Temperley – Liebova algebra - Temperley–Lieb algebra

v statistická mechanika, Temperley – Liebova algebra je algebra, ze které jsou postaveny jisté přenosové matice, vynalezl Neville Temperley a Elliott Lieb. Souvisí to také s integrovatelné modely, teorie uzlů a skupina copu, kvantové skupiny a dílčí faktory z von Neumannovy algebry.

Definice

Nechat ${ displaystyle R}$ být komutativní prsten a opravit ${ displaystyle delta v R}$. Temperley – Liebova algebra ${ displaystyle TL_ {n} ( delta)}$ je ${ displaystyle R}$-algebra generované prvky ${ displaystyle U_ {1}, U_ {2}, ldots, U_ {n-1}}$, s výhradou vztahů Jones:

• ${ displaystyle U_ {i} ^ {2} = delta U_ {i}}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq i leq n-1}$
• ${ displaystyle U_ {i} U_ {i + 1} U_ {i} = U_ {i}}$ pro všechny ${ displaystyle 1 leq i leq n-2}$
• ${ displaystyle U_ {i} U_ {i-1} U_ {i} = U_ {i}}$ pro všechny ${ displaystyle 2 leq i leq n-1}$
• ${ displaystyle U_ {i} U_ {j} = U_ {j} U_ {i}}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq i, j leq n-1}$ takhle ${ displaystyle | i-j | neq 1}$

${ displaystyle TL_ {n} ( delta)}$ může být schematicky znázorněn jako vektorový prostor nad nekřížením párů na obdélníku s n body na dvou protilehlých stranách. Pět základních prvků ${ displaystyle TL_ {3} ( delta)}$ jsou následující:

.

Násobení na základních prvcích lze provést umístěním dvou obdélníků vedle sebe a nahrazením jakýchkoli uzavřených smyček faktorem ${ displaystyle delta}$, například:

× = = ${ displaystyle delta}$ .

Prvek identity je diagram, ve kterém je každý bod připojen k jednomu přímo přes obdélník od něj a generátor ${ displaystyle U_ {i}}$ je diagram, ve kterém ${ displaystyle i}$-tý bod je připojen k ${ displaystyle (i + 1)}$-tý bod, ${ displaystyle (2n-i + 1)}$-tý bod je připojen k ${ displaystyle (2n-i)}$-tý bod a všechny ostatní body jsou připojeny k bodu přímo přes obdélník. Generátory ${ displaystyle TL_ {5} ( delta)}$ jsou:

Zleva doprava jednotka 1 a generátory U₁, U₂, U₃, U₄.

Jonesovy vztahy lze vidět graficky:

= ${ displaystyle delta}$

=

=

Temperley – Lieb Hamiltonian

Zvažte model interakce kolem obličeje, např. čtverec mřížový model a nechte ${ displaystyle L}$ být počet míst v mřížce. Sleduji Temperley a Lieb^[1] definujeme Temperley – Lieb Hamiltonian (TL Hamiltonian) jako

${ displaystyle { mathcal {H}} = součet _ {j = 1} ^ {L-1} ( delta -U_ {j})}$

Aplikace

V následujícím budeme uvažovat o zvláštním případě ${ displaystyle delta = 1}$.

Nejprve zvážíme případ ${ displaystyle L = 3}$. TL Hamiltonian je ${ displaystyle { mathcal {H}} = 2-e_ {1} -e_ {2}}$, jmenovitě

${ displaystyle { mathcal {H}}}$ = 2 - - .

Máme dva možné stavy,

a .

V jednání ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ na těchto státech zjistíme

${ displaystyle { mathcal {H}}}$ = 2 - - = - ,

a

${ displaystyle { mathcal {H}}}$ = 2 - - = - + .

Psaní ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ jako matice na základě možných stavů, které máme,

${ displaystyle { mathcal {H}} = left ({ begin {array} {rr} 1 & -1 - 1 & 1 end {pole}} right)}$

Vlastní vektor ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ s Nejnižší vlastní číslo je známý jako základní stav. V tomto případě nejnižší vlastní hodnota ${ displaystyle lambda _ {0}}$ pro ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ je ${ displaystyle lambda _ {0} = 0}$. Korespondence vlastní vektor je ${ displaystyle psi _ {0} = (1,1)}$. Protože měníme počet stránek ${ displaystyle L}$ najdeme následující tabulku^[2]

${ displaystyle L}$	${ displaystyle psi _ {0}}$	${ displaystyle L}$	${ displaystyle psi _ {0}}$
2	(1)	3	(1, 1)
4	(2, 1)	5	${ displaystyle (3_ {3}, 1_ {2})}$
6	${ displaystyle (11,5_ {2}, 4,1)}$	7	${ displaystyle (26_ {4}, 10_ {2}, 9_ {2}, 8_ {2}, 5_ {2}, 1_ {2})}$
8	${ displaystyle (170,75_ {2}, 71,56_ {2}, 50,30,14_ {4}, 6,1)}$	9	${ displaystyle (646, ldots)}$
${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$	${ displaystyle vdots}$

kde jsme použili notaci ${ displaystyle m_ {n} = (m, ldots, m)}$ ${ displaystyle n}$-krát např. ${ displaystyle 5_ {2} = (5,5)}$.

Kombinatorické vlastnosti

Zajímavým pozorováním je, že největší složky základního stavu ${ displaystyle { mathcal {H}}}$ mít kombinatorický výčet, protože měníme počet stránek,^[3] jak poprvé pozoroval Murray Batchelor Jan de Gier a Bernard Nienhuis.^[2] Využívání zdrojů on-line encyklopedie celočíselných sekvencí, Batchelor et al. nalezeno pro sudý počet stránek

${ displaystyle 1,2,11,170, ldots = prod _ {j = 0} ^ {n-1} left (3j + 1 right) { frac {(2j)! (6j)!} {( 4j)! (4j + 1)!}}}$

a pro lichý počet webů

${ displaystyle 1,3,26,646, ldots = prod _ {j = 0} ^ {n-1} (3j + 2) { frac {(2j + 2)! (6j + 3)!} {( 4j + 2)! (4j + 3)!}}.}$

Tyto sekvence překvapivě odpovídaly dobře známým kombinatorickým objektům. Pro ${ displaystyle L}$ dokonce i toto (sekvence A051255 v OEIS ) odpovídá cyklicky symetrickým oddílům roviny transpozice komplementu a pro ${ displaystyle L}$ liché, (sekvence A005156 v OEIS ), tyto odpovídají ${ displaystyle (2n + 1) krát (2n + 1)}$ matice střídavého znaménka symetrický kolem svislé osy.

Reference

Další čtení

• Kauffman, Louis H. (1987). "Státní modely a Jonesův polynom". Topologie. 26 (3): 395–407. doi:10.1016/0040-9383(87)90009-7. PAN  0899057.
• Baxter, Rodney J. (1982). Přesně řešené modely ve statistické mechanice. Londýn: Academic Press Inc. ISBN  0-12-083180-5. PAN  0690578.