Frobenius algebra - Frobenius algebra

v matematika, zejména v oblastech teorie reprezentace a teorie modulů, a Frobenius algebra je konečně-dimenzionální unital asociativní algebra se zvláštním druhem bilineární forma což dává algebrám obzvláště pěkné teorie duality. Frobeniusovy algebry začaly studovat ve 30. letech 20. století Richard Brauer a Cecil Nesbitt a byly pojmenovány po Ferdinand Frobenius. Tadashi Nakayama objevil počátky bohaté teorie duality (Nakayama 1939 ), (Nakayama 1941 ). Jean Dieudonné toto použil k charakterizaci Frobenius algebry (Dieudonné 1958 ). Frobeniusovy algebry byly zobecněny na kvazi-Frobeniovy prsteny, ty Noetherian prsteny jehož právo pravidelné zastoupení je injekční. V poslední době byl obnoven zájem o Frobeniově algebry kvůli připojení k topologická kvantová teorie pole.

Definice

Konečně-dimenzionální, jednotný, asociativní algebra A definované nad a pole k se říká, že je Frobenius algebra -li A je vybaven a nedgenerovaná bilineární forma σ:A × A → k který splňuje následující rovnici: σ(A·b,C)=σ(A,b·C). Tato bilineární forma se nazývá Frobeniova forma algebry.

Ekvivalentně lze vybavit A s lineární funkční λ : A → k takové, že jádro z λ neobsahuje žádné nenulové hodnoty ideál z A.

Frobeniova algebra se nazývá symetrický -li σ je symetrický nebo ekvivalentně λ splňuje λ(A·b) = λ(b·A).

Existuje také odlišná, většinou nesouvisející představa symetrická algebra a vektorový prostor.

Příklady

1. Žádný maticová algebra definované přes pole k je Frobeniova algebra s Frobeniovou formou σ(A,b) = tr (A·b) kde tr označuje stopa.
2. Jakákoli konečně-dimenzionální jednotná asociativní algebra A má přirozený homomorfismus s vlastním prstenem endomorfismu Konec (A). Lze definovat bilineární formu A ve smyslu předchozího příkladu. Pokud je tato bilineární forma nedgenerativní, pak se vybaví A se strukturou Frobeniovy algebry.
3. Každý skupinové vyzvánění a konečná skupina nad polem je Frobeniova algebra s Frobeniovou formou σ(A,b) koeficient prvku identity v A·b. Toto je zvláštní případ z příkladu 2.
4. Pro pole k, čtyřrozměrný k-algebra k[X,y]/ (X², y²) je Frobeniova algebra. To vyplývá z charakterizace komutativních místních Frobeniových prstenů níže, protože tento prsten je lokálním prstencem s jeho maximálním ideálem generovaným X a ya jedinečný minimální ideál generovaný xy.
5. Pro pole k, trojrozměrný k-algebra A=k[X,y]/ (X, y)² je ne Frobeniova algebra. The A homomorfismus z xA do A vyvolané X ↦ y nelze rozšířit na A homomorfismus z A do A, což ukazuje, že prsten není samoinjektivní, tedy ani Frobenius.
6. Libovolný konečný rozměr Hopfova algebra, větou Larson-Sweedler z roku 1969 o Hopfových modulech a integrálech.

