displaystyle (R)f_{!}leftrightarrows (R)f^{!}}$
Base change theorems

Jako ${ displaystyle f _ {*}}$, the direct image with compact support ${displaystyle f_{!}}$ can also be derived. By virtue of the following isomorphism ${displaystyle Rf_{!}F}$ parametrizes the cohomology with compact support z vlákna z ${ displaystyle f}$:

${displaystyle (R^{i}f_{!}F)_{y}=H_{c}^{i}(f^{-1}(y),F).}$^[12]

This isomorphism is an example of a base change theorem. There is another adjunction

${displaystyle Rf_{!}:D(X) ightleftarrows D(Y):f^{!}.}$

Unlike all the functors considered above, the twisted (or exceptional) inverse image functor ${displaystyle f^{!}}$ is in general only defined on the level of odvozené kategorie, i.e., the functor is not obtained as the derived functor of some functor between abelian categories. Li ${displaystyle f:X o {*}}$ a X is a smooth orientable manifold dimenze n, pak

${displaystyle f^{!}{underline {mathbf {R} }}cong {underline {mathbf {R} }}[n].}$^[13]

This computation, and the compatibility of the functors with duality (see Verdier duality ) can be used to obtain a high-brow explanation of Poincaré dualita. In the context of quasi-coherent sheaves on schemes, there is a similar duality known as coherent duality.

Perverse sheaves are certain objects in ${displaystyle D(X)}$, i.e., complexes of sheaves (but not in general sheaves proper). They are an important tool to study the geometry of singularity.^[14]

Derived categories of coherent sheaves and the Grothendieck group

Another important application of derived categories of sheaves is with the derived category of koherentní snopy on a scheme ${ displaystyle X}$ denoted ${displaystyle D_{Coh}(X)}$. This was used by Grothendieck in his development of teorie průniku^[15] použitím odvozené kategorie a K-theory, that the intersection product of subschemes ${displaystyle Y_{1},Y_{2}}$ je zastoupena v K-theory tak jako

${displaystyle [Y_{1}]cdot [Y_{2}]=[{mathcal {O}}_{Y_{1}}otimes _{{mathcal {O}}_{X}}^{mathbf {L} }{mathcal {O}}_{Y_{2}}]in K({ ext{Coh(X)}})}$

kde ${displaystyle {mathcal {O}}_{Y_{i}}}$ jsou koherentní snopy defined by the ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X}}$-modules given by their structure sheaves.

Sites and topoi

André Weil je Weil dohady stated that there was a cohomology theory pro algebraické odrůdy přes konečná pole that would give an analogue of the Riemannova hypotéza. The cohomology of a complex manifold can be defined as the sheaf cohomology of the locally constant sheaf ${displaystyle {underline {mathbf {C} }}}$ in the Euclidean topology, which suggests defining a Weil cohomology theory in positive characteristic as the sheaf cohomology of a constant sheaf. But the only classical topology on such a variety is the Zariski topologie, and the Zariski topology has very few open sets, so few that the cohomology of any Zariski-constant sheaf on an irreducible variety vanishes (except in degree zero). Alexandre Grothendieck solved this problem by introducing Grothendieck topologies, which axiomatize the notion of covering. Grothendieck's insight was that the definition of a sheaf depends only on the open sets of a topological space, not on the individual points. Once he had axiomatized the notion of covering, open sets could be replaced by other objects. A presheaf takes each one of these objects to data, just as before, and a sheaf is a presheaf that satisfies the gluing axiom with respect to our new notion of covering. This allowed Grothendieck to define étale cohomology a ℓ-adická kohomologie, which eventually were used to prove the Weil conjectures.

A category with a Grothendieck topology is called a stránky. A category of sheaves on a site is called a topos nebo a Grothendieck topos. The notion of a topos was later abstracted by William Lawvere and Miles Tierney to define an elementary topos, který má připojení k matematická logika.

Dějiny

The first origins of teorie svazků are hard to pin down – they may be co-extensive with the idea of analytické pokračování^{[je zapotřebí objasnění ]}. It took about 15 years for a recognisable, free-standing theory of sheaves to emerge from the foundational work on cohomology.

