Gerbe - Gerbe - Wikipedia

v matematika, a gerbe (/dʒ.rb/; Francouzština:[ʒɛʁb]) je konstrukt v homologická algebra a topologie. Gerbes byl představen Jean Giraud (Giraud 1971 ) následující nápady Alexandre Grothendieck jako nástroj pro nekomutativní kohomologie ve stupni 2. Mohou být považovány za analogii svazky vláken kde je vlákno klasifikace zásobníku skupiny. Gerbes poskytuje pohodlný, i když velmi abstraktní jazyk pro práci s mnoha typy deformace otázky zejména v moderní algebraická geometrie. Kromě toho se v poslední době používají speciální případy pískomilů diferenciální topologie a diferenciální geometrie určit alternativní popis kurzy kohomologie a k nim připojené další struktury.

„Gerbe“ je francouzské (a archaické anglické) slovo, které doslova znamená pšenice snop.

Definice

Gerbes na topologickém prostoru

Gerbe na a topologický prostor ${ displaystyle S}$ ^[1]^{str. 318} je zásobník ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ z grupoidy přes ${ displaystyle S}$ který je místně neprázdný (každý bod ${ displaystyle p v S}$ má otevřené sousedství ${ displaystyle U_ {p}}$ nad kterým kategorie sekce ${ displaystyle { mathcal {X}} (U_ {p})}$ gerbe není prázdný) a tranzitivní (pro libovolné dva objekty ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ z ${ displaystyle { mathcal {X}} (U)}$ pro jakoukoli otevřenou sadu ${ displaystyle U}$ , je zde otevřená krytina ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {i v I}}$ z ${ displaystyle U}$ taková, že omezení ${ displaystyle a}$ a ${ displaystyle b}$ ke každému ${ displaystyle U_ {i}}$ jsou spojeny alespoň jedním morfismem).

Kanonickým příkladem je gerbe ${ displaystyle BG}$ z hlavní svazky s pevnou strukturní skupina ${ displaystyle H}$ : kategorie sekce nad otevřenou sadou ${ displaystyle U}$ je kategorie jistiny ${ displaystyle H}$ -bundles on ${ displaystyle U}$ s izomorfismem jako morfismem (tedy kategorie je grupoid). Vzhledem k tomu, že hlavní svazky se lepí dohromady (splňují podmínku sestupu), tvoří tyto grupo hromady. Triviální svazek ${ displaystyle X krát H až X}$ ukazuje, že místní podmínka prázdnoty je splněna, a konečně, protože hlavní svazky jsou místně triviální, stávají se izomorfními, jsou-li omezeny na dostatečně malé otevřené množiny; podmínka přechodnosti je tedy také splněna.

Gerbes na webu

Nejobecnější definice gerberů je definována na webu. Vzhledem k tomu, stránky ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ A ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ -gerbe ${ displaystyle G}$ ^[2]^[3]^{str. 129} je kategorie vyztužená grupoidy ${ displaystyle G až { mathcal {C}}}$ takhle

Existuje zdokonalení^[4] ${ displaystyle { mathcal {C}} '}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ tak, že pro každý objekt ${ displaystyle S in { text {Ob}} ({ mathcal {C}} ')}$ přidružená kategorie vláken ${ displaystyle G_ {S}}$ není prázdný
Pro každého ${ displaystyle S in { text {Ob}} ({ mathcal {C}})}$ jakékoli dva objekty v kategorii vláken ${ displaystyle G_ {S}}$ jsou místně izomorfní

Všimněte si, že pro web ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ s konečným objektem ${ displaystyle e}$ , kategorie vyztužená grupoidy ${ displaystyle G až { mathcal {C}}}$ je ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ -gerbe připouští místní část, což znamená, že splňuje první axiom, pokud ${ displaystyle { text {Ob}} (G_ {e}) neq varnothing}$ .