Vlastnosti

• The přímý produkt a tenzorový produkt Frobenius algebry jsou Frobenius algebry.
• Konečně-dimenzionální komutativní místní algebra nad polem je Frobenius právě tehdy, pokud je správná běžný modul je injektivní, právě když má algebra jedinečný minimální ideální.
• Komutativní místní Frobeniovy algebry jsou přesně tím nulový rozměr místní Gorensteinovy ​​prsteny obsahující jejich zbytkové pole a konečně-dimenzionální nad ním.
• Frobeniusovy algebry jsou kvazi-Frobeniovy prsteny, a zejména jsou vlevo a vpravo Artinian a vlevo a vpravo sebevražedný.
• Pro pole kkonečně-dimenzionální, unital, asociativní algebra je Frobenius právě tehdy, když injekční že jo A-modul Hom_k(A,k) je izomorfní vpravo pravidelné zastoupení z A.
• Pro nekonečné pole k, konečně-dimenzionální, unitiální, asociativní k-algebra je Frobeniova algebra, pokud má pouze konečně mnoho minim správné ideály.
• Li F je konečně-dimenzionální pole rozšíření z k, pak konečně-dimenzionální F-algebra je přirozeně konečně-dimenzionální k-algebra přes omezení skalárů a je Frobenius F-algebra, právě když je to Frobenius k-algebra. Jinými slovy, vlastnost Frobenius nezávisí na poli, pokud algebra zůstává konečněrozměrnou algebrou.
• Podobně, pokud F je konečně-dimenzionální pole rozšíření k, pak každý k-algebra A přirozeně vzniká a F algebra, F ⊗_k A, a A je Frobenius k-algebra právě tehdy F ⊗_k A je Frobenius F-algebra.
• Mezi těmi konečně-dimenzionálními, unitálními, asociativními algebrami, jejichž správné pravidelné zobrazení je injektivní, jsou Frobeniovy A jsou přesně ti, jejichž jednoduché moduly M mají stejný rozměr jako jejich A-duals, Hom_A(M,A). Mezi tyto algebry patří A-druhy jednoduchých modulů jsou vždy jednoduché.

Kategorie-teoretická definice

v teorie kategorií, pojem Objekt Frobenius je abstraktní definice Frobeniovy algebry v kategorii. Objekt Frobenius ${ displaystyle (A, mu, eta, delta, varepsilon)}$ v monoidní kategorie ${ displaystyle (C, otimes, I)}$ sestává z objektu A z C spolu se čtyřmi morfismy

${ displaystyle mu: A otimes A to A, qquad eta: I to A, qquad delta: A to A otimes A qquad mathrm {a} qquad varepsilon: A do I}$

takhle

• ${ displaystyle (A, mu, eta) ,}$ je monoidní objekt v C,
• ${ displaystyle (A, delta, varepsilon)}$ je komonoidní objekt v C,
• diagramy

a

dojíždět (pro jednoduchost jsou zde uvedeny diagramy pro případ monoidní kategorie C je přísný) a jsou známy jako Frobeniovy podmínky.^[1]

Kompaktnější je Frobeniova algebra v C je takzvaný Frobenius monoidální funktor A:1 → C, kde 1 je kategorie skládající se z jednoho objektu a jedné šipky.

Frobeniova algebra se nazývá izometrické nebo speciální -li ${ displaystyle mu circ delta = mathrm {Id} _ {A}}$.

Aplikace

Frobeniusovy algebry byly původně studovány v rámci vyšetřování teorie reprezentace konečných grup, a přispěli ke studiu teorie čísel, algebraická geometrie, a kombinatorika. Byly použity ke studiu Hopfovy algebry, teorie kódování, a cohomologické kroužky z kompaktní orientované rozdělovače.

Topologické kvantové teorie pole

Produkt a koprodukt na Frobeniově algebře lze interpretovat jako funktor (1 + 1) -dimenzionální topologická kvantová teorie pole, aplikováno na a pár kalhot.

V poslední době bylo vidět, že hrají důležitou roli v algebraické léčbě a axiomatickém základu topologická kvantová teorie pole. Komutativní Frobeniova algebra určuje jednoznačně (až do izomorfismu) a (1 + 1) -dimenzionální TQFT. Přesněji řečeno kategorie komutativního Frobeniuse K.-algebry jsou ekvivalent do kategorie symetrické silné monoidální funktory od 2-Cob (kategorie 2-dimenzionální cobordismů mezi 1-dimenzionálními potrubími) až Vect_K. (kategorie vektorové prostory přes K.).

Korespondence mezi TQFT a Frobeniusovými algebrami je uvedena následovně:

• Jednorozměrné potrubí jsou disjunktní svazky kruhů: TQFT spojuje vektorový prostor s kruhem a tenzorový produkt vektorových prostorů s disjunktním spojením kruhů,
• TQFT sdružuje (funkčně) s každým cobordismem mezi varietami mapu mezi vektorovými prostory,
• mapa spojená s a pár kalhot (cobordism mezi 1 kruhem a 2 kruhy) poskytuje mapu produktu PROTI ⊗ PROTI → PROTI nebo mapu koproduktu PROTI → PROTI ⊗ PROTI, v závislosti na tom, jak jsou hraniční složky seskupeny - což je komutativní nebo kooperativní, a
• mapa přidružená k disku dává počet (stopu) nebo jednotku (skaláry), v závislosti na seskupení hranice.

