Ext funktor - Ext functor - Wikipedia

v matematika, Ext funktory jsou odvozené funktory z Hom funktor. Spolu s Tor funktor, Ext je jedním z hlavních konceptů homologická algebra, ve kterém nápady z algebraická topologie se používají k definování invarianty algebraických struktur. The kohomologie skupin, Lež algebry, a asociativní algebry vše lze definovat v termínech Ext. Název pochází ze skutečnosti, že první skupina Ext Ext¹ klasifikuje rozšíření jednoho modul jiným.

Ve zvláštním případě abelianské skupiny, Ext představil Reinhold Baer (1934). Pojmenoval ji Samuel Eilenberg a Saunders MacLane (1942) a aplikován na topologii ( věta o univerzálním koeficientu pro cohomologii ). U modulů přes jakýkoli prsten, Ext byl definován Henri Cartan a Eilenberg ve své knize z roku 1956 Homologická algebra.^[1]

Definice

Nechat R být prsten a nechat R-Mod být kategorie více modulů R. (Lze to chápat tak, že znamená buď vlevo R- moduly nebo vpravo R-moduly.) Pro pevné R-modul A, nechť T(B) = Hom_R(A, B) pro B v R-Mod. (Tady Hom_R(A, B) je abelianská skupina R-lineární mapy z A na B; tohle je R-modul, pokud R je komutativní.) Toto je levý přesný funktor z R-Mod do kategorie abelianských skupin Ab, a tak to má pravdu odvozené funktory RⁱT. Skupiny Ext jsou abelianské skupiny definované

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} T) (B),}$

pro celé číslo i. Podle definice to znamená: vezměte si jakékoli injektivní řešení

${ displaystyle 0 to B to I ^ {0} to I ^ {1} to cdots,}$

odstraňte termín Ba tvoří komplex řetězců:

${ displaystyle 0 to operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {0}) to operatorname {Hom} _ {R} (A, I ^ {1}) to cdots.}$

Pro každé celé číslo i, Extⁱ
_R(A, B) je kohomologie tohoto komplexu na pozici i. Je to nula pro i záporný. Například Ext⁰
_R(A, B) je jádro mapy Hom_R(A, Já⁰) → Hom_R(A, Já¹), který je izomorfní do Hom_R(A, B).

Alternativní definice používá funktor G(A) = Hom_R(A, B), pro pevné R-modul B. Tohle je protikladný funktor, na který lze nahlížet jako na levý přesný funktor z opačná kategorie (R-Mod)^op Ab. Skupiny Ext jsou definovány jako správné odvozené funktory RⁱG:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) = (R ^ {i} G) (A).}$

To znamená, že si vyberete libovolné projektivní rozlišení

${ displaystyle cdots na P_ {1} na P_ {0} na A na 0,}$

odstraňte termín Aa tvoří komplex cochain:

${ displaystyle 0 to operatorname {Hom} _ {R} (P_ {0}, B) to operatorname {Hom} _ {R} (P_ {1}, B) to cdots.}$

Dalšíⁱ
_R(A, B) je cohomologie tohoto komplexu v poloze i.

Cartan a Eilenberg ukázali, že tyto konstrukce jsou nezávislé na volbě projektivního nebo injektivního rozlišení a že obě konstrukce poskytují stejné skupiny Ext.^[2] Navíc pro pevný prsten R, Ext je funktor v každé proměnné (v kontrastu s A, kovariantní v B).

Pro komutativní prsten R a R- moduly A a B, Extⁱ
_R(A, B) je R-modul (pomocí toho Hom_R(A, B) je R-modul v tomto případě). Pro nekomutativní prsten R, Extⁱ
_R(A, B) je obecně pouze abelianská skupina. Li R je algebra přes prsten S (což znamená zejména to S je komutativní), poté Extⁱ
_R(A, B) je alespoň S-modul.

Vlastnosti Ext

Zde jsou některé základní vlastnosti a výpočty skupin Ext.^[3]

• Ext⁰
  _R(A, B) ≅ Hom_R(A, B) pro všechny R- moduly A a B.

• Extⁱ
  _R(A, B) = 0 pro všechny i > 0, pokud R-modul A je projektivní (například, volný, uvolnit ) nebo když B je injekční.

• Konverze také drží:
  • Pokud Ext¹
    _R(A, B) = 0 pro všechny B, pak A je projektivní (a tedy Extⁱ
    _R(A, B) = 0 pro všechny i > 0).
  • Pokud Ext¹
    _R(A, B) = 0 pro všechny A, pak B je injekční (a tedy Extⁱ
    _R(A, B) = 0 pro všechny i > 0).

