v fyzika, Yang-Baxterova rovnice (nebo vztah hvězda – trojúhelník) je rovnice konzistence který byl poprvé představen v oblasti statistická mechanika. Závisí to na myšlence, že v některých rozptylových situacích si částice mohou zachovat svoji hybnost při změně kvantových vnitřních stavů. Uvádí, že matice , působící na dva ze tří předmětů, uspokojuje
V jednorozměrných kvantových systémech je matice rozptylu a pokud splňuje Yang-Baxterovu rovnici, pak systém je integrovatelný. Při diskusi se také ukazuje rovnice Yang – Baxter teorie uzlů a opletení skupiny kde odpovídá výměně dvou řetězců. Jelikož lze vyměnit tři řetězce dvěma různými způsoby, Yang – Baxterova rovnice vynucuje, aby byly obě cesty stejné.
Obecná forma parametricky závislé Yang – Baxterovy rovnice
Nechat být unitalasociativníalgebra. Ve své nejobecnější podobě je Yang – Baxterova rovnice závislá na parametrech rovnicí pro , parametr parametricky závislého prvku tenzorový produkt (tady, a jsou parametry, které se obvykle pohybují nad reálná čísla ℝ v případě přídavného parametru nebo vyšší kladná reálná čísla ℝ+ v případě multiplikativního parametru).
Nechat pro s homomorfismy algebry určeno
Obecná forma Yang-Baxterovy rovnice je
pro všechny hodnoty , a .
Forma nezávislá na parametrech
Nechat být jednotná asociativní algebra. Yang – Baxterova rovnice nezávislá na parametrech je rovnicí pro , invertibilní prvek tenzorového produktu . Rovnice Yang – Baxter je
kde , , a .
Alternativní forma a reprezentace skupiny copu
Nechat být modul z , a . Nechat být uspokojivá lineární mapa pro všechny . Rovnice Yang – Baxter má potom následující alternativní formu, pokud jde o na .
.
Alternativně to můžeme vyjádřit stejným zápisem jako výše, definovat , v takovém případě je alternativní forma
Ve speciálním případě nezávislém na parametrech, kde nezávisí na parametrech, rovnice se redukuje na
Společným řešením pro výpočetní řešení je vlastnost rozdílu, , kde R závisí pouze na jediném (aditivním) parametru. Ekvivalentně, vezmeme-li logaritmy, můžeme zvolit parametrizaci , v takovém případě se říká, že R závisí na multiplikativním parametru. V těchto případech můžeme YBE snížit na dva volné parametry ve formě, která usnadňuje výpočty:
pro všechny hodnoty a . Pro multiplikativní parametr je Yang – Baxterova rovnice
pro všechny hodnoty a .
Pletené formuláře znějí jako:
V některých případech je to determinant může zmizet při konkrétních hodnotách spektrálního parametru . Nějaký matice se promění v jednorozměrný projektor v . V tomto případě lze definovat kvantový determinant[je zapotřebí objasnění ].
Příklad řešení parametricky závislého YBE
Obzvláště jednoduchou třídu řešení závislých na parametrech lze získat z řešení parametricky nezávislého YBE vyhovujícího , kde odpovídající zastoupení skupiny opletení je zastoupení permutační skupiny. V tomto případě, (ekvivalentně, ) je řešením YBE závislého na parametrech (aditivních). V případě, že a , to dává rozptylovou matici Heisenberg XXX rotační řetěz.
H.-D. Doebner, J.-D. Hennig, eds, Kvantové skupiny, Proceedings of the 8th International Workshop on Mathematical Physics, Arnold Sommerfeld Institute, Clausthal, FRG, 1989, Springer-Verlag Berlín, ISBN 3-540-53503-9.
Vyjayanthi Chari a Andrew Pressley, Průvodce kvantovými skupinami(1994), Cambridge University Press, Cambridge ISBN 0-521-55884-0.
Jacques H.H. Perk a Helen Au-Yang, „Yang – Baxterovy rovnice“, (2006), arXiv:math-ph / 0606053.