Produkt Massey - Massey product
v algebraická topologie, Produkt Massey je cohomologická operace vyššího řádu zavedeného v (Massey 1958 ), který zobecňuje pohárový produkt. Produkt Massey vytvořil William S.Massey, americký algebraický topolog.
Trojitý produkt Massey
Nechat být prvky kohomologické algebry a diferenciálně odstupňovaná algebra . Li , produkt Massey je podmnožinou , kde .
Produkt Massey je definován algebraicky zvednutím prvků do tříd ekvivalence prvků z , přičemž vezme produkty Massey z nich a poté se pustí do kohomologie. To může vést k dobře definované třídě kohomologie nebo k neurčitosti.
Definovat být . Třída kohomologie prvku z bude označen . Trojitý produkt Massey ze tří tříd kohomologie je definován
Produkt Massey ze tří tříd kohomologie není součástí , ale soubor prvků , pravděpodobně prázdné a případně obsahující více než jeden prvek. Li mít tituly , pak má produkt Massey diplom , s vycházející z diferenciálu .
Produkt Massey je v případě produktů neprázdný a jsou oba přesné, v takovém případě jsou všechny jeho prvky ve stejném prvku skupiny kvocientů
Produkt Massey lze tedy považovat za funkci definovanou na trojnásobcích tříd tak, že produkt první nebo poslední dvě je nula, přičemž má hodnoty ve výše uvedené kvocientové skupině.
Více ležérně, pokud jsou dva párové produkty a oba zmizeli v homologii (), tj., a pro některé řetězy a , pak trojitý produkt zmizí „ze dvou různých důvodů“ - je to hranice a (od té doby a protože prvky homologie jsou cykly). Ohraničující řetězy a mají neurčitost, která zmizí, když člověk přejde k homologii, a od té doby a mají stejnou hranici, jejich odečtením (znaková konvence má správně zvládnout klasifikaci) dává kolečko (hranice rozdílu zmizí) a získá se tak dobře definovaný prvek kohomologie - tento krok je analogický k definování první homotopie nebo homologická skupina z hlediska neurčitosti v nulových homotopech / nulových homologiích n-dimenzionální mapy / řetězce.
Geometricky, v singulární kohomologie z potrubí lze produkt interpretovat dvojím způsobem, pokud jde o ohraničující potrubí a průniky Poincaré dualita: dual na cocycles jsou cykly, často reprezentovatelné jako uzavřené potrubí (bez hranice), dual na produkt je průsečík, a dual na odčítání produktů vázajících lepení dvou ohraničujících potrubí dohromady podél hranice, čímž se získá uzavřené potrubí, které představuje homologační duální produkt Massey. Ve skutečnosti nemohou být třídy homologie potrubí vždy reprezentovány potrubími - cyklus reprezentace může mít singularity - ale s tímto upozorněním je duální obraz správný.
Vyšší objednávky produktů Massey
Obecněji, n- složený produkt Massey z n prvky je definována jako sada prvků formuláře
pro všechna řešení rovnic
- ,
s a , kde označuje .
Vyšší produkt Massey lze považovat za překážku řešení druhého systému rovnic pro všechny , v tom smyslu, že obsahuje 0 kohomologickou třídu právě tehdy, když jsou tyto rovnice řešitelné. Tento n-násobný produkt Massey je order cohomology operation, což znamená, že aby to bylo neprázdné, mnoho operací nižšího řádu Massey musí obsahovat 0, a navíc cohomology třídy, které představuje, se všechny liší podle termínů zahrnujících operace nižšího řádu. 2násobný produkt Massey je pouze obvyklým produktem šálku a jedná se o operaci kohomologie prvního řádu a 3násobný produkt Massey je stejný jako výše definovaný trojitý produkt Massey a je operace sekundární kohomologie.
J. Peter May (1969 ) popsal další zobecnění s názvem Produkty Matric Massey, kterou lze použít k popisu rozdílů v Spektrální sekvence Eilenberg – Moore.
