De Rhamova kohomologie - De Rham cohomology - Wikipedia

Vektorové pole odpovídající diferenciální formě na propíchnuté letadlo to je uzavřeno, ale není přesné, což ukazuje, že de Rhamova kohomologie tohoto prostoru je netriviální.

v matematika, de Rhamova kohomologie (po Georges de Rham ) je nástroj patřící do obou algebraická topologie a do diferenciální topologie, schopný vyjádřit základní topologické informace o hladké potrubí ve formě zvláště přizpůsobené výpočtu a konkrétní reprezentaci kurzy kohomologie. Je to teorie cohomologie na základě existence diferenciální formy s předepsanými vlastnostmi.

Koncept integrace na formulářích má zásadní význam v diferenciální topologii, geometrii a fyzice a přináší také jeden z nejdůležitějších příkladů kohomologie, jmenovitě de Rhamova kohomologie, který (zhruba řečeno) přesně měří míru, do jaké základní věta o počtu selže ve vyšších dimenzích a na obecných potrubích. — Terence Tao, Diferenciální formy a integrace^[1]

Definice

The komplex de Rham je komplex řetězců z diferenciální formy na některých hladké potrubí M, s vnější derivace jako rozdíl:

${ displaystyle 0 až Omega ^ {0} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {1} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {2} (M) { stackrel {d} { to}} Omega ^ {3} (M) na cdots,}$

kde Ω⁰(M) je prostor plynulé funkce na M, Ω¹(M) je prostor 1-formy atd. Formuláře, které jsou obrazem jiných forem pod vnější derivace plus konstanta 0 funkce v Ω⁰(M), jsou nazývány přesný a formy, jejichž vnější derivace je 0 jsou nazývány Zavřeno (vidět Uzavřené a přesné diferenciální formy ); vztah d² = 0 pak říká, že přesné formy jsou uzavřeny.

Naproti tomu uzavřené formy nemusí být nutně přesné. Ilustrativním případem je kruh jako potrubí a 1-forma odpovídající derivaci úhlu od referenčního bodu ve středu, obvykle psaná jako dθ (popsáno na Uzavřené a přesné diferenciální formy ). Neexistuje žádná funkce θ definované v celém kruhu tak, že dθ je jeho derivát; nárůst o 2π jednou projít kolem kruhu v pozitivním směru znamená a funkce s více hodnotami θ. Odstranění jednoho bodu kružnice tomu brání a současně mění topologii potrubí.

Myšlenkou de Rhamovy kohomologie je definovat třídy ekvivalence uzavřených forem na potrubí. Jeden klasifikuje dvě uzavřené formy α, β ∈ Ω^k(M) tak jako cohomologous pokud se liší přesnou formou, tj. pokud α − β je přesný. Tato klasifikace indukuje vztah ekvivalence v prostoru uzavřených forem v Ω^k(M). Jeden pak definuje k-th de Rhamova kohomologická skupina ${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$ být množinou tříd ekvivalence, tj. množinou uzavřených forem v Ω^k(M) modulo přesné formy.

Všimněte si, že pro jakékoli potrubí M složen z m odpojené komponenty, z nichž každá je připojeno, máme to

${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {0} (M) cong mathbb {R} ^ {m}.}$

To vyplývá ze skutečnosti, že každá plynulá funkce zapnuta M s nulovou derivací všude je samostatně konstantní na každé z připojených komponent M.

Vypočtena De Rhamova kohomologie

Jeden může často najít obecné de Rhamovy cohomologie potrubí pomocí výše uvedené skutečnosti o nulové kohomologii a Mayer – Vietorisova sekvence. Dalším užitečným faktem je, že de Rhamova kohomologie je a homotopy neměnný. I když výpočet není uveden, následující jsou vypočítané de Rhamovy kohomologie pro některé běžné topologické objekty:

The n-koule

Pro n-koule, ${ displaystyle S ^ {n}}$, a také když se vezme společně s produktem otevřených intervalů, máme následující. Nechat n > 0, m ≥ 0, a Já být otevřený skutečný interval. Pak

${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {n} krát I ^ {m}) simeq { begin {cases} mathbb {R} & k = 0 { text {nebo }} k = n, 0 & k neq 0 { text {a}} k neq n. end {případy}}}$

