Kategorie funktorů - Functor category
v teorie kategorií, pobočka matematika, a kategorie funktorů je kategorie, kde objekty jsou funktory a morfismy jsou přirozené transformace mezi funktory (zde, je další objekt v kategorii). Kategorie funktorů jsou zajímavé ze dvou hlavních důvodů:
- mnoho běžně se vyskytujících kategorií jsou (maskované) funktorové kategorie, takže jakýkoli výrok prokázaný pro obecné funktorové kategorie je široce použitelný;
- každá kategorie vloží do kategorie funktorů (přes Yoneda vkládání ); kategorie funktoru má často hezčí vlastnosti než původní kategorie, což umožňuje určité operace, které nebyly k dispozici v původním nastavení.
Definice
Předpokládat je malá kategorie (tj. objekty a morfismy tvoří spíše množinu než a správná třída ) a je libovolná kategorie. Kategorie funktorů z na , psaný jako Fun (, ), Funct (,), nebo , má jako objekty kovariantní funktory na a jako morfismy přirozené transformace mezi těmito funktory. Pamatujte, že přirozené transformace lze skládat: pokud je přirozená transformace z funktoru funktoru , a je přirozená transformace z funktoru funktoru , pak kolekce definuje přirozenou transformaci z na . S tímto složením přirozených transformací (známé jako vertikální složení, viz přirozená transformace ), splňuje axiomy kategorie.
Zcela analogickým způsobem lze také zvážit kategorii všech protikladný funktory z na ; píšeme to jako Funct ().
Li a jsou oba předem připravené kategorie (tj. jejich soubory morfismu jsou abelianské skupiny a složení morfismů je bilineární ), pak můžeme uvažovat o kategorii všech aditivní funktory z na , označeno Add (,).
Příklady
- Li je malý diskrétní kategorie (tj. jeho jedinými morfismy jsou morfizmy identity), poté funktor z na v zásadě se skládá z rodiny předmětů indexováno ; kategorie funktor lze identifikovat pomocí odpovídající kategorie produktu: jeho prvky jsou rodiny objektů v a jeho morfismy jsou rodiny morfismů v .
- An kategorie šipek (jejichž objekty jsou morfismem , a jejichž morfismy dojíždějí ve čtvercích ) je jen , kde 2 je kategorie se dvěma objekty a jejich morfismem identity, stejně jako šipka od jednoho objektu k druhému (ale ne další šipka zpět opačným směrem).
- A řízený graf sestává ze sady šipek a sady vrcholů a dvou funkcí od sady šipek po sadu vrcholů, přičemž je určen počáteční a koncový vrchol každé šipky. Kategorie všech směrovaných grafů tedy není nic jiného než kategorie funktorů , kde je kategorie se dvěma objekty spojenými dvěma paralelními morfismy (zdroj a cíl) a Soubor označuje kategorie sad.
- Žádný skupina lze považovat za kategorii jednoho objektu, ve které je každý morfismus invertibilní. Kategorie všech -sady je stejná jako kategorie funktorů Soubor.
- Podobně jako v předchozím příkladu kategorie -lineární reprezentace skupiny je stejná jako kategorie funktorů k-Vect (kde k-Vect označuje kategorii všech vektorové prostory přes pole ).
- Žádný prsten lze považovat za kategorii s jedním objektem předčítání; kategorie vlevo moduly přes je stejná jako kategorie aditivního funktoru Přidat (,) (kde označuje kategorie abelianských skupin ) a kategorie vpravo -modules je Přidat (). Z tohoto příkladu pro jakoukoli preadditive kategorii , kategorie Přidat (,) se někdy nazývá „kategorie zbylých modulů a přidat (,) je kategorie správných modulů .
- Kategorie předvádí na topologickém prostoru je kategorie funktorů: topologický prostor přeměníme na kategorii mít otevřené sady jako objekty a jediný morfismus z na kdyby a jen kdyby je obsažen v . Kategorie předpolí sad (abelianské skupiny, prsteny) na je pak stejná jako kategorie kontravariantních funktorů z na (nebo nebo ). Z tohoto příkladu je kategorie Funct (, ) se někdy nazývá „kategorie předspánků sad zapnuto i pro obecné kategorie nevyplývající z topologického prostoru. Definovat snopy na obecnou kategorii , jeden potřebuje více struktury: a Grothendieckova topologie na . (Někteří autoři odkazují na kategorie, které jsou ekvivalent na tak jako předheaf Kategorie.[1])
Fakta
Většina staveb, které lze provádět v lze provést také v jejich provedením "po částech", zvlášť pro každý objekt v . Například pokud existují dva objekty a v mít produkt , pak libovolní dva funktory a v mít produkt , definován pro každý objekt v . Podobně, pokud je přirozená transformace a každá má jádro v kategorii , pak jádro v kategorii funktor je funktor s pro každý objekt v .
V důsledku toho máme generála pravidlo že kategorie funktorů sdílí většinu „pěkných“ vlastností :
- -li je kompletní (nebo cocomplete), tak je ;
- -li je abelianská kategorie, pak také je ;
Také máme:
Z výše uvedených příkladů tedy můžeme hned usoudit, že kategorie orientovaných grafů, -sady a přednastavení na topologickém prostoru jsou úplné a dokončené topoi a že kategorie reprezentací , moduly přes kruh , a předvádí abelianské skupiny v topologickém prostoru jsou všichni abelianští, úplní a úplní.
Vložení kategorie v kategorii funktorů, která byla zmíněna dříve, používá Yoneda lemma jako jeho hlavní nástroj. Pro každý objekt z , nechť být kontravariant reprezentativní funktor z na . Yoneda lemma říká, že úkol
je plné vložení kategorie do kategorie Funct (,). Tak přirozeně sedí uvnitř toposu.
Totéž lze provést u jakékoli kategorie předčítání : Yoneda pak přináší plné vložení do kategorie funktoru Přidat (,). Tak přirozeně sedí v abelianské kategorii.
Intuice uvedená výše (že konstrukce, které lze provádět v lze „zvednout“ na ) lze upřesnit několika způsoby; nejstručnější formulace používá jazyk adjunkční funktory. Každý funktor indukuje funktor (podle složení s ). Li a je tedy dvojice adjunkčních funktorů a je také dvojice adjunkčních funktorů.
Kategorie funktorů má všechny formální vlastnosti exponenciální objekt; zejména funktory z být v přirozené osobní korespondenci s funktory z na . Kategorie všech malých kategorií s funktory jako morfismy je tedy a kartézská uzavřená kategorie.
Viz také
Reference
- ^ Tom Leinster (2004). Vyšší operády, vyšší kategorie. Cambridge University Press. Bibcode:2004hohc.book ..... L. Archivovány od originál dne 2003-10-25.