Tento vztah mezi Frobenius-algebrami a (1 + 1) -dimenzionálními TQFT lze použít k vysvětlení Khovanovova kategorizace z Jonesův polynom.^[2][3]

Zevšeobecnění: rozšíření Frobenius

Nechat B být podřetězcem sdílejícím prvek identity unitálního asociativního kruhu A. Toto se také nazývá prodloužení prstence A | B. Takové prodloužení prstence se nazývá Frobenius -li

• Existuje lineární mapování E: A → B splňující podmínku bimodulu E (bac) = bE (a) c pro všechny před naším letopočtem ∈ B a A ∈ A.
• V prvku jsou prvky A označeno ${ displaystyle {x_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$ a ${ displaystyle {y_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$ takové, že pro všechny A ∈ A my máme:

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} E (ax_ {i}) y_ {i} = a = sum _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} E (y_ {i }A)}$

Mapa E je někdy označován jako Frobeniův homomorfismus a prvky ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ jako dvojité základny. (Jako cvičení je možné uvést ekvivalentní definici rozšíření Frobenius jako objekt Frobenius algebra-uhlíkbra v kategorii B-B-bimoduly, kde právě zadané rovnice se stanou rovnicemi počtu pro počet E.)

Například Frobeniova algebra A přes komutativní kruh K., s asociativní nedegenerovanou bilineární formou (-, -) a projektivními K-bázemi ${ displaystyle x_ {i}, y_ {i}}$ je rozšíření Frobenius A | K. s E (a) = (A, 1). Dalšími příklady rozšíření Frobenius jsou páry skupinových algeber přidružených k podskupině konečného indexu, Hopfovy podalgebry polojednodušé Hopfovy algebry, rozšíření Galois a určité von Neumannovy algebrické dílčí faktory konečného indexu. Dalším zdrojem příkladů rozšíření Frobenius (a zkroucených verzí) jsou určité páry alalbry Frobeniusovy algebry, kde je subalgebra stabilizována symetrizujícím automatorfismem overalgebry.

Podrobnosti o skupinové vyzvánění příkladem je následující aplikace elementárních pojmů v teorie skupin. Nechat G být skupinou a H podskupina konečného indexu n v G; nechat G₁, ..., G_n. být ponecháni zástupci cosetu G je disjunktní spojení kosetů G₁H, ..., G_nH. Přes libovolný komutativní základní kruh k definujte skupinové algebry A = kg] a B = k [H], tak B je subalgebra A. Definujte Frobeniový homomorfismus E: A → B necháním E (h) = h pro všechny h v H, a Např) = 0 pro G ne v H : rozšířit toto lineárně z prvků základní skupiny na všechny A, takže jeden získá B-B-bimodulární projekce

${ displaystyle E left ( sum _ {g in G} n_ {g} g right) = sum _ {h in H} n_ {h} h { text {for}} n_ {g} v k}$

(Podmínka ortonormality ${ displaystyle E (g_ {i} ^ {- 1} g_ {j}) = delta _ {ij} 1}$ následuje.) Dvojí základna je dána vztahem ${ displaystyle x_ {i} = g_ {i}, y_ {i} = g_ {i} ^ {- 1}}$, od té doby

${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} g_ {i} E (g_ {i} ^ {- 1} sum _ {g v G} n_ {g} g) = sum _ { i} součet _ {h v H} n_ {g_ {i} h} g_ {i} h = součet _ {g v G} n_ {g} g}$

Další duální duální rovnice může být odvozena z pozorování, že G je také disjunktní spojení správných kosetů ${ displaystyle Hg_ {1} ^ {- 1}, ldots, Hg_ {n} ^ {- 1}}$.