• 1936 Eduard Čech introduces the nerv construction, for associating a zjednodušený komplex to an open covering.
• 1938 Hassler Whitney gives a 'modern' definition of cohomology, summarizing the work since J. W. Alexander a Kolmogorov first defined cochains.
• 1943 Norman Steenrod publishes on homology s local coefficients.
• 1945 Jean Leray publishes work carried out as a válečný vězeň, motivated by proving pevný bod theorems for application to PDE theory; it is the start of sheaf theory and spektrální sekvence.
• 1947 Henri Cartan reproves the de Rham theorem by sheaf methods, in correspondence with André Weil (vidět De Rham–Weil theorem ). Leray gives a sheaf definition in his courses via closed sets (the later krunýře).
• 1948 The Cartan seminar writes up sheaf theory for the first time.
• 1950 The "second edition" sheaf theory from the Cartan seminar: the sheaf space (espace étalé) definition is used, with stalkwise structure. Podporuje are introduced, and cohomology with supports. Continuous mappings give rise to spectral sequences. Ve stejnou dobu Kiyoshi Oka introduces an idea (adjacent to that) of a sheaf of ideals, in několik složitých proměnných.
• 1951 The Cartan seminar proves theorems A and B, based on Oka's work.
• 1953 The finiteness theorem for koherentní snopy in the analytic theory is proved by Cartan and Jean-Pierre Serre, jak je Serre dualita.
• 1954 Serre's paper Faisceaux algébriques cohérents (published in 1955) introduces sheaves into algebraická geometrie. These ideas are immediately exploited by Friedrich Hirzebruch, who writes a major 1956 book on topological methods.
• 1955 Alexander Grothendieck in lectures in Kansas defines abelianská kategorie a předheaf, and by using injective resolutions allows direct use of sheaf cohomology on all topological spaces, as odvozené funktory.
• 1956 Oscar Zariski 's report Algebraic sheaf theory
• 1957 Grothendieck's Tohoku papír přepíše homologická algebra; he proves Grothendieck duality (i.e., Serre duality for possibly jednotné číslo algebraic varieties).
• 1957 onwards: Grothendieck extends sheaf theory in line with the needs of algebraic geometry, introducing: schémata and general sheaves on them, místní kohomologie, odvozené kategorie (with Verdier), and Grothendieck topologies. There emerges also his influential schematic idea of 'six operations ' in homological algebra.
• 1958 Roger Godement 's book on sheaf theory is published. Kolem této doby Mikio Sato proposes his hyperfunctions, which will turn out to have sheaf-theoretic nature.

At this point sheaves had become a mainstream part of mathematics, with use by no means restricted to algebraická topologie. It was later discovered that the logic in categories of sheaves is intuicionistická logika (this observation is now often referred to as Kripke–Joyal semantics, but probably should be attributed to a number of authors). This shows that some of the facets of sheaf theory can also be traced back as far as Leibniz.

Viz také

• Soudržný svazek
• Gerbe
• Zásobník (matematika)
• Sheaf of spectra
• Perverzní svazek
• Presheaf of spaces
• Constructible sheaf

Poznámky

Reference

• Bredon, Glen E. (1997), Teorie svazků, Postgraduální texty z matematiky, 170 (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-94905-5, PAN  1481706 (orientováno na konvenční topologické aplikace)
• de Cataldo, Andrea Mark; Migliorini, Luca (2010). „Co je to perverzní svazek?“ (PDF). Oznámení Americké matematické společnosti. 57 (5): 632–634. PAN  2664042.
• Bože, Rogere (1973), Topologie algébrique et théorie des faisceaux, Paříž: Hermann, PAN  0345092
• Grothendieck, Alexander (1957), „Sur quelques points d'algèbre homologique“, Matematický deník Tohoku, Druhá série, 9: 119–221, doi:10,2748 / tmj / 1178244839, ISSN  0040-8735, PAN  0102537
• Hirzebruch, Friedrich (1995), Topologické metody v algebraické geometrii, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-58663-0, PAN  1335917 (aktualizované vydání klasiky využívající dostatek teorie svazků k prokázání své síly)
• Iversen, Birger (1986), Kohomologie snopůUniversitext, Springer, doi:10.1007/978-3-642-82783-9, ISBN  3-540-16389-1, PAN  0842190
• Kashiwara, Masaki; Schapira, Pierre (1994), Snopy na potrubíchGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 292, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-3-540-51861-7, PAN  1299726 (pokročilé techniky jako např odvozená kategorie a mizející cykly v nejrozumnějších prostorech)
• Mac Lane, Saunders; Moerdijk, Ieke (1994), Snopy v geometrii a logice: První úvod do teorie toposUniversitext, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-97710-2, PAN  1300636 (zdůrazněna teorie kategorií a úkolů)
• Martin, William T .; Chern, Shiing-Shen; Zariski, Oscar (1956), „Vědecká zpráva o Druhém letním institutu, několik složitých proměnných“, Bulletin of the American Mathematical Society, 62 (2): 79–141, doi:10.1090 / S0002-9904-1956-10013-X, ISSN  0002-9904, PAN  0077995
• Ramanan, S. (2005), Globální počet, Postgraduální studium matematiky, 65Americká matematická společnost, doi:10,1090 / gsm / 065, ISBN  0-8218-3702-8, PAN  2104612
• J. Arthur Seebach, Linda A. Seebach & Lynn A. Steen (1970) „Co je to svazek“, Americký matematický měsíčník 77:681–703 PAN0263073.
• Serre, Jean-Pierre (1955), „Faisceaux algébriques cohérents“ (PDF), Annals of Mathematics, Druhá série, 61 (2): 197–278, doi:10.2307/1969915, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969915, PAN  0068874
• Labuť, Richard G. (1964), Teorie snopů, University of Chicago Press (stručné poznámky k přednášce)
• Tennison, Barry R. (1975), Teorie svazků, Cambridge University Press, PAN  0404390 (pedagogické zacházení)

externí odkazy

• "Snop". PlanetMath.