Motivace pro gerbery na webu

Jednou z hlavních motivací pro zvážení gerberů na místě je zvážit následující naivní otázku: pokud cechová kohomologická skupina ${ displaystyle H ^ {1} ({ mathcal {U}}, G)}$ pro vhodnou krytinu ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} } _ {i v I}}$ prostoru ${ displaystyle X}$ dává třídy isomorfismu jistiny ${ displaystyle G}$ - svazky ${ displaystyle X}$ , co dělá iterovaný cohomologický funktor ${ displaystyle H ^ {1} (-, H ^ {1} (-, G))}$ zastupovat? To znamená, že spojujeme skupiny ${ displaystyle H ^ {1} (U_ {i}, G)}$ prostřednictvím jednoho cyklu. Gerbes jsou technickou odpovědí na tuto otázku: dávají geometrické reprezentace prvků ve vyšší kohomologické skupině ${ displaystyle H ^ {2} ({ mathcal {U}}, G)}$ . Očekává se, že by tato intuice měla platit vyšší gerbes.

Kohomologická klasifikace

Jednou z hlavních vět o gerbech je jejich cohomologická klasifikace, kdykoli mají automorfické skupiny dané pevným svazkem abelianských skupin ${ displaystyle { podtržení {L}}}$ ,^[5]^[2] zavolal kapela. Pro gerbe ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ na webu ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ , objekt ${ displaystyle U in { text {Ob}} ({ mathcal {C}})}$ a objekt ${ displaystyle x in { text {Ob}} ({ mathcal {X}} (U))}$ , skupina automorfismu gerbe je definována jako skupina automorfismu ${ displaystyle L = { podtržení { text {Aut}}} _ {{ mathcal {X}} (U)} (x)}$ . Všimněte si, že je to dobře definované, kdykoli je skupina automorfismu vždy stejná. Vzhledem k pokrytí ${ displaystyle { mathcal {U}} = {U_ {i} až X } _ {i v I}}$ , existuje přidružená třída

${ displaystyle c ({ underline {L}}) v H ^ {3} (X, { underline {L}})}$

představující třídu izomorfismu gerbe ${ displaystyle { mathcal {X}}}$ svázaný ${ displaystyle L}$ Například v topologii lze mnoho příkladů gerber zkonstruovat tak, že vezmeme v úvahu gerby seskupené skupinou ${ displaystyle U (1)}$ . Jako klasifikační prostor ${ displaystyle B (U (1)) = K ( mathbb {Z}, 2)}$ je druhá Eilenberg-Maclane prostor pro celá čísla, svazek gerbe svázaný ${ displaystyle U (1)}$ na topologickém prostoru ${ displaystyle X}$ je vytvořen z homotopy třídy map v

${ displaystyle [X, B ^ {2} (U (1))] = [X, K ( mathbb {Z}, 3)]}$

což je přesně třetí singulární homologická skupina ${ displaystyle H ^ {3} (X, mathbb {Z})}$ . Bylo to nalezeno^[6] že všechny gerbes představující třídy torzní kohomologie v ${ displaystyle H ^ {3} (X, mathbb {Z})}$ jsou reprezentovány svazkem konečných dimenzionálních algeber ${ displaystyle { text {End}} (V)}$ pro pevný komplexní vektorový prostor ${ displaystyle V}$ . Kromě toho jsou třídy bez kroucení představovány jako nekonečné trojrozměrné hlavní svazky ${ displaystyle PU ({ mathcal {H}})}$ projektivní skupiny unitárních operátorů na pevné nekonečné dimenzionální oddělitelný Hilbertův prostor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ . Všimněte si, že je to dobře definované, protože všechny oddělitelné Hilbertovy prostory jsou izomorfní s prostorem čtvercových součtových sekvencí ${ displaystyle ell ^ {2}}$ Homotopy-teoretická interpretace gerber pochází z pohledu na homotopy vlákno náměstí

${ displaystyle { begin {matrix} { mathcal {X}} & to & * downarrow && downarrow S & xrightarrow {f} & B ^ {2} U (1) end {matrix} }}$

analogicky k tomu, jak svazek řádků pochází z čtverce homotopy vláken

${ displaystyle { begin {matrix} L & to & * downarrow && downarrow S & xrightarrow {f} & BU (1) end {matrix}}}$

kde ${ displaystyle BU (1) simeq K ( mathbb {Z}, 2)}$ dávat ${ displaystyle H ^ {2} (S, mathbb {Z})}$ jako skupina tříd izomorfismu svazků řádků ${ displaystyle S}$ .

