Zjednodušená homologie - Simplicial homology - Wikipedia

v algebraická topologie, zjednodušená homologie je posloupnost homologické skupiny a zjednodušený komplex. Formalizuje představu o počtu děr dané dimenze v komplexu. Tím se zobecní počet připojené komponenty (případ dimenze 0).

Jako způsob studia vznikla jednoduchá homologie topologické prostory jehož stavební kameny jsou n-jednoduchosti, n-dimenzionální analogie trojúhelníků. To zahrnuje bod (0-simplex), úsečku (1-simplex), trojúhelník (2-simplex) a čtyřstěn (3-simplex). Podle definice takový prostor je homeomorfní do a zjednodušený komplex (přesněji geometrická realizace z abstraktní zjednodušený komplex ). Takový homeomorfismus se označuje jako a triangulace daného prostoru. Mnoho topologických prostorů zájmu lze triangulovat, včetně všech hladkých potrubí (Cairns a Whitehead ).^[1]^{:bod 5.3.2}

Zjednodušená homologie je definována jednoduchým receptem na jakýkoli abstraktní zjednodušený komplex. Je pozoruhodným faktem, že zjednodušená homologie závisí pouze na přidruženém topologickém prostoru.^[2]^:8.6 Výsledkem je vypočítatelný způsob, jak odlišit jeden prostor od druhého.

Definice

Hranice hranice 2-simplexu (vlevo) a hranice 1-řetězce (vpravo) jsou převzaty. Oba jsou 0, což jsou součty, ve kterých se kladný i záporný 0-simplex vyskytují jednou. Hranice hranice je vždy 0. Netriviální cyklus je něco, co se uzavírá jako hranice simplexu v tom, že jeho hranice se rovná 0, ale ve skutečnosti to není hranice simplexu nebo řetězce. Protože triviální 1 cykly jsou ekvivalentní 0 in

{ displaystyle H_ {1}}

, 1-cyklus vpravo uprostřed je homologní k jeho součtu s hranicí 2-simplexu vlevo.

Orientace

Klíčovým pojmem při definování zjednodušené homologie je pojem orientace simplexu. Podle definice je orientace a k-simplex je dán uspořádáním vrcholů, zapsaných jako (proti₀,...,proti_k), s pravidlem, že dvě uspořádání definují stejnou orientaci právě tehdy, pokud se liší o dokonce permutace. Každý simplex má tedy přesně dvě orientace a přepnutí pořadí dvou vrcholů změní orientaci na opačnou orientaci. Například výběr orientace jednostranného jednostranného výběru znamená výběr jednoho ze dvou možných směrů a výběr orientace jednostranného jednostranného výběru toho, co by mělo znamenat „proti směru hodinových ručiček“.

Řetězy

Nechat S být zjednodušeným komplexem. A zjednodušený k-řetěz je konečný formální součet

{ displaystyle sum _ {i = 1} ^ {N} c_ {i} sigma _ {i}, ,}

kde každý C_i je celé číslo a σ_i je orientovaný k-jednodušší. V této definici deklarujeme, že každý orientovaný simplex se rovná negativu simplexu s opačnou orientací. Například,

{ displaystyle (v_ {0}, v_ {1}) = - (v_ {1}, v_ {0}).}

Skupina k-řetězce na S je psáno C_k. Tohle je bezplatná abelianská skupina který má základ v osobní korespondenci se sadou k-jednoduchosti v S. Chcete-li explicitně definovat základ, musíte zvolit orientaci každého simplexu. Jedním ze standardních způsobů, jak toho dosáhnout, je zvolit uspořádání všech vrcholů a dát každému simplexu orientaci odpovídající indukovanému uspořádání jeho vrcholů.

Hranice a cykly

Nechť σ = (proti₀,...,proti_k) být orientovaný k-simplex, považováno za základní prvek C_k. The hraniční operátor

{ displaystyle částečné _ {k}: C_ {k} pravá šipka C_ {k-1}}

je homomorfismus definován:

{ displaystyle částečné _ {k} ( sigma) = součet _ {i = 0} ^ {k} (- 1) ^ {i} (v_ {0}, tečky, { widehat {v_ {i }}}, tečky, v_ {k}),}

kde orientovaný simplex

{ displaystyle (v_ {0}, tečky, { widehat {v_ {i}}}, tečky, v_ {k})}

je i^th tvář σ, získané odstraněním jeho i^th vrchol.

v C_k, prvky podskupiny

{ displaystyle Z_ {k}: = ker částečné _ {k}}

jsou označovány jako cyklya podskupina

{ displaystyle B_ {k}: = operatorname {im} částečný _ {k + 1}}

se říká, že se skládá z hranice.

Hranice hranic

Přímý výpočet ukazuje, že ∂² = 0. Geometricky to znamená, že hranice čehokoli nemá hranice. Ekvivalentně, abelianské skupiny

{ displaystyle (C_ {k}, částečné _ {k})}

tvoří a řetězový komplex. Další ekvivalentní prohlášení je toto B_k je obsažen v Z_k.

