Kompletní kategorie - Complete category - Wikipedia

v matematika, a úplná kategorie je kategorie ve kterém všechny malé limity existovat. To je kategorie C je kompletní, pokud každý diagram F : J → C (kde J je malý ) má limit v C. Duálně, a úplná kategorie je ten, ve kterém jsou všechny malé kolimity existovat. A bicomplete kategorie je kategorie, která je úplná i úplná.

Existence Všechno limity (i když J je správná třída ) je příliš silný na to, aby byl prakticky relevantní. Jakákoli kategorie s touto vlastností je nutně a tenká kategorie: u jakýchkoli dvou objektů může existovat maximálně jeden morfismus od jednoho objektu k druhému.

Slabší formou úplnosti je konečná úplnost. Kategorie je konečně kompletní pokud existují všechny konečné limity (tj. limity diagramů indexovaných konečnou kategorií J). Duálně je kategorie konečně cocomplete pokud existují všechny konečné kolimity.

Věty

Vyplývá to z teorém existence pro limity že je kategorie úplná kdyby a jen kdyby má to ekvalizéry (ze všech párů morfismů) a všechny (malé) produkty. Protože ekvalizéry mohou být konstruovány z odvolání a binární produkty (zvažte vrácení (F, G) podél úhlopříčky Δ) je kategorie úplná, pouze pokud má pullbacky a produkty.

Dvojitě je kategorie dokončena právě tehdy, pokud ano ekvalizéry a vše (malé) koprodukty, nebo ekvivalentně tlačení a koprodukty.

Konečnou úplnost lze charakterizovat několika způsoby. Pro kategorii C, všechny jsou ekvivalentní:

• C je konečně kompletní,
• C má ekvalizéry a všechny konečné produkty,
• C má ekvalizéry, binární produkty a a koncový objekt,
• C má odvolání a koncový objekt.

Duální prohlášení jsou také ekvivalentní.

A malá kategorie C je kompletní, pouze pokud je kompletní.^[1] Malá úplná kategorie je nutně tenká.

A posetální kategorie vakuously má všechny ekvalizéry a ekvalizéry, odkud je (konečně) úplný, právě když má všechny (konečné) produkty, a duálně pro úplnost. Bez omezení konečnosti je posetální kategorie se všemi produkty automaticky dokončena a duálně pomocí věty o úplných mřížkách.

Příklady a žádné příklady

• Následující kategorie jsou dvojkompletní:
  • Soubor, kategorie sad
  • Horní, kategorie topologických prostorů
  • Grp, kategorie skupin
  • Ab, kategorie abelianských skupin
  • Prsten, kategorie prstenů
  • K.-Vect, kategorie vektorových prostorů přes pole K.
  • R-Mod, kategorie modulů přes komutativní prsten R
  • CmptHkategorie všech kompaktní Hausdorffovy prostory
  • Kočka, kategorie všech malých kategorií
  • Whlkategorie kola
  • sSetkategorie jednoduché sady^[2]
• Následující kategorie jsou konečně úplné a konečně cocomplete, ale ani úplné, ani cocomplete:
  • Kategorie konečné množiny
  • Kategorie konečné abelianské skupiny
  • Kategorie konečně-dimenzionální vektorové prostory
• Jakékoli (před )abelianská kategorie je konečně kompletní a konečně cocomplete.
• Kategorie kompletní mříže je kompletní, ale není kompletní.
• The kategorie metrických prostorů, Se setkal, je konečně kompletní, ale nemá ani binární koprodukty, ani nekonečné produkty.
• The kategorie polí, Pole, není ani konečně kompletní, ani konečně cocomplete.
• A poset, považovaná za malou kategorii, je úplná (a dokončená) právě tehdy, pokud se jedná o a úplná mříž.
• The částečně objednaná třída ze všech řadové číslovky je kompletní, ale není kompletní (protože nemá žádný koncový objekt).
• Skupina, která je považována za kategorii s jediným objektem, je úplná, pouze pokud je triviální. Netriviální skupina má zpětná volání a tlaky, ale ne produkty, koprodukty, ekvalizéry, koekvalizátory, terminálové objekty nebo počáteční objekty.

Reference

Další čtení

• Adámek, Jiří; Horst Herrlich; George E. Strecker (1990). Abstraktní a konkrétní kategorie (PDF). John Wiley & Sons. ISBN  0-471-60922-6.
• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky 5 ((2. vyd.) Vyd.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.