• ${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z}} ^ {i} (A, B) = 0}$ pro všechny i ≥ 2 a všechny abelianské skupiny A a B.^[4]

• Li R je komutativní prsten a u v R není nulový dělitel, pak

${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (R / (u), B) cong { begin {případů} B [u] & i = 0 B / uB & i = 1 0 & { text {jinak,}} end {případy}}}$

pro všechny R-modul B. Tady B[u] označuje upodskupina torzů B, {X ∈ B: ux = 0}. Brát R být prstenem ${ displaystyle mathbb {Z}}$ celých čísel lze tento výpočet použít k výpočtu ${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z}} ^ {1} (A, B)}$ pro všechny konečně generovaná abelianská skupina A.

• Zobecněním předchozího příkladu lze vypočítat skupiny Ext, když je první modul kvocientem komutativního kruhu jakýmkoli pravidelná sekvence, za použití Koszul komplex.^[5] Například pokud R je polynomiální kruh k[X₁,...,X_n] nad polem k, další^*
  _R(k,k) je vnější algebra S přes k na n generátory v ext¹. Navíc, Ext^*
  _S(k,k) je polynomický kruh R; toto je příklad Koszulská dualita.

• Podle obecných vlastností odvozených funktorů existují dvě základní přesné sekvence pro Ext.^[6] Nejprve, a krátká přesná sekvence 0 → K. → L → M → 0 z R-modules indukuje dlouhou přesnou sekvenci formy

${ displaystyle 0 to mathrm {Hom} _ {R} (A, K) to mathrm {Hom} _ {R} (A, L) to mathrm {Hom} _ {R} (A, M) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, K) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (A, L) to cdots,}$

pro všechny R-modul A. Také krátká přesná sekvence 0 → K. → L → M → 0 indukuje dlouhou přesnou sekvenci formuláře

${ displaystyle 0 to mathrm {Hom} _ {R} (M, B) to mathrm {Hom} _ {R} (L, B) to mathrm {Hom} _ {R} (K, B) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (M, B) to mathrm {Ext} _ {R} ^ {1} (L, B) to cdots,}$

pro všechny R-modul B.

• Ext bere přímé částky (možná nekonečný) v první proměnné a produkty ve druhé proměnné k produktům.^[7] To je:

${ displaystyle { begin {aligned} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} left ( bigoplus _ { alpha} M _ { alpha}, N right) & cong prod _ { alpha} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M _ { alpha}, N) operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} left (M, prod _ { alpha } N _ { alpha} right) & cong prod _ { alpha} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (M, N _ { alpha}) end {zarovnáno}}}$

• Nechat A být konečně vygenerovaným modulem přes komutativní Noetherian ring R. Potom Ext dojíždí s lokalizace, v tom smyslu, že pro každého multiplikativně uzavřená množina S v R, každý R-modul Ba každé celé číslo i,^[8]

${ displaystyle S ^ {- 1} operatorname {Ext} _ {R} ^ {i} (A, B) cong operatorname {Ext} _ {S ^ {- 1} R} ^ {i} vlevo (S ^ {- 1} A, S ^ {- 1} B vpravo).}$

Ext a rozšíření

Rovnocennost rozšíření

Skupiny Ext odvozují svůj název od svého vztahu k rozšíření modulů. Dáno R- moduly A a B, an rozšíření A podle B je krátká přesná sekvence R- moduly

${ displaystyle 0 až B až E až A až 0,}$

Dvě rozšíření

${ displaystyle 0 až B až E až A až 0}$

${ displaystyle 0 až B až E ' až A až 0}$

se říká, že jsou ekvivalent (jako rozšíření A podle B) pokud existuje komutativní diagram:

Všimněte si, že Pět lemmat znamená, že prostřední šipka je izomorfismus. Rozšíření A podle B je nazýván rozdělit pokud je ekvivalentní s triviální rozšíření

${ displaystyle 0 k B k A oplus B k A k 0.}$

Existuje vzájemná korespondence třídy ekvivalence rozšíření A podle B a prvky Ext¹
_R(A, B).^[9] Triviální rozšíření odpovídá nulovému prvku Ext¹
_R(A, B).

