Topos - Topos

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Topos“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Červenec 2015) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v matematika, a topos (Spojené království: /ˈtɒpɒs/, NÁS: /ˈtoʊpoʊs,ˈtoʊpɒs/; množný topoi /ˈtoʊpɔɪ/ nebo /ˈtɒpɔɪ/nebo klade) je kategorie která se chová jako kategorie snopy z sady na topologický prostor (nebo obecněji: na a stránky ). Topoi se chovají podobně jako kategorie sad a mají pojem lokalizace; jsou přímým zobecněním bodová topologie.^[1] The Grothendieck topoi najít aplikace v algebraická geometrie; obecnější základní topoi jsou používány v logika.

Grothendieck topoi (topoi v geometrii)

Od zavedení svazků do matematiky ve 40. letech 20. století bylo hlavním tématem studium prostoru studiem svazků na prostoru. Tuto myšlenku vysvětlil Alexander Grothendieck zavedením pojmu „topos“. Hlavní užitečnost tohoto pojmu spočívá v množství situací v matematice, kde jsou topologické heuristiky velmi účinné, ale chybí poctivý topologický prostor; někdy je možné najít topos formalizující heuristiku. Důležitým příkladem této programové myšlenky je étale topos a systém. Další ukázka schopnosti Grothendiecka vtělit „podstatu“ různých matematických situací je dána jejich použitím jako mostů pro propojení teorií, které, i když jsou psány v možná velmi odlišných jazycích, sdílejí společný matematický obsah ^{[2] [3]}.

Ekvivalentní definice

Grothendieck topos je a kategorie C který splňuje kteroukoli z následujících tří vlastností. (A teorém z Jean Giraud uvádí, že níže uvedené vlastnosti jsou ekvivalentní.)

• Tady je malá kategorie D a zařazení C ↪ Presh (D), který připouští konečný-zachování limitu vlevo adjoint.
• C je kategorie snopy na a Grothendieck stránky.
• C uspokojuje Giraudovy axiomy níže.

Tady Presh (D) označuje kategorii kontravariantní funktory z D do kategorie souprav; takový kontravariantní funktor se často nazývá a předheaf.

Giraudovy axiomy

Giraudovy axiomy pro a kategorie C jsou:

• C má malou sadu generátory, a připouští všechny malé kolimity. Dále výrobky z vláken distribuovat přes koprodukty. To je, vzhledem k sadě Já, an Já-indexované mapování koproduktu na Aa morfismus A' → A, zpětný ráz je Já-indexovaný koprodukt zpětných rázů:

${displaystyle left (coprod _ {iin I} B_ {i} ight) imes _ {A} A'cong coprod _ {iin I} (B_ {i} imes _ {A} A ')}$.

• Součty v C jsou disjunktní. Jinými slovy, vláknový produkt z X a Y nad jejich součtem je počáteční objekt v C.
• Všechno ekvivalenční vztahy v C jsou efektivní.

Poslední axiom potřebuje nejvíce vysvětlení. Li X je předmětem C„vztah ekvivalence“ R na X je mapa R → X × X v Ctakový, že pro jakýkoli objekt Y v C, vyvolaná mapa Hom (Y, R) → Hom (Y, X) × Hom (Y, X) dává běžný vztah ekvivalence na množině Hom (Y, X). Od té doby C má kolimity, které můžeme tvořit ekvalizér ze dvou map R → X; zavolej to X/R. Vztah ekvivalence je „účinný“, pokud je kanonická mapa

${displaystyle R o X imes _ {X / R} X ,!}$

je izomorfismus.

Příklady

Giraudova věta již uvádí „svazky na webech“ jako úplný seznam příkladů. Mějte však na paměti, že neekvivalentní stránky se často dávají ekvivalentním topoi. Jak je naznačeno v úvodu, svazky v běžných topologických prostorech motivují mnoho základních definic a výsledků teorie topos.

The kategorie množin je důležitý speciální případ: hraje roli bodu v teorii topos. Ve skutečnosti lze sadu považovat za svazek v jednom bodě.

