Generátor (teorie kategorií) - Generator (category theory)

v matematika konkrétně teorie kategorií, a rodina generátorů (nebo rodina separátorů) a kategorie ${displaystyle {mathcal {C}}}$ je sbírka ${displaystyle {G_ {i} v Ob ({mathcal {C}}) mid iin I}}$ předmětů, indexováno podle nějaké sady Já, tak, že pro dva morfismy ${displaystyle f, g: X o Y}$ v ${displaystyle {mathcal {C}},}$ -li ${displaystyle feq g}$ pak tam jsou některé i v Já a nějaký morfismus ${displaystyle h: G_ {i} o X}$ takhle ${displaystyle fcirc heq gcirc h.}$ Pokud se rodina skládá z jednoho objektu G, říkáme, že je generátor (nebo oddělovač).

Generátory jsou při definici klíčové Kategorie Grothendieck.

The dvojí koncept se nazývá a kogenerátor nebo coseparator.

Příklady

• V kategorii abelianské skupiny, skupina celých čísel ${displaystyle mathbf {Z}}$ je generátor: Pokud F a G jsou různé, pak existuje prvek ${displaystyle xin X}$, takový, že ${displaystyle f (x) eq g (x)}$. Proto ta mapa ${displaystyle mathbf {Z} ightarrow X,}$ ${displaystyle nmapsto ncdot x}$ stačí.
• Podobně jednobodový soubor je generátor pro kategorie sad. Ve skutečnosti je každá neprázdná množina generátorem.
• V kategorie sad, jakákoli sada s alespoň dvěma objekty je kogenerátor.
• V kategorii modulů nad a prsten R, generátor v konečném přímém součtu obsahuje isomorfní kopii R jako přímý součet. V důsledku toho je modul generátoru věrný, tj. Má nulu zničit.

Reference

• Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, ISBN  978-0-387-98403-2, str. 123, oddíl V.7

externí odkazy

• generátor v nLab

Tento teorie kategorií související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.