Baerův součet rozšíření

The Baerova suma je explicitní popis struktury skupiny abelian na Ext¹
_R(A, B), viděný jako soubor tříd ekvivalence rozšíření A podle B.^[10] Jmenovitě, vzhledem ke dvěma příponám

${ displaystyle 0 to B { xrightarrow [{f}] {}} E { xrightarrow [{g}] {}} A až 0}$

a

${ displaystyle 0 to B { xrightarrow [{f '}] {}} E' { xrightarrow [{g '}] {}} A na 0,}$

první forma zarazit přes ${ displaystyle A}$,

${ displaystyle Gamma = left {(e, e ') v E oplus E' ; | ; g (e) = g '(e') vpravo }.}$

Poté vytvořte kvocientový modul

${ displaystyle Y = Gamma / {(f (b), - f '(b)) ; | ; b v B }.}$

Baerova součet E a E' je rozšíření

${ displaystyle 0 až B až Y až A až 0,}$

kde je první mapa ${ displaystyle b mapsto [(f (b), 0)] = [(0, f '(b))]}$ a druhý je ${ displaystyle (e, e ') mapsto g (e) = g' (e ')}$.

Až do ekvivalence rozšíření, Baerova suma je komutativní a má triviální rozšíření jako prvek identity. Záporná přípona 0 → B → E → A → 0 je rozšíření zahrnující stejný modul E, ale s homomorfismem E → A nahrazeno jeho záporem.

Konstrukce Ext v abelianských kategoriích

Nobuo Yoneda definoval abelianské skupiny Extⁿ
_C(A, B) pro objekty A a B v každém abelianská kategorie C; to souhlasí s definicí, pokud jde o usnesení, pokud C má dost projektantů nebo dost injekcí. Nejprve Ext⁰
_C(A,B) = Hom_C(A, B). Dále, Ext¹
_C(A, B) je sada tříd ekvivalence rozšíření A podle B, tvořící abelianskou skupinu pod Baerovou sumou. Nakonec vyšší Ext skupiny Extⁿ
_C(A, B) jsou definovány jako třídy ekvivalence n-rozšíření, což jsou přesné sekvence

${ displaystyle 0 až B až X_ {n} až cdots až X_ {1} až A až 0,}$

pod vztah ekvivalence generováno relací, která identifikuje dvě přípony

${ displaystyle { begin {zarovnáno} xi: 0 & to B to X_ {n} to cdots to X_ {1} to A to 0 xi ': 0 & to B to X '_ {n} to cdots to X' _ {1} to A to 0 end {aligned}}}$

pokud existují mapy ${ displaystyle X_ {m} až X '_ {m}}$ pro všechny m za {1, 2, ..., n} takže každý výsledek náměstí dojíždí, tj. pokud existuje řetězová mapa ξ → ξ 'což je identita A a B.

Baerova součet dvou n-extensions jak je uvedeno výše je vytvořen letováním ${ displaystyle X '' _ {1}}$ být zarazit z ${ displaystyle X_ {1}}$ a ${ displaystyle X '_ {1}}$ přes A, a ${ displaystyle X '' _ {n}}$ být vystrčit z ${ displaystyle X_ {n}}$ a ${ displaystyle X '_ {n}}$ pod B.^[11] Pak je Baerova součet rozšíření

${ displaystyle 0 až B až X '_ {n} až X_ {n-1} oplus X' _ {n-1} až cdots až X_ {2} oplus X '_ { 2} to X '_ _ 1 {} A to 0.}$

Odvozená kategorie a produkt Yoneda

Důležitým bodem je, že Ext skupiny v abelianské kategorii C lze zobrazit jako sady morfismů v kategorii přidružené k C, odvozená kategorie D(C).^[12] Objekty odvozené kategorie jsou komplexy objektů v C. Konkrétně jeden má

${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {i} (A, B) = operatorname {Hom} _ {D ({ mathbf {C}})}} (A, B [i ]),}$

kde předmět C je považován za komplex koncentrovaný v nulovém stupni a [i] znamená posunutí komplexu i kroky doleva. Z této interpretace vyplývá a bilineární mapa, někdy nazývané Produkt Yoneda:

${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {i} (A, B) times operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {j} (B, C) na operatorname {Ext} _ { mathbf {C}} ^ {i + j} (A, C),}$

což je jednoduše složení morfismů v odvozené kategorii.

Produkt Yoneda lze také popsat elementárněji. Pro i = j = 0, výsledkem je složení map v dané kategorii C. Obecně lze produkt definovat spojením dvou rozšíření Yoneda.