Další exotické příklady a raison d'être teorie topos pochází z algebraické geometrie. Do schématu a dokonce a zásobník jeden může sdružit étale topos, an fppf topos, a Nisnevich topos ... Dalším důležitým příkladem topos je z krystalické místo.

Protiklady

Teorie toposu je v jistém smyslu zobecněním klasické topologie bodové sady. Dá se tedy očekávat, že uvidíme staré i nové instance patologické chování. Například existuje příklad kvůli Pierre Deligne netriviálního toposu, který nemá žádné body (definice bodů toposu viz níže).

Geometrické morfismy

Li X a Y jsou topoi, a geometrický morfismus u : X → Y je pár adjunkční funktory (u^∗,u_∗) (kde u^∗ : Y → X je vlevo přidružen k u_∗ : X → Y) takové, že u^∗ zachovává konečné limity. Všimněte si, že u^∗ automaticky zachovává kolimity díky správnému adjointu.

Podle Freydova adjunktní věta o funktoru, dát geometrický morfismus X → Y je dát funktor u^∗: Y → X který zachovává konečné limity a všechny malé kolimity. Geometrické morfismy mezi topoi lze tedy považovat za analogy map z národní prostředí.

Li X a Y jsou topologické prostory a u je spojitá mapa mezi nimi, pak operace zpětného rázu a dopředné operace na svazcích poskytují geometrický morfismus mezi přidruženými topoi.

Body topoi

Bod toposu X je definován jako geometrický morfismus od vrcholů množin po X.

Li X je obyčejný prostor a X je bod X, pak funktor, který vezme svazek F na jeho stopku F_X má pravý adjoint (funktor "svazek mrakodrapů"), tedy obyčejný bod X také určuje topos-teoretický bod. Ty mohou být konstruovány jako pullback-pushforward podél spojité mapy X: 1 → X.

Přesněji řečeno, to jsou globální bodů. Samy o sobě nejsou adekvátní k zobrazení vesmírného aspektu toposu, protože netriviální toposy nemusí mít žádný. Zobecněný body jsou geometrické morfismy z toposu Y (dále jen fáze definice) až X. Je jich dost pro zobrazení vesmírného aspektu. Například pokud X je klasifikace topos S[T] pro geometrickou teorii T, pak univerzální vlastnost říká, že její body jsou modely T (v jakékoli fázi definice Y).

Základní geometrické morfismy

Geometrický morfismus (u^∗,u_∗) je nezbytný -li u^∗ má další levý adjoint u_!, nebo ekvivalentně (podle věty adjunktního funktoru), pokud u^∗ zachovává nejen konečné, ale všechny malé limity.

Topoi prstencový

A zvonil topos je pár (X, R), kde X je topos a R je komutativní prstenový objekt v X. Většina staveb z prstencové mezery projděte prstencovým topoi. Kategorie R-modul objekty v X je abelianská kategorie s dostatkem injekcí. Užitečnější abelianskou kategorií je podkategorie kvazi-koherentní R-moduly: to jsou R- moduly, které umožňují prezentaci.

Další důležitou třídou prstencových topoi, kromě prstencových prostorů, jsou étale topoi Deligne – Mumford stacky.

Homotopická teorie topoi

Michael Artin a Barry Mazur spojené s webem, který je základem topos a pro-zjednodušená sada (až do homotopy ).^[4] (Je lepší zvážit to v Ho (pro-SS); viz Edwards) Použití tohoto inverzní systém z jednoduchých množin lze někdy přidružit se k homotopy neměnný v klasické topologii inverzní systém invariants v teposu topos. Studie pro-zjednodušené množiny spojené s étole topos schématu se nazývá teorie homotopy étale.^[5] V dobrých případech (pokud je schéma Noetherian a geometricky unibranch ), tato zjednodušená sada je pro-konečný.

