Al teorie homotopie - A¹ homotopy theory

v algebraická geometrie a algebraická topologie, pobočky matematika, $A 1$ teorie homotopy je způsob, jak konkrétně aplikovat techniky algebraické topologie homotopy, do algebraické odrůdy a obecněji do schémata. Teorie je způsobena Fabien Morel a Vladimír Voevodský. Základní myšlenkou je, že by mělo být možné vyvinout čistě algebraický přístup k teorii homotopy nahrazením jednotkový interval $[0, 1]$ , což není algebraická odrůda, s afinní linie $A 1$ , který je. Tato teorie vyžaduje značné množství techniky k nastavení, ale má velkolepé aplikace, jako je Voevodského konstrukce odvozená kategorie z smíšené motivy a důkaz o Milnor a Bloch-Kato dohady.

Konstrukce

$A 1$ teorie homotopy je založena na kategorii zvané $A 1$ kategorie homotopy. Toto je kategorie homotopy pro určité uzavřená kategorie modelu jehož konstrukce vyžaduje dva kroky.

Krok 1

Většina staveb funguje pro všechny stránky $T$ . Předpokládejme, že web je subkanonický a nechte $Shv (T)$ být kategorií svazků sad na tomto webu. Tato kategorie je příliš restriktivní, takže ji budeme muset rozšířit. Nechat $Δ$ být kategorie simplex, tj. kategorie, jejíž objekty jsou množiny

{0}, {0, 1}, {0, 1, 2}, ...,

a jejichž morfismy jsou funkce zachovávající řád. Nechali jsme $Δ op Shv (T)$ označují kategorii funktorů $Δ op \to Shv (T)$ . To znamená, $Δ op Shv (T)$ je kategorie zjednodušených objektů na $Shv (T)$ . Takový objekt se také nazývá a jednoduchý svazek na $T$ . Kategorie všech jednoduchých svazků $T$ je Grothendieck topos.

A směřovat stránky $T$ je geometrický morfismus $X * : Shv (T) \to Soubor$ , kde $Soubor$ je kategorie sad. Budeme definovat uzavřenou strukturu modelu na $Δ op Shv (T)$ z hlediska bodů. Nechat ${ displaystyle f: { mathcal {X}} na { mathcal {Y}}}$ být morfismem jednoduchých snopů. Říkáme, že:

$F$ je slabá rovnocennost pokud pro jakýkoli bod $X$ z $T$ morfismus jednoduché sady ${ displaystyle x ^ {*} f: x ^ {*} { mathcal {X}} až x ^ {*} { mathcal {Y}}}$ je slabá rovnocennost.
$F$ je cofibration pokud se jedná o monomorfismus.
$F$ je fibrace pokud má správné zvedání majetku s ohledem na jakoukoli kofibraci, která je slabou ekvivalencí.

Je označena kategorie homotopy této modelové struktury ${ displaystyle { mathcal {H}} _ {s} (T)}$ .

Krok 2

Tato modelová struktura neposkytne správnou kategorii homotopy, protože nevěnuje žádnou pozornost objektu jednotkového intervalu. Zavolejte tento objekt $Já$ a označte konečný předmět $T$ podle $pt$ . To předpokládáme $Já$ přichází s mapou $μ : Já \times Já \to Já$ a dvě mapy $i 0, i 1 : pt \to Já$ takové, že:

Li $str$ je kanonický morfismus $Já \to pt$ , pak

μ (i 0 \times 1 Já) = μ (1 Já \times i 0) = i 0 str .

μ (i 1 \times 1 Já) = μ (1 Já \times i 1) = 1 Já .

Morfismus $i 0 ∐ i 1 : pt ∐ pt \to Já$ je monomorfismus.

Teď lokalizujeme teorii homotopy s ohledem na $Já$ . Zjednodušený svazek ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ je nazýván $Já$ - místní, pokud jde o jakýkoli zjednodušený svazek ${ displaystyle { mathcal {Y}}}$ mapa

{ displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {Y}} krát I, { mathcal {X}}) to { text {Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {Y}}, { mathcal {X}})}

vyvolané $i 0 : pt \to Já$ je bijekce. Morfismus ${ displaystyle f: { mathcal {X}} na { mathcal {Y}}}$ je $Já$ -slabá ekvivalence, pokud existuje $Já$ -místní ${ displaystyle { mathcal {Z}}}$ , indukovaná mapa

{ displaystyle { text {Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {Y}}, { mathcal {Z}})) na { text { Hom}} _ {{ mathcal {H}} _ {s} (T)} ({ mathcal {X}}, { mathcal {Z}})}

je bijekce. Teorie homotopy webu s intervalem $(T, Já)$ je lokalizace $Δ op Shv (T)$ s ohledem na $Já$ -slabé ekvivalence. Tato kategorie se nazývá ${ displaystyle { mathcal {H}} (T, I)}$ .