The n-torus

The ${ displaystyle n}$-torus je kartézský součin: ${ displaystyle T ^ {n} = podprsenka {S ^ {1} krát cdots krát S ^ {1}} _ {n}}$. Podobně umožňující ${ displaystyle n geq 1}$ zde získáváme

${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (T ^ {n}) simeq mathbb {R} ^ {n zvolte k}.}$

Můžeme také najít explicitní generátory pro de Rhamovu kohomologii torusu přímo pomocí diferenciálních forem. Vzhledem k kvocientu potrubí ${ displaystyle pi: X až X / G}$ a diferenciální forma ${ displaystyle omega in Omega ^ {k} (X)}$ můžeme to říci ${ displaystyle omega}$ je ${ displaystyle G}$-invariantní pokud je daný jakýkoli diffeomorfismus vyvolaný ${ displaystyle G}$, ${ displaystyle cdot g: X až X}$ my máme ${ displaystyle ( cdot g) ^ {*} ( omega) = omega}$. Zejména odvolání jakékoli formy na ${ displaystyle X / G}$ je ${ displaystyle G}$-variantní. Také pullback je injektivní morfismus. V našem případě ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n} / mathbb {Z} ^ {n}}$ diferenciální formy ${ displaystyle dx_ {i}}$ jsou ${ displaystyle mathbb {Z} ^ {n}}$-invariant od ${ displaystyle d (x_ {i} + k) = dx_ {i}}$. Ale všimněte si toho ${ displaystyle x_ {i} + alpha}$ pro ${ displaystyle alpha in mathbb {R}}$ není neměnný ${ displaystyle 0}$-formulář. To s injekcí naznačuje, že

${ displaystyle [dx_ {i}] v H_ {dR} ^ {1} (T ^ {n})}$

Protože cohomologický prstenec torusu je generován ${ displaystyle H ^ {1}}$, přičemž vnější produkty těchto forem dávají všem výslovným zástupcům de Rhamovy kohomologie torusu.

Propíchnutý euklidovský prostor

Propíchnutý euklidovský prostor je prostě ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ s odstraněným původem.

${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {k} ( mathbb {R} ^ {n} setminus {0 }) cong { begin {cases} mathbb {R} ^ {2} & n = 1, k = 0 mathbb {R} & n> 1, k = 0, n-1 0 & { text {jinak}} end {případů}}.}$

Möbioův pás

Můžeme odvodit ze skutečnosti, že Möbiusův proužek, M, může být deformace zatažena do 1-sphere (tj. kruh skutečných jednotek), který:

${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (M) simeq H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (S ^ {1}).}$

De Rhamova věta

Stokesova věta je výrazem dualita mezi Rhamovou kohomologií a homologie z řetězy. Říká, že párování diferenciálních forem a řetězců prostřednictvím integrace dává a homomorfismus z de Rhamovy kohomologie ${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$ na singulární kohomologické skupiny ${ displaystyle H ^ {k} (M; mathbb {R}).}$ De Rhamova věta, prokázáno Georges de Rham v roce 1931 se uvádí, že pro hladké potrubí M, tato mapa je ve skutečnosti izomorfismus.

Přesněji řečeno, zvažte mapu

${ displaystyle I: H _ { mathrm {dR}} ^ {p} (M) až H ^ {p} (M; mathbb {R}),}$

definováno takto: pro všechny ${ displaystyle [ omega] v H _ { mathrm {dR}} ^ {p} (M)}$, nechť Já(ω) být prvkem ${ displaystyle { text {Hom}} (H_ {p} (M), mathbb {R}) simeq H ^ {p} (M; mathbb {R})}$ jedná takto:

${ displaystyle H_ {p} (M) ni [c] longmapsto int _ {c} omega.}$

Věta de Rham tvrdí, že se jedná o izomorfismus mezi de Rham cohomology a singulární cohomology.

The vnější produkt obdařuje přímý součet těchto skupin s a prsten struktura. Dalším výsledkem věty je, že dva cohomologické kroužky jsou izomorfní (jako odstupňované prsteny ), kde analogickým produktem singulární kohomologie je pohárový produkt.