Alternativně lze produkt Yoneda definovat z hlediska rozlišení. (Toto se blíží definici odvozené kategorie.) Například let R být prsten, s R- moduly A, B, Ca nechte P, Q, a T být projektivní rozlišení A, B, C. Dalšíⁱ
_R(A,B) lze identifikovat se skupinou řetězová homotopie třídy řetězových map P → Q[i]. Produkt Yoneda je dán složením řetězových map:

${ displaystyle P až Q [i] až T [i + j].}$

Podle kterékoli z těchto interpretací je produkt Yoneda asociativní. Jako výsledek, ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$ je odstupňovaný prsten, pro všechny R-modul A. Tím se například zapne struktura prstenu skupinová kohomologie ${ displaystyle H ^ {*} (G, mathbb {Z}),}$ protože toto lze zobrazit jako ${ displaystyle operatorname {Ext} _ { mathbb {Z} [G]} ^ {*} ( mathbb {Z}, mathbb {Z})}$. Také asociativitou produktu Yoneda: pro všechny R- moduly A a B, ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, B)}$ je modul u konce ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (A, A)}$.

Důležité zvláštní případy

• Skupinová kohomologie je definováno ${ displaystyle H ^ {*} (G, M) = operatorname {Ext} _ { mathbb {Z} [G]} ^ {*} ( mathbb {Z}, M)}$, kde G je skupina, M je zastoupení z G přes celá čísla a ${ displaystyle mathbb {Z} [G]}$ je skupinové vyzvánění z G.

• Pro algebra A přes pole k a A-bimodul M, Hochschildova kohomologie je definováno

${ displaystyle HH ^ {*} (A, M) = operatorname {Ext} _ {A otimes _ {k} A ^ { text {op}}} ^ {*} (A, M).}$

• Cohomologie lže algebry je definováno ${ displaystyle H ^ {*} ({ mathfrak {g}}, M) = operatorname {Ext} _ {U { mathfrak {g}}} ^ {*} (k, M)}$, kde ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$ je Lež algebra přes komutativní kruh k, M je ${ displaystyle { mathfrak {g}}}$-modul a ${ displaystyle U { mathfrak {g}}}$ je univerzální obalová algebra.

• Pro topologický prostor X, svazek kohomologie lze definovat jako ${ displaystyle H ^ {*} (X, A) = operatorname {Ext} ^ {*} ( mathbb {Z} _ {X}, A).}$ Zde se Ext bere v abelianské kategorii snopy abelianských skupin na X, a ${ displaystyle mathbb {Z} _ {X}}$ je svazek místně konstantní ${ displaystyle mathbb {Z}}$-hodnotené funkce.

• Pro komutativní Noetherian místní prsten R se zbytkovým polem k, ${ displaystyle operatorname {Ext} _ {R} ^ {*} (k, k)}$ je univerzální obalová algebra a klasifikovaná Lieova algebra π * (R) přes k, známý jako homotopy Lie algebra z R. (Přesněji řečeno, kdy k má charakteristický 2, π * (R) je třeba chápat jako „upravenou Lieovu algebru“.^[13]) Existuje přirozený homomorfismus odstupňovaných Lieových algeber z André – Quillenova kohomologie D*(k/R,k) až π * (R), což je izomorfismus, pokud k má charakteristickou nulu.^[14]

Viz také

• globální dimenze
• rozlišení lišty
• Grothendieckova skupina
• Grothendieck místní dualita

Poznámky

Reference

• Avramov, Luchezar (2010), „Infinite free resolutions“, Šest přednášek o komutativní algebře, Birkhäuser, s. 1–108, doi:10.1007/978-3-0346-0329-4_1, ISBN  978-3-7643-5951-5, PAN  2641236
• Baer, ​​Reinhold (1934), „Erweiterung von Gruppen und ihren Isomorphismen“, Mathematische Zeitschrift, 38 (1): 375–416, doi:10.1007 / BF01170643, Zbl  0009.01101
• Cartan, Henri; Eilenberg, Samuel (1999) [1956], Homologická algebra, Princeton: Princeton University Press, ISBN  0-691-04991-2, PAN  0077480
• Eilenberg, Samuel; MacLane, Saunders (1942), „Skupinová rozšíření a homologie“, Annals of Mathematics, 43 (4): 757–931, doi:10.2307/1968966, JSTOR  1968966, PAN  0007108
• Gelfand, Sergei I .; Manin, Jurij Ivanovič (2003), Metody homologické algebry, Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-3-662-12492-5, ISBN  978-3-540-43583-9, PAN  1950475
• Sjödin, Gunnar (1980), „Hopfovy algebry a odvozeniny“, Journal of Algebra, 64: 218–229, doi:10.1016 / 0021-8693 (80) 90143-X, PAN  0575792
• Weibel, Charles A. (1994). Úvod do homologické algebry. Cambridge studia pokročilé matematiky. 38. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-55987-4. PAN  1269324. OCLC  36131259.
• Weibel, Charles A. (1999), "Historie homologické algebry" (PDF), Historie topologie, Amsterdam: Severní Holandsko, str. 797–836, ISBN  9780444823755, PAN  1721123