Elementární topoi (topoi v logice)

Úvod

Tradiční axiomatický základ matematiky je teorie množin, ve kterém jsou všechny matematické objekty nakonec reprezentovány množinami (včetně funkce, které mapují mezi sadami). Novější práce v teorii kategorií umožňuje zobecnit tento základ pomocí topoi; každý topos zcela definuje svůj vlastní matematický rámec. Kategorie množin tvoří známý topos a práce v tomto toposu je ekvivalentní použití tradiční množinové teoretické matematiky. Místo toho se ale dalo pracovat s mnoha alternativními topoi. Standardní formulace axiom volby dává smysl v jakémkoli toposu a existují topoi, ve kterých je neplatný. Konstruktivisté bude mít zájem pracovat v toposu bez zákon vyloučeného prostředku. Pokud symetrie pod určitým skupina G je důležité, lze použít topos skládající se ze všeho G-sady.

Je také možné kódovat algebraická teorie, jako je teorie skupin, jako topos, ve formě a klasifikace topos. Jednotlivé modely teorie, tj. Skupiny v našem příkladu, pak odpovídají funktory z kódování topos do kategorie sad, které respektují strukturu topos.

Formální definice

Pokud se topos použije pro základovou práci, bude definován axiomaticky; teorie množin je poté považována za zvláštní případ teorie topos. V návaznosti na teorii kategorií existuje několik ekvivalentních definic toposů. Ctnost má být stručná:

Topos je kategorie, která má následující dvě vlastnosti:

• Všechno limity převzaté kategorie konečných indexů existují.
• Každý objekt má silový objekt. To hraje roli výkonová sada v teorii množin.

Formálně, a silový objekt objektu ${displaystyle X}$ je pár ${displaystyle (PX, i _ {X})}$ s ${displaystyle {i _ {X}} subseteq PX imes X}$, který klasifikuje vztahy, v následujícím smyslu. Nejprve si všimněte, že pro každý objekt ${displaystyle I}$morfismus ${displaystyle rcolon I o PX}$ („skupina podmnožin“) indukuje podobjekt ${displaystyle {(i, x) ~ | ~ xin r (i)} subseteq I imes X}$. Formálně je to definováno vytažením ${displaystyle i _ {X}}$ podél ${displaystyle r imes X: I imes X o PX imes X}$. Univerzální vlastnost mocenského objektu spočívá v tom, že každý vztah vzniká tímto způsobem a poskytuje bijektivní korespondenci mezi vztahy ${displaystyle Rsubseteq I imes X}$ a morfismy ${displaystyle rcolon I o PX}$.

To lze odvodit z konečných limitů a silových objektů

• Všechno kolimity převzaté kategorie konečných indexů existují.
• Kategorie má a klasifikátor podobjektu.
• Kategorie je Kartézská zavřená.

V některých aplikacích je role klasifikátoru podobjektu klíčová, zatímco výkonové objekty nejsou. Některé definice tedy obracejí role definovaného a odvozeného.

Logické funktory

A logický funktor je funktor mezi toposy, který zachovává konečné limity a silové objekty. Logické funktory zachovávají struktury, které má. Zejména zachovávají konečné colimity, klasifikátory podobjektů, a exponenciální objekty.^[6]

Vysvětlení

Topos, jak je definován výše, lze chápat jako kartézskou uzavřenou kategorii, pro kterou má pojem podobjektu objektu základní nebo definice prvního řádu. Tento pojem jako přirozená kategorická abstrakce pojmů podmnožina sady, podskupina skupiny a obecněji subalgebra ze všech algebraická struktura, předchází pojmu topos. Je definovatelný v jakékoli kategorii, nejen v topoi druhá objednávka jazyk, tj. pokud jde o třídy morfismů namísto jednotlivých morfismů, následovně. Vzhledem k tomu, dva monics m, n od příslušně Y a Z na X, říkáme to m ≤ n když existuje morfismus p: Y → Z pro který np = m, vyvolání a předobjednávka na monics X. Když m ≤ n a n ≤ m říkáme to m a n jsou rovnocenné. Podobjekty z X jsou výsledné třídy ekvivalence moniky k tomu.