Jako příklad zvažte čtyřstěn s vrcholy orientovanými jako w, x, y, z. Podle definice je jeho hranice dána vztahem: xyz - wyz + wxz - wxy. Hranice hranice je dána vztahem: (yz-xz + xy) - (yz-wz + wy) + (xz-wz + wx) - (xy-wy + wx) = 0.

Zjednodušený komplex se 2 1 otvory

Skupiny homologie

The k^th homologická skupina H_k z S je definován jako kvocient abelianská skupina

{ displaystyle H_ {k} (S) = Z_ {k} / B_ {k} ,.}

Z toho vyplývá, že skupina homologie H_k(S) je nenulová přesně, když tam jsou k-cykly dál S které nejsou hranicemi. V jistém smyslu to znamená, že existují k-rozměrné otvory v komplexu. Zvažte například komplex S získáno slepením dvou trojúhelníků (bez vnitřku) podél jednoho okraje, zobrazeného na obrázku. Okraje každého trojúhelníku lze orientovat tak, aby tvořily cyklus. Tyto dva cykly jsou konstrukcí ne hranicemi (protože každý 2-řetězec je nulový). Lze vypočítat tuto skupinu homologie H₁(S) je izomorfní s Z², se základem daným dvěma zmíněnými cykly. Toto upřesňuje neformální myšlenku S má dva „jednorozměrné otvory“.

Otvory mohou mít různé rozměry. The hodnost z kth homology group, the number

{ displaystyle beta _ {k} = operatorname {hodnost} (H_ {k} (S)) ,}

se nazývá kth Betti číslo z S. Poskytuje míru počtu k-rozměrné otvory v S.

Příklad

Homologické skupiny trojúhelníku

Nechat S být trojúhelník (bez jeho vnitřku), vnímaný jako zjednodušený komplex. Tím pádem S má tři vrcholy, které nazýváme proti₀, proti₁, proti₂a tři hrany, což jsou jednorozměrná zjednodušení. Vypočítat homologické skupiny Szačneme popisem řetězových skupin C_k:

C₀ je izomorfní s Z³ na základě (proti₀), (proti₁), (proti₂),
C₁ je izomorfní s Z³ se základem daným orientovanými 1-jednoduchými (proti₀, proti₁), (proti₀, proti₂), a (proti₁, proti₂).
C₂ je triviální skupina, protože neexistuje žádný simplex jako ${ displaystyle (v_ {0}, v_ {1}, v_ {2})}$ protože trojúhelník byl předpokládán bez jeho vnitřku. Stejně tak jsou řetězce v jiných dimenzích.

The hraniční homomorfismus ∂: C₁ → C₀ darováno:

{ displaystyle částečné (v_ {0}, v_ {1}) = (v_ {1}) - (v_ {0})}

{ displaystyle částečné (v_ {0}, v_ {2}) = (v_ {2}) - (v_ {0})}

{ displaystyle částečné (v_ {1}, v_ {2}) = (v_ {2}) - (v_ {1})}

Od té doby C₋₁ = 0, každý řetězec 0 je cyklus (tj. Z₀ = C₀); navíc skupina B₀ 0-hranic je generováno třemi prvky napravo od těchto rovnic, čímž se vytváří dvourozměrná podskupina C₀. Takže 0. skupina homologie H₀(S) = Z₀/B₀ je izomorfní s Z, se základem daným (například) obrazem 0-cyklu (proti₀). Ve skutečnosti se všechny tři vrcholy ve skupině kvocientů stanou rovnocennými; to vyjadřuje skutečnost, že S je připojeno.

Dále je skupina 1-cyklů jádrem homomorfismu ∂ výše, které je izomorfní s Z, se základem daným (například) (proti₀,proti₁) − (proti₀,proti₂) + (proti₁,proti₂). (Obrázek ukazuje, že tento 1 cyklus obíhá trojúhelník v jednom ze dvou možných směrů.) Protože C₂ = 0, skupina 1-hranic je nula, a tak 1. skupina homologie H₁(S) je izomorfní s Z/0 ≅ Z. Díky tomu je přesná představa, že trojúhelník má jednu jednorozměrnou díru.

Dále, protože podle definice neexistují žádné 2 cykly, C₂ = 0 ( triviální skupina ). Proto 2. skupina homologie H₂(S) je nula. Totéž platí pro H_i(S) pro všechny i nerovná se 0 nebo 1.

Homologické skupiny vícerozměrných jednoduchostí

Nechat S být čtyřstěn (bez jeho vnitřku), nahlíženo jako na zjednodušující komplex. Tím pádem S má čtyři 0-rozměrné vrcholy, šest 1-rozměrných hran a čtyři 2-rozměrné plochy. Konstrukce homologických skupin čtyřstěnu je podrobně popsána zde.^[3] Ukázalo se, že H₀(S) je izomorfní s Z, H₂(S) je izomorfní s Z a všechny ostatní skupiny jsou triviální.