Aplikace
Doplněk Borromejské prsteny uvádí příklad, kde je trojitý produkt Massey definován a nenulový. Li u, proti, a w jsou 1-řetězcové řetězce duální vůči 3 prstenům, pak produkt libovolných dvou je násobkem odpovídajících spojovací číslo a je tedy nula, zatímco Masseyův součin všech tří prvků je nenulový, což ukazuje, že borromejské prstence jsou spojeny. Algebra odráží geometrii: prstence jsou párově nespojené, což odpovídá zmizení párových (2-násobných) produktů, ale jsou celkově spojeny, což odpovídá tomu, že 3-násobný produkt nezmizí.
Obecněji, n-součástka Brunnian odkazy - odkazy takové, že nějaké -komponentní podřízený odkaz je odpojen, ale celkově n-komponentní odkaz je netriviálně propojen - odpovídá n- složené produkty Massey, s odpojením -komponentní podřízený odkaz odpovídající zmizení - skládané produkty Massey a celkově n-komponentní propojení odpovídající neztrácení n- složený produkt Massey.
Uehara & Massey (1957) použil trojitý produkt Massey k prokázání, že Produkt Whitehead uspokojuje Jacobi identita.
Při výpočtu se objevují produkty Massey vyššího řádu zkroucená K-teorie prostřednictvím Spektrální sekvence Atiyah – Hirzebruch (AHSS). Zejména pokud H je twist 3-třída, Atiyah & Segal (2008) racionálně ukázaly, že diferenciály vyššího řádu v AHSS působící ve třídě X jsou dány produktem Massey z p kopie H s jedinou kopií X.
Pokud je potrubí formální (ve smyslu Dennis Sullivan ), pak všechny produkty Massey ve vesmíru musí zmizet; tedy jedna strategie pro prokázání, že dané potrubí je ne formální je vystavit netriviální produkt Massey. Tady a formální potrubí je ten, jehož racionální homotopický typ lze odvodit („formálně“) z konečného trojrozměrného „minimálního modelu“ jeho komplex de Rham. Deligne a kol. (1975) ukázal ten kompaktní Rozdělovače Kähler jsou formální.
Salvatore & Longoni (2005) použijte produkt Massey k prokázání, že homotopický typ z konfigurační prostor dvou bodů v a prostor pro čočky záleží netriviálně na jednoduchý typ homotopy prostoru pro čočky.
Viz také
Reference
- Atiyah, Michael; Segal, Graeme (2006), „Twisted K-theory and cohomology“, Inspirováno S. S. Chernem, Nankai Tracts in Mathematics, 11Hackensack, NJ: World Scientific Publishers, s. 5–43, arXiv:math.KT / 0510674, doi:10.1142/9789812772688_0002, PAN 2307274
- Deligne, Pierre; Griffiths, Phillip; Morgan, John; Sullivan, Dennis (1975), „Real homotopy theory of Kähler manifolds“, Inventiones Mathematicae, 29 (3): 245–274, Bibcode:1975InMat..29..245D, doi:10.1007 / BF01389853, PAN 0382702
- Massey, William. S. (1958), „Some cohomology operations vyššího řádu“, Symposium internacional de topología algebraica (Mezinárodní symposium o algebraické topologii), Mexico City: Universidad Nacional Autónoma de México a UNESCO, s. 145–154, PAN 0098366
- May, J. Peter (1969), "Matric Massey products", Journal of Algebra, 12 (4): 533–568, doi:10.1016/0021-8693(69)90027-1, PAN 0238929
- McCleary, John (2001), Uživatelská příručka k spektrálním sekvencím, Cambridge studia pokročilé matematiky, 58 (2. vyd.), Cambridge University Press, doi:10.2277/0521567599, ISBN 978-0-521-56759-6, PAN 1793722, Kapitola 8, „Výrobky Massey“, s. 302–304; „Produkty Massey vyššího řádu“, str. 305–310; „Matric Massey products“, s. 311–312
- Salvatore, Paolo; Longoni, Riccardo (2005), „Konfigurační prostory nejsou homotopy invariantní“, Topologie, 44 (2): 375–380, arXiv:matematika / 0401075, doi:10.1016 / j.top.2004.11.002, PAN 2114713
- Uehara, Hiroši; Massey, William S. (1957), „Jacobi identity pro produkty Whitehead“, Algebraická geometrie a topologie. Sympózium na počest S. Lefschetze, Princeton, NJ: Princeton University Press, str. 361–377, PAN 0091473