Také Hopf-Galoisovy rozšíření jsou Frobeniovy rozšíření podle věty Kreimera a Takeuchiho z roku 1989. Jednoduchým příkladem je konečná skupina G působením automorfismů na algebru A s subalgebrou invariants:

${ displaystyle B = {x v A | celkem g v G, g (x) = x }.}$

Dle DeMeyerova kritéria A je G-Galois skončil B pokud existují prvky ${ displaystyle {a_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}, {b_ {i} } _ {i = 1} ^ {n}}$ v A uspokojující:

${ displaystyle forall g in G: součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} g (b_ {i}) = delta _ {g, 1_ {G}} 1_ {A }}$

odkud také

${ displaystyle forall g in G: součet _ {i = 1} ^ {n} g (a_ {i}) b_ {i} = delta _ {g, 1_ {G}} 1_ {A }.}$

Pak A je rozšíření Frobenius B s E: A → B definován

${ displaystyle E (a) = součet _ {g v G} g (a)}$

který uspokojuje

${ displaystyle forall x in A: součet _ {i = 1} ^ {n} E (xa_ {i}) b_ {i} = x = součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} E (b_ {i} x).}$

(Dále příklad a oddělitelná algebra prodloužení od ${ displaystyle e = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} další _ {B} b_ {i}}$ je oddělovací prvek uspokojivý ea = ae pro všechny A v A stejně jako ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} b_ {i} = 1}$. Také příklad a hloubka dva podřetězce (B v A) od té doby

${ displaystyle a otimes _ {B} 1 = součet _ {g v G} t_ {g} g (a)}$

kde

${ displaystyle t_ {g} = součet _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} další _ {B} g (b_ {i})}$

pro každého G v G a A v A.)

Rozšíření Frobenius mají dobře rozvinutou teorii indukovaných reprezentací zkoumanou v novinách Kasch a Pareigis, Nakayama a Tzuzuku v 50. a 60. letech. Například pro každého B-modul Mindukovaný modul A ⊗_B M (li M je levý modul) a společně indukovaný modul Hom_B(A, M) jsou přirozeně izomorfní jako A-moduly (jako cvičení definuje daný izomorfismus E a duální základny). Věta o endomorfismu prstence Kasche z roku 1960 uvádí, že pokud A | B je rozšíření Frobenius, pak také je A → Konec (A_B) kde je mapování dáno A ↦ λ_A(X) a λ_A(x) = sekera pro každého sekera ∈ A. Věty endemorfismu a konverze prstenů byly později zkoumány Muellerem, Moritou, Onoderou a dalšími.

Viz také

Reference

• Brauer, R.; Nesbitt, C. (1937), „O pravidelných reprezentacích algeber.“, Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 23 (4): 236–240, Bibcode:1937PNAS ... 23..236B, doi:10.1073 / pnas.23.4.236, PMC  1076908, PMID  16588158
• DeMeyer, F., Ingraham, E. (1971), Oddělitelné algebry nad komutativními kroužky, Přednáška. Notes Math 181, Springer
• Dieudonné, Jean (1958), „Poznámky k kvazi-Frobeniově prstenům“, Illinois Journal of Mathematics, 2 (3): 346–354, doi:10.1215 / ijm / 1255454538, ISSN  0019-2082, PAN  0097427
• Frobenius, Ferdinand Georg (1903), „Theorie der hyperkomplexen Größen I“, Sitzungsberichte der Preussischen Akademie der Wissenschaften (v němčině): 504–537, JFM  34.0238.02
• Kock, Joachim (2003), Frobeniusovy algebry a 2D topologické kvantové teorie pole, Studentské texty London Mathematical Society, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN  978-0-521-83267-0
• Lam, T. Y. (1999), Přednášky o modulech a kroužcích„Absolventské texty z matematiky č. 189, Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98428-5
• Lurie, Jacob, O klasifikaci topologických polních teorií (PDF)
• Nakayama, Tadasi (1939), "On Frobeniusean algebras. I", Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 40 (3): 611–633, doi:10.2307/1968946, JSTOR  1968946, PAN  0000016
• Nakayama, Tadasi (1941), "On Frobeniusean algebras. II", Annals of Mathematics, Druhá série, Annals of Mathematics, 42 (1): 1–21, doi:10.2307/1968984, hdl:10338.dmlcz / 140501, JSTOR  1968984, PAN  0004237
• Nesbitt, C. (1938), „O pravidelných reprezentacích algeber“, Annals of Mathematics, Druhá série, 39 (3): 634–658, doi:10.2307/1968639, ISSN  0003-486X, JSTOR  1968639, PAN  1503429, PMC  1076908, PMID  16588158
• Onodera, T. (1964), „Některé studie o projektivních rozšířeních Frobenius“, Hokkaido Univ. Ser. 1, 18 (1–2): 89–107, doi:10,14492 / hokmj / 1530691549

externí odkazy

• Ross Street, Frobeniusovy algebry a monoidní kategorie