Formální definice

Nakonec můžeme definovat $A 1$ kategorie homotopy.

Definice. Nechat

S

být konečně-dimenzionální Noetherian schéma a nechte

Sch / S

označují kategorii hladký schémata skončila

S

. Vybavit

Sch / S

s Nisnevichova topologie získat web

(Sch / S) Nis

. Nechali jsme afinní linii

A 1

hrají roli intervalu. Výše uvedená konstrukce určuje uzavřenou strukturu modelu

Δ op Shv Nis (Sch / S)

a odpovídající kategorie homotopy se nazývá

A 1

kategorie homotopy.

Všimněte si, že podle konstrukce pro všechny $X$ v $Sch / S$ , existuje izomorfismus

X \times S A 1 S ≅ X,

v kategorii homotopy.

Vlastnosti teorie

Nastavení, zejména Nisnevichova topologie, je vybrán, aby se algebraická K-teorie reprezentovatelné spektrem a v některých aspektech umožnit důkaz o domněnce Bloch-Kato.

Po konstrukci Morel-Voevodsky existovalo několik různých přístupů $A 1$ teorie homotopy s použitím jiných struktur modelové kategorie nebo s použitím jiných snopů než Nisnevichových snopů (například snopy Zariski nebo jen všechny předsunutí). Každá z těchto konstrukcí poskytuje stejnou kategorii homotopy.

V teorii existují dva druhy sfér: ty, které pocházejí z multiplikativní skupiny hrající roli $1$ - koule v topologii a ty, které pocházejí ze zjednodušené sféry (považovány za konstantní zjednodušený svazek). To vede k teorii motivických sfér $S str, q$ se dvěma indexy. Výpočet homotopických skupin motivických sfér by také přinesl klasické stabilní homotopické skupiny sfér, takže v tomto ohledu $A 1$ teorie homotopy je přinejmenším stejně komplikovaná jako klasická teorie homotopy.

Kategorie stabilní homotopy

Další stavba v A¹-homotopy teorie je kategorie SH (S), který je získán z výše uvedené nestabilní kategorie vynucením rozbití produktu pomocí G_m stát se invertibilní. Tento proces lze provést buď pomocí modelových kategoriálních konstrukcí pomocí tzv G_m-spectra nebo alternativně pomocí kategorií nekonečna.

Pro S = Spec (R), spektrum pole reálných čísel, existuje funktor

{ displaystyle SH ( mathbf {R}) do SH}

do stabilní kategorie homotopy z algebraické topologie. Funktor je charakterizován odesláním plynulého schématu X / R do skutečného potrubí spojeného s X. Tento funktor má vlastnost, kterou odesílá mapu

{ displaystyle rho: S ^ {0} to mathbf {G} _ {m}, tj. {- 1,1 } na Spec mathbf {R} [x, x ^ {- 1} ]}

k rovnocennosti, protože ${ displaystyle mathbf {R} ^ { times}}$ je homotopy ekvivalentní dvoubodové množině. Bachmann (2018) ukázal, že výsledný funktor

{ displaystyle SH ( mathbf {R}) [ rho ^ {- 1}] do SH}

je rovnocennost.

Reference

Články průzkumu

Antieau, Benjamin; Elmanto, Elden, Základní nátěr pro nestabilní motivickou homotopickou teorii, arXiv:1605.00929, Bibcode:2016arXiv160500929A

Reference

Bachmann, Tom (2018), Teorie stabilní a homotopické motivace skutečného etale, arXiv:1608.08855

Morel, Fabien; Voevodsky, Vladimir (1999), "A¹-homotopy teorie schémat " (PDF), Publikace Mathématiques de l'IHÉS, 90 (90): 45–143, doi:10.1007 / BF02698831, PAN 1813224, vyvoláno 9. května 2008
Voevodsky, Vladimir (1998), "A¹-homotopy theory " (PDF), Documenta Mathematica, Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. I (Berlín, 1998): 579–604, ISSN 1431-0635, PAN 1648048