V toposu se „podobjekt“ stává, alespoň implicitně, pojmem prvního řádu, následovně.

Jak je uvedeno výše, topos je kategorie C mít všechny konečné limity, a tedy zejména prázdný limit nebo konečný objekt 1. Je potom přirozené zacházet s morfismem formy X: 1 → X tak jako elementy X ∈ X. Morfismy F: X → Y tedy odpovídají funkcím mapujícím každý prvek X ∈ X k prvku fx ∈ Y, s aplikací realizovanou kompozicí.

Jeden by pak mohl myslet na definování podobjektu X jako třída ekvivalence monics m: X' → X mít stejné obraz { mx | X ∈ X' }. Háček je v tom, že dva nebo více morfismů může odpovídat stejné funkci, to znamená, že to nemůžeme předpokládat C je konkrétní v tom smyslu, že funktor C(1,-): C → Soubor je věrný. Například kategorie Grph z grafy a jejich přidružené homomorfismy je topos, jehož konečným objektem 1 je graf s jedním vrcholem a jednou hranou (samostatná smyčka), ale není konkrétní, protože prvky 1 → G grafu G odpovídají pouze vlastním smyčkám a nikoli ostatním hranám ani vrcholům bez samostatných smyček. Zatímco definice druhého řádu dělá G a podgraf všech vlastních smyček G (s jejich vrcholy) odlišné podobjekty G (pokud každá hrana není a každý vrchol má vlastní smyčku), tento obrazový není. To lze řešit pro příklad grafu a související příklady prostřednictvím Yoneda Lemma jak je popsáno v Další příklady níže, ale toto přestává být prvního řádu. Topoi poskytují abstraktnější, obecnější a řešení prvního řádu.

Obrázek 1. m jako odvolání obecného podobjektu t podél F.

Jak je uvedeno výše, topos C má klasifikátor podobjektu Ω, konkrétně objekt C s prvkem t ∈ Ω, obecný podobjekt z C, které mají vlastnost, že každý monic m: X' → X vzniká jako odvolání obecného podobjektu podél jedinečného morfismu F: X → Ω, jak je znázorněno na obrázku 1. Nyní je zpětná vazba moniky monická a všechny prvky včetně t jsou monics, protože z libovolného daného objektu je pouze jeden morfismus k 1, odkud je zpětná vazba t podél F: X → Ω je monická. Monics to X jsou tedy v bijekci s návraty z t podle morfismů z X na Ω. Druhé morfismy rozdělují moniky do tříd ekvivalence, z nichž každá je určena morfismem F: X → Ω, charakteristický morfismus této třídy, který považujeme za podobjekt X charakterizováno nebo pojmenováno F.

To vše platí pro jakýkoli topos, ať už konkrétní nebo ne. V konkrétním případě, konkrétně C(1, -) věrný, například kategorie množin, se situace redukuje na známé chování funkcí. Tady monics m: X' → X jsou přesně injekce (funkce jedna ku jedné) X' na X, a ti s daným obrázkem { mx | X ∈ X' } tvoří podobjekt X odpovídající morfismu F: X → Ω pro které F⁻¹(t) je ten obrázek. Moniky podobjektu budou mít obecně mnoho domén, které však budou navzájem v bijekci.

Abychom to shrnuli, tento pojem prvního řádu klasifikátoru podobjektů implicitně definuje pro topos stejný vztah ekvivalence na monics X jak bylo dříve definováno výslovně pojmem podobjekt druhého řádu pro jakoukoli kategorii. Pojem vztahu ekvivalence na třídu morfismů je sám o sobě vnitřně druhého řádu, kterému definice toposu úhledně obchází tím, že výslovně definuje pouze pojem podobjektu klasifikátor Ω, opouštějící pojem podobjektu X jako implicitní důsledek charakterizovaný (a tudíž pojmenovatelný) svým přidruženým morfismem F: X → Ω.