Snofa teoretik de Rham izomorfismus

De Rhamova kohomologie je izomorfní do Čechova kohomologie ${ displaystyle H ^ {*} ({ mathcal {U}}, { podtržení { mathbb {R}}})}$, kde ${ displaystyle F}$ je snop z abelianské skupiny určeno ${ displaystyle F (U) = mathbb {R}}$ pro všechny připojené otevřené sady ${ displaystyle U podmnožina M}$a pro otevřené sady ${ displaystyle U, V}$ takhle ${ displaystyle U podmnožina V}$skupinový morfismus ${ displaystyle { text {res}} _ {V, U}: { podtržení { mathbb {R}}} (V) k { podtržení { mathbb {R}}} (U)}$ je dán mapou identity na ${ displaystyle mathbb {R},}$ a kde ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ je dobrý otevřete kryt z ${ displaystyle M}$ (tj. všechny otevřené sady v otevřeném krytu ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ jsou smluvní do bodu a všechny konečné průniky množin ${ displaystyle { mathcal {U}}}$ jsou prázdné nebo smrštitelné do určité míry). Jinými slovy ${ displaystyle F}$ je stálý svazek dáno sheafifikací přiřazování konstantního presheafa ${ displaystyle F (U) = mathbb {R}}$.

Uvedeno jiným způsobem, pokud ${ displaystyle M}$ je kompaktní C^m+1 potrubí dimenze ${ displaystyle m}$, pak pro každého ${ displaystyle k leq m}$, existuje izomorfismus

${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (M) cong { check {H}} ^ {k} (M, { podtržení { mathbb {R}}})}$

kde levá strana je ${ displaystyle k}$-th de Rham cohomology group and the right-hand side is the Čech cohomology for the stálý svazek s vláknem ${ displaystyle mathbb {R}.}$

Důkaz

Nechat ${ displaystyle Omega ^ {k}}$ označit svazek choroboplodných zárodků z ${ displaystyle k}$-formuje se ${ displaystyle M}$ (s ${ displaystyle Omega ^ {0}}$ svazek ${ displaystyle C ^ {m + 1}}$ funkce zapnuty ${ displaystyle M}$). Podle Poincaré lemma, následující sled snopy je přesný (v kategorie snopy):

${ displaystyle 0 až { podtržení { mathbb {R}}} k Omega ^ {0} , xrightarrow {d} , Omega ^ {1} , xrightarrow {d} , Omega ^ {2} , xrightarrow {d} tečky xrightarrow {d} , Omega ^ {m} na 0.}$

Tato sekvence se nyní rozpadá na krátké přesné sekvence

${ displaystyle 0 až d Omega ^ {k-1} , { xrightarrow { podmnožina}} , Omega ^ {k} , { xrightarrow {d}} , d Omega ^ {k } do 0.}$

Každá z nich indukuje a dlouhá přesná sekvence v cohomologii. Od svazku ${ displaystyle C ^ {m + 1}}$ funkce na potrubí připouští rozdělení jednoty, svazek kohomologie ${ displaystyle H ^ {i} ( Omega ^ {k})}$ zmizí pro ${ displaystyle i> 0}$. Samotné dlouhé přesné kohomologické sekvence se tedy nakonec oddělí do řetězce izomorfismů. Na jednom konci řetězce je Čechova kohomologie a na druhém leží de Rhamova kohomologie.

Související nápady

De Rhamova kohomologie inspirovala mnoho matematických nápadů, včetně Dolbeaultova kohomologie, Hodgeova teorie a Atiyah – Singerova věta o indexu. I v klasičtějších kontextech však věta inspirovala řadu vývojových trendů. Za prvé Hodgeova teorie dokazuje, že existuje izomorfismus mezi kohomologií sestávající z harmonických forem a de Rhamovou kohomologií sestávající z uzavřených forem modulo exaktních forem. To se opírá o vhodnou definici harmonických forem a Hodgeovy věty. Další podrobnosti viz Hodgeova teorie.

Harmonické formy

Li M je kompaktní Riemannovo potrubí, pak každá třída ekvivalence v ${ displaystyle H _ { mathrm {dR}} ^ {k} (M)}$ obsahuje přesně jednu harmonická forma. Tedy každý člen ${ displaystyle omega}$ dané třídy ekvivalence uzavřených formulářů lze zapsat jako

${ displaystyle omega = alpha + gamma}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je přesný a ${ displaystyle gamma}$ je harmonický: ${ displaystyle Delta gamma = 0}$.