Příklady

Algebraická geometrie

Nechat ${ displaystyle M}$ být odrůda přes algebraicky uzavřené pole ${ displaystyle k}$ , ${ displaystyle G}$ an algebraická skupina, například ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ . Připomeňme, že a G-toror přes ${ displaystyle M}$ je algebraický prostor ${ displaystyle P}$ s akcí ${ displaystyle G}$ a mapa ${ displaystyle pi: P až M}$ , takže lokálně dál ${ displaystyle M}$ (v topologie étale nebo topologie fppf ) ${ displaystyle pi}$ je přímý produkt ${ displaystyle pi | _ {U}: G krát U do U}$ . A G-je tam M lze definovat podobným způsobem. Je to Artin stack ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ s mapou ${ displaystyle pi colon { mathcal {M}} do M}$ , takže lokálně dál M (v topologii étale nebo fppf) ${ displaystyle pi}$ je přímý produkt ${ displaystyle pi | _ {U} colon mathrm {B} G krát U do U}$ .^[7] Tady ${ displaystyle BG}$ označuje klasifikace zásobníku z ${ displaystyle G}$ , tj. kvocient ${ displaystyle [* / G]}$ bodu triviálním ${ displaystyle G}$ -akce. V takovém případě není nutné ukládat kompatibilitu se strukturou skupiny, protože se na ni vztahuje definice zásobníku. Podkladové topologické prostory z ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ a ${ displaystyle M}$ jsou stejné, ale v ${ displaystyle { mathcal {M}}}$ každý bod je vybaven stabilizační skupinou izomorfní s ${ displaystyle G}$ .

Z dvoučlenných komplexů koherentních svazků

Každý dvousemestrální komplex souvislých snopů

${ displaystyle { mathcal {E}} ^ { bullet} = [{ mathcal {E}} ^ {- 1} xrightarrow {d} { mathcal {E}} ^ {0}]}$

na schématu ${ displaystyle X v { text {Sch}}}$ má kanonický svazek grupoidů s ním spojených, kde na otevřené podmnožině ${ displaystyle U subseteq X}$ existuje dvousemestrální komplex ${ displaystyle X (U)}$ - moduly

${ displaystyle { mathcal {E}} ^ {- 1} (U) xrightarrow {d} { mathcal {E}} ^ {0} (U)}$

dávat groupoid. Má objekty dané prvky ${ displaystyle x in { mathcal {E}} ^ {0} (U)}$ a morfismus ${ displaystyle x až x '}$ je dán prvkem ${ displaystyle y in { mathcal {E}} ^ {- 1} (U)}$ takhle

${ displaystyle dy + x = x '}$

Aby tento zásobník byl Gerbe, musíme mít cohomologický svazek ${ displaystyle { mathcal {H}} ^ {0} ({ mathcal {E}})}$ mít vždy sekci. Tato hypotéza implikuje, že kategorie vytvořená výše má vždy objekty.

Stoh modulů stabilních svazků na křivce

Zvažte hladký projektivní křivka ${ displaystyle C}$ přes ${ displaystyle k}$ rodu ${ displaystyle g> 1}$ . Nechat ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {r, d} ^ {s}}$ být zásobník modulů z stabilní vektorové svazky na ${ displaystyle C}$ hodnosti ${ displaystyle r}$ a stupeň ${ displaystyle d}$ . Má to prostor hrubých modulů ${ displaystyle M_ {r, d} ^ {s}}$ , což je kvaziprojektivní odrůda. Tyto dva problémy modulů parametrizují stejné objekty, ale stohovatelná verze si pamatuje automorfismy vektorových svazků. Pro jakýkoli stabilní vektorový svazek ${ displaystyle E}$ skupina automorfismu ${ displaystyle Aut (E)}$ se skládá pouze ze skalárních násobení, takže každý bod v zásobníku modulů má stabilizátor isomorfní ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ . Ukázalo se, že mapa ${ displaystyle { mathcal {M}} _ {r, d} ^ {s} až M_ {r, d} ^ {s}}$ je opravdu ${ displaystyle mathbb {G} _ {m}}$ -gerbe ve výše uvedeném smyslu.^[8] Je to triviální gerbe právě tehdy ${ displaystyle r}$ a ${ displaystyle d}$ jsou coprime.