Další příklady

Každý topos Grothendieck je elementární topos, ale obrácení není pravdivé (protože každý tooth Grothendieck je kompletní, což se od elementárního toposu nevyžaduje).

Kategorie konečných množin, konečné G-sety (akce skupiny G na konečné množině) a konečnými grafy jsou elementární topoi, které nejsou Grothendieckovými topoi.

Li C je malá kategorie, pak kategorie funktorů Soubor^C (skládající se ze všech kovariančních funktorů z C do sad, s přirozené transformace jako morfismy) je topos. Například kategorie Grph grafů druhu umožňujícího více směrovaných hran mezi dvěma vrcholy je topos. Graf se skládá ze dvou sad, sady hran a sady vrcholů a dvou funkcí Svatý mezi těmito sadami, přiřazení ke každému okraji E jeho zdroj s(E) a cíl t(E). Grph je tedy ekvivalent do kategorie funktor Soubor^C, kde C je kategorie se dvěma objekty E a PROTI a dva morfismy Svatý: E → PROTI udávající zdroj a cíl každé hrany.

Yoneda Lemma to tvrdí C^op vloží dovnitř Soubor^C jako úplná podkategorie. V příkladu grafu představuje vložení C^op jako podkategorie Soubor^C jejichž dva objekty jsou PROTI' jako graf bez hrany jednoho vrcholu a E' jako dvouvrcholový graf s jednou hranou (oba jako funktory) a jehož dva morfismy neidentity jsou dva homomorfismy grafu z PROTI' na E' (oba jako přirozené transformace). Přirozené transformace z PROTI' na libovolný graf (funktor) G tvoří vrcholy G zatímco ti z E' na G tvoří jeho hrany. Ačkoli Soubor^C, s nimiž se můžeme ztotožnit Grph, není ani betonován PROTI' nebo E' sám, funktor U: Grph → Soubor² odesílající objekt G k dvojici sad (Grph(PROTI' ,G), Grph(E' ,G)) a morfismus h: G → H k dvojici funkcí (Grph(PROTI' ,h), Grph(E' ,h)) je věrný. To znamená, že morfismus grafů lze chápat jako a pár funkcí, jeden mapující vrcholy a druhý hrany, s aplikací stále realizovanou jako kompozice, ale nyní s několika druhy zobecněný elementy. To ukazuje, že tradiční koncept konkrétní kategorie jako kategorie, jejíž objekty mají podkladovou množinu, lze zobecnit tak, aby vyhovoval širší škále topoi tím, že umožní objektu mít více podkladových množin, tj. Být multisorted.

Viz také

• Historie teorie topos
• Homotopická hypotéza
• Intuicionistická teorie typů
• To-topos
• Quasitopos

Poznámky

Reference

Nějaké jemné papíry

• Edwards, D. A.; Hastings, H.M. (Léto 1980). „Čechova teorie: její minulost, současnost a budoucnost“. Rocky Mountain Journal of Mathematics. 10 (3): 429–468. doi:10.1216 / RMJ-1980-10-3-429. JSTOR  44236540.
• Baez, Johne. „Teorie topos v kostce“. Jemný úvod.
• Steven Vickers: "Topose pour les nuls " a "Toposes pour les vraiment nuls. "Základní a ještě elementárnější úvody k toposům jako zobecněné prostory."
• Illusie, Luc (2004). „Co je ... Topos?“ (PDF). Oznámení AMS. 51 (9): 160–1.CS1 maint: ref = harv (odkaz)

Následující texty jsou úvodem k úkolům a základy teorie kategorií. Měly by být vhodné pro ty, kteří znají malou matematickou logiku a teorii množin, dokonce i pro jiné než matematiky.

• Lawvere, F. William; Schanuel, Stephen H. (1997). Konceptuální matematika: první úvod do kategorií. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-47817-5. „Úvod do kategorií pro počítačové vědce, logiky, fyziky, lingvisty atd.“ (citováno z titulního textu).
• Lawvere, F. William; Rosebrugh, Robert (2003). Sady pro matematiku. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-01060-3. Představuje základy matematiky z kategorického hlediska.