Žádný harmonická funkce na kompaktně připojeném Riemannově potrubí je konstanta. Tento konkrétní reprezentativní prvek lze tedy chápat jako extrém (minimum) všech cohomologically ekvivalentních forem na potrubí. Například na a 2-torus, lze si představit konstantu 1-forma jako jedna, kde jsou všechny „vlasy“ úhledně učesány ve stejném směru (a všechny „vlasy“ mají stejnou délku). V tomto případě existují dva cohomologicky odlišné česání; všechny ostatní jsou lineární kombinace. Z toho zejména vyplývá, že první Betti číslo a 2-torus je dva. Obecněji řečeno, na ${ displaystyle n}$-rozměrný torus ${ displaystyle T ^ {n}}$, lze zvážit různá česání ${ displaystyle k}$-formy na torusu. Existují ${ displaystyle n}$ Vybrat ${ displaystyle k}$ takové kombinace, které lze použít k vytvoření základních vektorů pro ${ displaystyle H _ { text {dR}} ^ {k} (T ^ {n})}$; the ${ displaystyle k}$-té číslo Betti pro kohomologickou skupinu de Rham pro ${ displaystyle n}$-torus je tedy ${ displaystyle n}$ Vybrat ${ displaystyle k}$.

Přesněji řečeno, pro diferenciální potrubí M, jeden může vybavit nějaké pomocné Riemannova metrika. Pak Laplacian ${ displaystyle Delta}$ je definováno

${ displaystyle Delta = d delta + delta d}$

s ${ displaystyle d}$ the vnější derivace a ${ displaystyle delta}$ the codifferential. Laplacian je homogenní (v známkování ) lineární operátor diferenciálu působící na vnější algebra z diferenciální formy: můžeme se podívat na jeho působení na každou složku stupně ${ displaystyle k}$ odděleně.

Li ${ displaystyle M}$ je kompaktní a orientované, dimenze z jádro Laplaciana působícího na prostoru k-formuláře je pak stejné (o Hodgeova teorie ) do stupně de Rhamovy kohomologické skupiny ${ displaystyle k}$: Laplacian vybírá jedinečný harmonický formulář v každé třídě kohomologie uzavřené formy. Zejména prostor všech harmonických ${ displaystyle k}$-formuje se ${ displaystyle M}$ je izomorfní s ${ displaystyle H ^ {k} (M; mathbb {R}).}$ Rozměr každého takového prostoru je konečný a je dán znakem ${ displaystyle k}$-th Betti číslo.

Hodgeův rozklad

Nechat ${ displaystyle M}$ být kompaktní orientované Riemannovo potrubí. The Hodgeův rozklad uvádí, že jakýkoli ${ displaystyle k}$-formovat dál ${ displaystyle M}$ jednoznačně se rozdělí na součet tří L² komponenty:

${ displaystyle omega = alpha + beta + gamma,}$

kde ${ displaystyle alpha}$ je přesný, ${ displaystyle beta}$ je co-přesný, a ${ displaystyle gamma}$ je harmonický.

Jeden říká, že forma ${ displaystyle beta}$ je společně uzavřeno, pokud ${ displaystyle delta beta = 0}$ a co-přesný pokud ${ displaystyle beta = delta eta}$ pro nějakou formu ${ displaystyle eta}$, a to ${ displaystyle gamma}$ je harmonická, pokud je Laplacian nula, ${ displaystyle Delta gamma = 0}$. Z toho vyplývá, že přesné a co-přesné tvary jsou ortogonální; ortogonální doplněk se potom skládá z forem, které jsou uzavřené i společně uzavřené: tj. z harmonických forem. Zde je ortogonalita definována s ohledem na L² vnitřní produkt na ${ displaystyle Omega ^ {k} (M)}$:

${ displaystyle ( alpha, beta) = int _ {M} alpha klín { star beta}.}$

Použitím Sobolevovy prostory nebo distribuce, rozklad lze rozšířit například na kompletní (orientovaný nebo neorientovaný) Riemannovo potrubí.^[2]

Viz také

• Hodgeova teorie
• Integrace podél vláken (pro de Rham cohomology, tlačit kupředu darováno integrace )

Reference

• Bott, Raoul; Tu, Loring W. (1982), Diferenciální formy v algebraické topologii, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90613-3
• Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1994), Principy algebraické geometrie, Wiley Classics Library, New York: John Wiley & Sons, ISBN  978-0-471-05059-9, PAN  1288523
• Warner, Frank (1983), Základy diferencovatelných potrubí a ležových skupin, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-90894-6

Charakteristický

externí odkazy

• Idea De Rhamovy kohomologie v Mathifold Project
• „De Rhamova kohomologie“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]