Dualita Eckmann – Hilton - Eckmann–Hilton duality

V matematických disciplínách algebraická topologie a teorie homotopy, Dualita Eckmann – Hilton ve své nejzákladnější formě spočívá v braní dané diagram pro konkrétní koncept a obrácení směru všech šipek, stejně jako v teorie kategorií s myšlenkou na opačná kategorie. Podstatně hlubší forma tvrdí, že skutečnost, že dvojí pojem a omezit je colimit umožňuje nám změnit Eilenberg – Steenrodovy axiomy pro homologie dát axiomy pro kohomologie. Je pojmenován po Beno Eckmann a Peter Hilton.

Diskuse

Příklad uvádí kari, což nám říká, že pro jakýkoli objekt ${displaystyle X}$, mapa ${displaystyle X imes I o Y}$ je stejný jako mapa ${displaystyle X o Y ^ {I}}$, kde ${displaystyle Y ^ {I}}$ je exponenciální objekt, dané všemi mapami z ${displaystyle I}$ na ${displaystyle Y}$. V případě topologické prostory, pokud vezmeme ${displaystyle I}$ být jednotkovým intervalem, to vede k dualitě mezi ${displaystyle X imes I}$ a ${displaystyle Y ^ {I}}$, který pak dává dualitu mezi snížené zavěšení ${displaystyle Sigma X}$, což je podíl z ${displaystyle X imes I}$a prostor smyčky ${displaystyle Omega Y}$, což je podprostor ${displaystyle Y ^ {I}}$. To pak vede k adjunkční vztah ${displaystyle langle Sigma X, Yangle = langle X, Omega Yangle}$, který umožňuje studium spektra, které vedou k cohomologické teorie.

Můžeme také přímo spojit fibrace a kofibrace: fibrace ${displaystyle pcolon E o B}$ je definován tím, že homotopy zvedací vlastnost, představovaný následujícím diagramem

a kofibrace ${displaystyle icolon A o X}$ je definován tím, že má duální vlastnost rozšíření homotopy, představovaný dualizací předchozího diagramu:

Výše uvedené úvahy platí také při pohledu na sekvence spojené s fibrací nebo kofibrací, jak je dané fibraci ${displaystyle F o E o B}$ dostaneme sekvenci

${displaystyle cdots o Omega ^ {2} B o Omega F o Omega E o Omega B o F o E o B,}$

a dostal kofibraci ${displaystyle A o X o X / A}$ dostaneme sekvenci

${displaystyle A o X o X / A o Sigma A o Sigma X o Sigma vlevo (X / Aight) o Sigma ^ {2} A o cdots.,}$

a obecněji dualita mezi exaktním a koaktivním Puppe sekvence.

To nám také umožňuje vztahovat se homotopy a kohomologie: to víme homotopické skupiny jsou třídy homotopy map z n-koule do našeho prostoru, písemně ${displaystyle pi _ {n} (X, p) cong langle S ^ {n}, Xangle}$, a víme, že koule má jediný nenulový (zmenšený) kohomologická skupina. Na druhou stranu jsou kohomologické skupiny homotopy tříd map do prostorů s jedinou nenulovou homotopy skupinou. To je dáno Eilenberg – MacLaneovy mezery ${displaystyle K (G, n)}$ a vztah

${displaystyle H ^ {n} (X; G) cong langle X, K (G, n) úhel.}$

Formalizace výše uvedených neformálních vztahů je dána Fuks dualita.^[1]

Viz také

• Kategorie modelu

Reference

• Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  0-521-79540-0.
• „Dualita Eckmann-Hilton“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]