Kořenové komíny

Další třídu gerber lze najít pomocí konstrukce kořenových zásobníků. Neformálně ${ displaystyle r}$ -tý kořenový balíček svazku řádků ${ displaystyle L až S}$ přes systém je prostor představující ${ displaystyle r}$ -tý kořen ${ displaystyle L}$ a je označen

${ displaystyle { sqrt [{r}] {L / S}}}$ ^[9]^{str. 52}.

The ${ displaystyle r}$ -th root stack of ${ displaystyle L}$ má majetek

${ displaystyle bigotimes ^ {r} { sqrt [{r}] {L / S}} cong L}$

jako pískomilové. Je konstruován jako zásobník

${ displaystyle { sqrt [{r}] {L / S}} :( Sch / S) ^ {op} to Grpd}$

odesílání ${ displaystyle S}$ -systém ${ displaystyle T až S}$ do kategorie, jejíž objekty lemují svazky formuláře

${ displaystyle left {(M to T, alpha _ {M}): alpha _ {M}: M ^ { otimes r} xrightarrow { sim} L times _ {S} T že jo}}$

a morfismy jsou komutativní diagramy kompatibilní s izomorfismy ${ displaystyle alpha _ {M}}$ . Tato gerbe je svázána algebraická skupina kořenů jednoty ${ displaystyle mu _ {r}}$ , kde na obálce ${ displaystyle T až S}$ jedná o bod ${ displaystyle (M až T, alfa _ {M})}$ cyklickou permutací faktorů ${ displaystyle M}$ v ${ displaystyle M ^ { další časy}}$ . Geometricky jsou tyto komíny vytvořeny jako vláknový produkt komínů

${ displaystyle { begin {matrix} X times _ {B mathbb {G} _ {m}} B mathbb {G} _ {m} & to & B mathbb {G} _ {m} downarrow && downarrow X & to & B mathbb {G} _ {m} end {matrix}}}$

kde je svislá mapa ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m} až B mathbb {G} _ {m}}$ pochází z Kummerova sekvence

${ displaystyle 1 xrightarrow {} mu _ {r} xrightarrow {} mathbb {G} _ {m} xrightarrow {( cdot) ^ {r}} mathbb {G} _ {m} xrightarrow {} 1}$

To je proto, že ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m}}$ je prostor modulů svazků řádků, takže svazek řádků ${ displaystyle L až S}$ odpovídá objektu kategorie ${ displaystyle B mathbb {G} _ {m} (S)}$ (považováno za bod prostoru modulů).

Kořenové komíny s oddíly

Existuje další související konstrukce kořenových zásobníků s oddíly. Vzhledem k výše uvedeným údajům, ať ${ displaystyle s: S do L}$ být sekcí. Pak ${ displaystyle r}$ -th root stack páru ${ displaystyle (L až S, s)}$ je definován jako laxní 2-funktor^[9]^[10]

${ displaystyle { sqrt [{r}] {(L, s) / S}} :( Sch / S) ^ {op} to Grpd}$

odesílání ${ displaystyle S}$ -systém ${ displaystyle T až S}$ do kategorie, jejíž objekty lemují svazky formuláře

