Funktor vláken - Fiber functor - Wikipedia

v teorie kategorií, obor matematiky, a vláknový funktor je věrný k-lineární tenzorový funktor z a kategorie tenzorů do kategorie konečných rozměrů k-vektorové mezery.^[1]

Definice

A vláknový funktor (nebo vláknový funktor) je volný koncept, který má několik definic v závislosti na uvažovaném formalizmu. Jedna z hlavních počátečních motivací pro funktory vláken pochází z Teorie toposu.^[2] Připomeňme si topos je kategorie snopů na webu. Je-li web pouze jedním objektem, jako u bodu, pak jsou vrcholy bodu ekvivalentní kategorii množin, ${ displaystyle { mathfrak {Set}}}$. Pokud máme topos snopy v topologickém prostoru ${ displaystyle X}$, označeno ${ displaystyle { mathfrak {T}} (X)}$, pak dát bod ${ displaystyle a}$ v ${ displaystyle X}$ je ekvivalentní definování adjunkčních funktorů

${ displaystyle a ^ {*}: { mathfrak {T}} (X) leftrightarrows { mathfrak {Set}}: a _ {*}}$

Funktor ${ displaystyle a ^ {*}}$ pošle snop ${ displaystyle { mathfrak {F}}}$ na ${ displaystyle X}$ k jeho vláknu nad bodem ${ displaystyle a}$; to je její stonka.^[3]

Z krycích prostor

Zvažte kategorii pokrytí prostorů topologickým prostorem ${ displaystyle X}$, označeno ${ displaystyle { mathfrak {Cov}} (X)}$. Pak z bodu ${ displaystyle x v X}$ existuje vláknový funktor^[4]

${ displaystyle { text {Fib}} _ {x}: { mathfrak {Cov}} (X) do { mathfrak {Set}}}$

zaslání krycího prostoru ${ displaystyle pi: Y až X}$ na vlákno ${ displaystyle pi ^ {- 1} (x)}$. Tento funktor má automorfismy pocházející z ${ displaystyle pi _ {1} (X, x)}$ protože základní skupina působí na pokrytí prostorů v topologickém prostoru ${ displaystyle X}$. Působí zejména na scénu ${ displaystyle pi ^ {- 1} (x) podmnožina Y}$. Ve skutečnosti jsou to jediné automorfismy ${ displaystyle { text {Fib}} _ {x}}$ pocházet z ${ displaystyle pi _ {1} (X, x)}$.

S topologiemi etale

Existuje algebraický analog pokrývající prostory vycházející z Étale topologie na připojeném schématu ${ displaystyle S}$. Podkladová stránka se skládá z konečných obalů etale, které jsou konečné^[5][6] byt surjektivní morfismy ${ displaystyle X až S}$ tak, že vlákno přes každý geometrický bod ${ displaystyle s v S}$ je spektrum konečného etalu ${ displaystyle kappa (s)}$-algebra. Pro pevný geometrický bod ${ displaystyle { overline {s}}: { text {Spec}} ( Omega) to S}$, zvažte geometrické vlákno ${ displaystyle X times _ {S} { text {Spec}} ( Omega)}$ a nechte ${ displaystyle { text {Fib}} _ { overline {s}} (X)}$ být podkladovou sadou ${ displaystyle Omega}$- body. Pak,

${ displaystyle { text {Fib}} _ { overline {s}}: { mathfrak {Fet}} _ {S} do { mathfrak {sady}}}$

je vláknový funktor, kde ${ displaystyle { mathfrak {Fet}} _ {S}}$ je topos z topologie konečných etal na ${ displaystyle S}$. Ve skutečnosti je to věta o Grothendieckovi, o které se jedná o automorfismus ${ displaystyle { text {Fib}} _ { overline {s}}}$ tvoří a Nezisková skupina, označeno ${ displaystyle pi _ {1} (S, { overline {s}})}$, a vyvolat kontinuální skupinovou akci na těchto sadách konečných vláken, což dává ekvivalent mezi kryty a konečnými sadami s takovými akcemi.

Z tannakovských kategorií

Další třída funktorů vláken pochází z cohomologických realizací motivů v algebraické geometrii. Například De Rhamova kohomologie funktor ${ displaystyle H_ {dR}}$ pošle motiv ${ displaystyle M (X)}$ do jejích základních de-Rhamových kohomologických skupin ${ displaystyle H_ {dR} ^ {*} (X)}$.^[7]

Reference

Viz také

• Topos
• Étale topologie
• Motiv (algebraická geometrie)
• Anabelian geometrie

externí odkazy

• SGA 4 a SGA 4 IV
• Skupina Motivic Galois - https://web.archive.org/web/20200408142431/https://www.him.uni-bonn.de/fileadmin/him/Lecture_Notes/motivic_Galois_group.pdf

Poznámky

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.