Hyperhomologie - Hyperhomology

v homologická algebra, hyperhomologie nebo hyperkohomologie komplexu objektů abelianská kategorie je rozšířením obvyklé homologie objektu na komplexy. Je jakýmsi křížením mezi odvozenou funktorovou kohomologií objektu a homologií řetězového komplexu.

Hyperhomologie se již příliš nepoužívá: přibližně od roku 1970 byla z velké části nahrazena zhruba ekvivalentním konceptem a odvozený funktor mezi odvozené kategorie.

Definice

Definici hyperkohomologie uvádíme, protože je běžnější. Jak je obvyklé, hyperkohomologie a hyperhomologie jsou v zásadě stejné: jeden převádí z jednoho na druhého dualizací, tj. Změnou směru všech šipek, nahrazením injektivních objektů projektivními atd.

Předpokládejme to A je abelianská kategorie s dost injekcí a F A levý přesný funktor do jiné abelianské kategorie B. Li C je komplex objektů A ohraničený nalevo, hyperkohomologie

Hⁱ(C)

z C (pro celé číslo i) se počítá takto:

Vezměte si kvazi-izomorfismus Φ : C → Já, tady Já je komplex injekčních prvků A.
Hyperkohomologie Hⁱ(C) z C je pak kohomologie Hⁱ(F(Já)) komplexu F(Já).

Hyperkohomologie C je nezávislá na výběru kvazi-izomorfismus, až po jedinečné izomorfismy.

Hyperkohomologii lze také definovat pomocí odvozené kategorie: hyperkohomologie C je jen cohomologie RF(C) považován za prvek odvozené kategorie B.

Pro komplexy, které mizí pro záporné indexy, lze hyperkohomologii definovat jako odvozené funktory H⁰ = FH⁰ = H⁰F.

Hyperkohomologické spektrální sekvence

Existují dvě hyperkohomologie spektrální sekvence; jeden s E₂ období

{ displaystyle R ^ {i} F (H ^ {j} (C))}

a druhý s E₁ období

{ displaystyle R ^ {j} F (C ^ {i})}

a E₂ období

{ displaystyle H ^ {i} (R ^ {j} F (C))}

oba konvergují k hyperkohomologii

{ displaystyle H ^ {i + j} (RF (C))}

,

kde R^jF je pravý odvozený funktor z F.

Příklady

Pro rozmanitost X přes pole k, druhá spektrální sekvence shora dává Spektrální sekvence Hodge-de Rham pro algebraická de Rhamova kohomologie:
${ displaystyle E_ {1} ^ {p, q} = H ^ {q} (X, Omega _ {X} ^ {p}) Rightarrow mathbf {H} ^ {p + q} (X, Omega _ {X} ^ { bullet}) =: H_ {DR} ^ {p + q} (X / k)}$ .
Další příklad pochází z holomorfní log komplex na složitém potrubí. Nechat X být složitým algebraickým potrubím a ${ displaystyle j: X hookrightarrow Y}$ dobré zhutnění. Tohle znamená tamto Y je kompaktní algebraické potrubí a ${ displaystyle D = Y-X}$ je dělitelem ${ displaystyle Y}$ s jednoduchými normálními přechody. Přirozené zahrnutí komplexů snopů
${ displaystyle Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D) rightarrow j _ {*} Omega _ {X} ^ { bullet}}$
Ukázalo se, že je to kvazi-izomorfismus a vyvolává izomorfismus
${ displaystyle H ^ {k} (X; mathbb {C}) rightarrow mathbf {H} ^ {k} (Y, Omega _ {Y} ^ { bullet} ( log D))}$ .

Viz také

Cartan – Eilenbergovo rozlišení

Reference

H. Cartan, S. Eilenberg, Homologická algebra ISBN 0-691-04991-2
V.I. Danilov (2001) [1994], „Hyperhomologický funktor“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
A. Grothendieck, Sur quelques points d'algèbre homologique Matematika Tohoku. J. 9 (1957), str. 119-221