${ displaystyle left {(M to T, alpha _ {M}, t): { begin {aligned} & alpha _ {M}: M ^ { otimes r} xrightarrow { sim} L times _ {S} T & t in Gamma (T, M) & alpha _ {M} (t ^ { otimes r}) = s end {zarovnáno}} vpravo } }$

a morfismy jsou uvedeny podobně. Tyto komíny mohou být konstruovány velmi explicitně a jsou dobře pochopeny pro afinní schémata. Ve skutečnosti tvoří afinní modely pro kořenové komíny s oddíly^[10]^str. Vzhledem k afinnímu schématu ${ displaystyle S = { text {Spec}} (A)}$ , proto jsou všechny svazky řádků triviální ${ displaystyle L cong { mathcal {O}} _ {S}}$ a libovolnou sekci ${ displaystyle s}$ je ekvivalentní převzetí prvku ${ displaystyle s v A}$ . Potom je zásobník dán kvocientem zásobníku

${ displaystyle { sqrt [{r}] {(L, s) / S}} = [{ text {Spec}} (B) / mu _ {r}]}$ ^[10]^{str. 9}

s

${ displaystyle B = { frac {A [x]} {x ^ {r} -s}}}$

Li ${ displaystyle s = 0}$ pak to dává nekonečně malé rozšíření ${ displaystyle [{ text {Spec}} (A) / mu _ {r}]}$ .

Příklady v algebraické geometrii

Tyto a obecnější druhy pískovek vznikají v několika kontextech jako geometrické prostory i jako formální nástroje účetnictví:

Azumaya algebry
Deformace nekonečně malých zahuštění
Kroucené formy projektivních odrůd
Funktory vláken pro motivy

Diferenciální geometrie

${ displaystyle H ^ {3} (X, mathbb {Z})}$ a ${ displaystyle { mathcal {O}} _ {X} ^ {*}}$ -gerbes: Jean-Luc Brylinski přístup

Dějiny

Gerbes se poprvé objevil v kontextu algebraická geometrie. Byly následně vyvinuty v tradičnějším geometrickém rámci Brylinski (Brylinski 1993 ). Jeden může myslet na gerbes jako na přirozený krok v hierarchii matematických objektů poskytujících geometrické realizace integrálu kohomologie třídy.

Specializovanější pojem gerbe představil Murray a zavolal svazek gerbes. V podstatě jsou hladký verze abelian gerbes patřících spíše do hierarchie počínaje hlavní svazky než snopy. Baleríny gerbes byly použity v teorie měřidel a také teorie strun. Současná práce ostatních rozvíjí teorii neabelský svazek gerbes.

Viz také

Reference

^ Základní teorie svazků a invarianty K-kohomologie. Husemöller, Dale. Berlín: Springer. 2008. ISBN 978-3-540-74956-1. OCLC 233973513.CS1 maint: ostatní (odkaz)
^ ^A ^b „Oddíl 8.11 (06NY): Gerbes - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-27.
^ Giraud, J. (Jean) (1971). Cohomologie non abélienne. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-05307-7. OCLC 186709.
^ „Oddíl 7.8 (00VS): Rodiny morfismů s pevným cílem - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-27.
^ „Oddíl 21.11 (0CJZ): Druhá kohomologie a gerbes - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-27.
^ Karoubi, Max (12.12.2010). „Zkroucené svazky a zkroucená K-teorie“. arXiv:1012.2512 [matematika.KT ].
^ Edidin, Dan; Hassett, Brendan; Kresch, Andrew; Vistoli, Angelo (2001). "Brauerovy skupiny a kvocienty". American Journal of Mathematics. 123 (4): 761–777. arXiv:matematika / 9905049. doi:10.1353 / ajm.2001.0024. S2CID 16541492.
^ Hoffman, Norbert (2010). „Moduli hromádky vektorových svazků na křivkách a důkaz racionality King-Schofield“. Kohomologické a geometrické přístupy k problémům racionality: 133–148. arXiv:matematika / 0511660. doi:10.1007/978-0-8176-4934-0_5. ISBN 978-0-8176-4933-3. S2CID 5467668.
^ ^A ^b Abramovich, Dan; Graber, Tom; Vistoli, Angelo (2008-04-13). „Gromov-Wittenova teorie zásobníků Deligne-Mumford“. arXiv:matematika / 0603151.
^ ^A ^b ^C Cadman, Charles (2007). „Použití hromádek k uložení tangenciálních podmínek do křivek“ (PDF). Amer. J. Math. 129 (2): 405–427. arXiv:matematika / 0312349. doi:10.1353 / ajm.2007.0007. S2CID 10323243.