Pokud čtyřstěn obsahuje svůj vnitřek, pak H₂(S) je také triviální.

Obecně, pokud S je d-dimenzionální simplex, platí následující:

Li S je tedy uvažován bez jeho vnitřku H₀(S) = Z a H_d₋₁(S) = Z a všechny ostatní homologie jsou triviální;
Li S je tedy uvažován s jeho interiérem H₀(S) = Z a všechny ostatní homologie jsou triviální.

Zjednodušené mapy

Nechat S a T být zjednodušené komplexy. A zjednodušená mapa F z S na T je funkce ze sady vrcholů S k vrcholovému souboru T tak, že obraz každého simplexu v S (zobrazeno jako sada vrcholů) je simplexní T. Zjednodušená mapa F: S → T určuje homomorfismus skupin homologie H_k(S) → H_k(T) pro každé celé číslo k. Toto je homomorfismus spojený s a řetězová mapa z řetězového komplexu S do komplexu řetězců T. Tato mapa řetězů je výslovně uvedena na k-řetězce

{ displaystyle f ((v_ {0}, ldots, v_ {k})) = (f (v_ {0}), ldots, f (v_ {k}))}

-li F(proti₀), ..., F(proti_k) jsou všechny odlišné a jinak F((proti₀, ..., proti_k)) = 0.

Tato konstrukce zjednodušuje homologii a funktor od jednoduchých komplexů po abelianské skupiny. To je zásadní pro aplikace teorie, včetně Brouwerova věta o pevném bodě a topologická invariance zjednodušené homologie.

Související homologie

Singulární homologie je příbuzná teorie, která je lépe přizpůsobena teorii než výpočtu. Singulární homologie je definována pro všechny topologické prostory a zjevně závisí pouze na topologii, nikoli na jakékoli triangulaci; a souhlasí se zjednodušenou homologií prostorů, které lze triangulovat.^[4]^:thm.2.27 Protože je však možné vypočítat zjednodušenou homologii zjednodušeného komplexu automaticky a efektivně, stala se zjednodušená homologie důležitou pro aplikaci v reálných situacích, jako je například analýza obrazu, lékařské zobrazování, a analýza dat obecně.

Další související teorie je Buněčná homologie.

Aplikace

Standardní scénář v mnoha počítačových aplikacích je soubor bodů (měření, tmavé pixely na bitové mapě atd.), Ve kterých si přejeme najít topologický rys. Homologie může sloužit jako kvalitativní nástroj k hledání takové funkce, protože je snadno vypočítatelná z kombinatorických dat, jako je například zjednodušený komplex. Nejprve však musí být datové body trojúhelníkové, což znamená, že jeden nahradí data zjednodušenou komplexní aproximací. Výpočet trvalá homologie^[5] zahrnuje analýzu homologie v různých rozlišeních, registraci tříd homologie (děr), které přetrvávají při změně rozlišení. Tyto funkce lze použít k detekci struktur molekul, nádorů v rentgenovém záření a shlukových struktur ve složitých datech.

Obecněji řečeno, zjednodušená homologie hraje ústřední roli v topologická analýza dat, technika v oboru dolování dat.

Implementace

A MATLAB sada nástrojů pro výpočet trvalé homologie, Plex (Vin de Silva, Gunnar Carlsson ), je k dispozici na tato stránka.
Samostatné implementace v C ++ jsou k dispozici jako součást Perseus a Dionýsos softwarové projekty.

Viz také

Jednoduchá homotopy

Reference

^ Prasolov, V. V. (2006), Prvky kombinatorické a diferenciální topologie, Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-3809-1, PAN 2233951
^ Armstrong, M. A. (1983), Základní topologie, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90839-0, PAN 0705632
^ Wildberger, Norman J. (2012). „Další výpočty homologie“.
^ Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, PAN 1867354
^ Edelsbrunner, H .; Letscher, D .; Zomorodian, A. (2002). „Topologická perzistence a zjednodušení“. Diskrétní výpočet. Geom. 28: 511–533. doi:10.1007 / s00454-002-2885-2.
Robins, V. (léto 1999). „Směrem k homologii výpočtu z konečných aproximací“ (PDF). Sborník topologie. 24.

externí odkazy

[1] Prasolov, V. V. (2006), Prvky kombinatorické a diferenciální topologie, Americká matematická společnost, ISBN 0-8218-3809-1, PAN 2233951

[2] Armstrong, M. A. (1983), Základní topologie, Springer-Verlag, ISBN 0-387-90839-0, PAN 0705632

[3] Wildberger, Norman J. (2012). „Další výpočty homologie“.

[4] Hatcher, Allen (2002), Algebraická topologie, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0, PAN 1867354

[5] Edelsbrunner, H .; Letscher, D .; Zomorodian, A. (2002). „Topologická perzistence a zjednodušení“. Diskrétní výpočet. Geom. 28: 511–533. doi:10.1007 / s00454-002-2885-2.
Robins, V. (léto 1999). „Směrem k homologii výpočtu z konečných aproximací“ (PDF). Sborník topologie. 24.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]