Grothendieckova základní práce na toposules:

• Grothendieck, A.; Verdier, J.L. (1972). Théorie des Topos et Cohomologie Etale des Schémas. Přednášky z matematiky. 269. Springer. doi:10.1007 / BFb0081551. ISBN  978-3-540-37549-4. Tome 2 270 doi:10.1007 / BFb0061319 ISBN  978-3-540-37987-4

Následující monografie obsahují úvod do některé nebo všech teorií toposu, ale nezabývají se primárně začínajícími studenty. Uvedeno v (vnímaném) pořadí podle rostoucí obtížnosti.

• McLarty, Colin (1992). Základní kategorie, základní topózy. Clarendon Press. ISBN  978-0-19-158949-2. Pěkný úvod do základů teorie kategorií, teorie topos a logiky topos. Předpokládá velmi málo předpokladů.
• Goldblatt, Robert (2013) [1984]. Topoi: Kategorická analýza logiky. Courier Corporation. ISBN  978-0-486-31796-0. Dobrý začátek. K dispozici online v Domovská stránka Roberta Goldblatta.
• Bell, John L. (2001). „Vývoj kategorické logiky“. V Gabbay, D.M .; Guenthner, Franz (eds.). Příručka filozofické logiky. 12 (2. vyd.). Springer. str. 279–. ISBN  978-1-4020-3091-8. Verze k dispozici online v Domovská stránka Johna Bella.
• MacLane, Saunders; Moerdijk, Ieke (2012) [1994]. Snopy v geometrii a logice: První úvod do teorie topos. Springer. ISBN  978-1-4612-0927-0. Úplnější a obtížněji čitelné.
• Barr, Michael; Wells, Charlesi (2013) [1985]. Topózy, trojice a teorie. Springer. ISBN  978-1-4899-0023-4. (Online verze). Výstižnější než Snopy v geometrii a logice, ale tvrdý pro začátečníky.

Referenční práce pro odborníky, méně vhodné pro první uvedení

• Edwards, D. A.; Hastings, H.M. (1976). Čech a Steenrod homotopují teorie s aplikacemi na geometrickou topologii. Poznámky k přednášce v matematice. 542. Springer-Verlag. doi:10.1007 / BFb0081083. ISBN  978-3-540-38103-7.
• Borceux, Francis (1994). Příručka kategorické algebry: svazek 3, teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 52. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-44180-3. Třetí část „Borceuxova pozoruhodného opusu magnum“, jak jej označil Johnstone. Stále vhodný jako úvod, i když pro začátečníky může být těžké rozpoznat nejrelevantnější výsledky z obrovského množství poskytovaného materiálu.
• Johnstone, Peter T. (2014) [1977]. Teorie topos. Kurýr. ISBN  978-0-486-49336-7. Po dlouhou dobu standardní kompendium teorie topos. Avšak i Johnstone popisuje tuto práci jako „příliš těžko čitelnou, a ne pro slabé povahy“.
• Johnstone, Peter T. (2002). Náčrtky slona: Kompendium teorie topos. 2. Clarendon Press. ISBN  978-0-19-851598-2. Počátkem roku 2010 byly k dispozici dva z plánovaných tří svazků tohoto ohromujícího kompendia.
• Caramello, Olivia (2017). Teorie, stránky, topózy: Vztah a studium matematických teorií prostřednictvím topos-teoretických `mostů. Oxford University Press. doi:10.1093 / oso / 9780198758914.001.0001. ISBN  9780198758914.

Knihy, které se zaměřují na speciální aplikace teorie topos

• Pedicchio, Maria Cristina; Tholen, Walter; Rota, G.C., eds. (2004). Kategorické základy: Speciální témata v pořadí, topologie, algebra a teorie svazků. Encyklopedie matematiky a její aplikace. 97. Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-83414-8. Zahrnuje mnoho zajímavých speciálních aplikací.