Giraud, Jean (1971), Cohomologie non abélienne, Springer, ISBN 3-540-05307-7.
Brylinski, Jean-Luc (1993), Prostor smyčky, charakteristické třídy a geometrická kvantizace, Birkhäuser Verlag, ISBN 0-8176-3644-7.

externí odkazy

Úvodní články

Stavby s Bundle Gerbes - Stuart Johnson
Úvod do Gerbes na Orbifolds Ernesto Lupercio, Bernado Uribe.
Co je to Gerbe? tím, že Nigel Hitchin v oznámeních AMS
Balíček gerbes, Michael Murray.
Moerdijk, Ieke. „Úvod do jazyka zásobníků a Gerbesů“. Citováno 2007-05-20.

Gerbes v topologii

Teorie homotopy presheů zjednodušených grupoidů, Zhi-Ming Luo

Zkroucená K-teorie

Zkroucená K-teorie a K-teorie svazků Gerb
Twisted Bundles and Twisted K-Theory - Karoubi

Aplikace v teorii strun

Stabilní singularity v teorii strun - obsahuje příklady gerberů v příloze pomocí skupiny Brauer
Brány na skupinových rozdělovačích, kondenzátech glukonu a zkroucené K-teorii
Přednášky o zvláštních Lagrangeových dílčích řadách - Velmi praktický úvod s aplikacemi pro zrcadlovou symetrii
Základní gerbe nad kompaktní jednoduchou Lieovou skupinou - Poskytuje techniky pro popis skupin, jako je Řetězcová skupina jako gerbe

[1] Základní teorie svazků a invarianty K-kohomologie. Husemöller, Dale. Berlín: Springer. 2008. ISBN 978-3-540-74956-1. OCLC 233973513.CS1 maint: ostatní (odkaz)

[stacks.math.columbia.edu-2] A ^b „Oddíl 8.11 (06NY): Gerbes - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-27.

[3] Giraud, J. (Jean) (1971). Cohomologie non abélienne. Berlín: Springer-Verlag. ISBN 3-540-05307-7. OCLC 186709.

[4] „Oddíl 7.8 (00VS): Rodiny morfismů s pevným cílem - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-27.

[5] „Oddíl 21.11 (0CJZ): Druhá kohomologie a gerbes - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-27.

[6] Karoubi, Max (12.12.2010). „Zkroucené svazky a zkroucená K-teorie“. arXiv:1012.2512 [matematika.KT ].

[7] Edidin, Dan; Hassett, Brendan; Kresch, Andrew; Vistoli, Angelo (2001). "Brauerovy skupiny a kvocienty". American Journal of Mathematics. 123 (4): 761–777. arXiv:matematika / 9905049. doi:10.1353 / ajm.2001.0024. S2CID 16541492.

[8] Hoffman, Norbert (2010). „Moduli hromádky vektorových svazků na křivkách a důkaz racionality King-Schofield“. Kohomologické a geometrické přístupy k problémům racionality: 133–148. arXiv:matematika / 0511660. doi:10.1007/978-0-8176-4934-0_5. ISBN 978-0-8176-4933-3. S2CID 5467668.

[:0-9] A ^b Abramovich, Dan; Graber, Tom; Vistoli, Angelo (2008-04-13). „Gromov-Wittenova teorie zásobníků Deligne-Mumford“. arXiv:matematika / 0603151.

[:1-10] A ^b ^C Cadman, Charles (2007). „Použití hromádek k uložení tangenciálních podmínek do křivek“ (PDF). Amer. J. Math. 129 (2): 405–427. arXiv:matematika / 0312349. doi:10.1353 / ajm.2007.0007. S2CID 10323243.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]