Kan fibrace - Kan fibration - Wikipedia

V matematice Kan komplexy a Fibrace kan jsou součástí teorie jednoduché sady. Fibrace kanálu jsou fibrace standardu kategorie modelu struktura na zjednodušených množinách, a mají proto zásadní význam. Kan komplexy jsou vláknité předměty v této modelové kategorii. Jméno je na počest Daniel Kan.

Definice

Definice standardního n-simplexu

Aby tato mapa mohla být fibrilace Kan, pruhovaný modrý simplex v doméně musí existovat

Pro každého n ≥ 0, připomenout, že Standard ${ displaystyle n}$-jednodušší, ${ displaystyle Delta ^ {n}}$, je reprezentativní zjednodušená množina

${ displaystyle Delta ^ {n} (i) = mathrm {Hom} _ { mathbf { Delta}} ([i], [n])}$

Uplatnění geometrická realizace funktor této zjednodušené množiny dává homeomorfní prostor pro topologický standard ${ displaystyle n}$-jednodušší: konvexní podprostor ℝ^{n + 1} skládající se ze všech bodů ${ displaystyle (t_ {0}, tečky, t_ {n})}$ takové, že souřadnice jsou nezáporné a sečtou se k 1.

Definice horn

Pro každého k ≤ n, toto má subkomplex ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {n}}$, k-tý roh uvnitř ${ displaystyle Delta ^ {n}}$, což odpovídá hranici n- jednoduché, s k-tá tvář odstraněna. To lze formálně definovat různými způsoby, například sjednocením obrazů n mapy ${ displaystyle Delta ^ {n-1} rightarrow Delta ^ {n}}$ odpovídá všem ostatním tvářím ${ displaystyle Delta ^ {n}}$.^[1] Rohy formy ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {2}}$ sedí uvnitř ${ displaystyle Delta ^ {2}}$ vypadat jako černé V v horní části sousedního obrázku. Li ${ displaystyle X}$ je zjednodušená množina, pak mapy

${ displaystyle s: Lambda _ {k} ^ {n} až X}$

odpovídají sbírkám ${ displaystyle n}$ ${ displaystyle (n-1)}$-jednoduchosti splňující podmínku kompatibility, pro každou jednu ${ displaystyle 0 leq k leq n-1}$. Explicitně lze tuto podmínku zapsat následovně. Napsat ${ displaystyle (n-1)}$-jednoduchosti jako seznam ${ displaystyle (s_ {0}, dots, s_ {k-1}, s_ {k + 1}, dots, s_ {n})}$ a vyžadovat to

${ displaystyle d_ {i} s_ {j} = d_ {j-1} s_ {i} ,}$ pro všechny ${ displaystyle i$ s ${ displaystyle i, j neq k}$.^[2]

Tyto podmínky jsou pro ${ displaystyle (n-1)}$-jednoduchosti ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {n}}$ sedí uvnitř ${ displaystyle Delta ^ {n}}$.

Definice fibrace Kan

Zvedací diagram pro Kanovu fibraci

Mapa jednoduchých množin ${ displaystyle f: X rightarrow Y}$ je Kan fibrace pokud vůbec ${ displaystyle n geq 1}$ a ${ displaystyle 0 leq k leq n}$a pro všechny mapy ${ displaystyle s: Lambda _ {k} ^ {n} rightarrow X}$ a ${ displaystyle y: Delta ^ {n} rightarrow Y ,}$ takhle ${ displaystyle f circ s = y circ i}$ (kde ${ displaystyle i}$ je zahrnutí ${ displaystyle Lambda _ {k} ^ {n}}$ v ${ displaystyle Delta ^ {n}}$), existuje mapa ${ displaystyle x: Delta ^ {n} rightarrow X}$ takhle ${ displaystyle s = x circ i}$ a ${ displaystyle y = f circ x}$. Takto vyjádřeno je definice velmi podobný k tomu z fibrace v topologie (viz také homotopy zvedací vlastnost ), odkud pochází název „fibrace“.

Technické poznámky

Pomocí korespondence mezi ${ displaystyle n}$- jednoduchosti zjednodušené množiny ${ displaystyle X}$ a morfismy ${ displaystyle Delta ^ {n} až X}$ (důsledek Yoneda lemma ), tato definice může být napsána ve smyslu jednoduchostí. Obrázek mapy ${ displaystyle fs: Lambda _ {k} ^ {n} do Y}$ lze považovat za roh, jak je popsáno výše. Ptám se na to ${ displaystyle fs}$ faktory ${ displaystyle yi}$ odpovídá požadavku, že existuje ${ displaystyle n}$-simplex in ${ displaystyle Y}$ jejichž tváře tvoří roh ${ displaystyle fs}$ (společně s jednou další tváří). Poté požadovaná mapa ${ displaystyle x: Delta ^ {n} až X}$ odpovídá simplexu v ${ displaystyle X}$ jehož tváře zahrnují roh z ${ displaystyle s}$. Diagram vpravo je příklad ve dvou rozměrech. Protože černé V ve spodním diagramu je vyplněno modrou ${ displaystyle 2}$-simplex, pokud černé V nahoře mapuje dolů, pak pruhované modré ${ displaystyle 2}$-simplex musí existovat spolu s tečkovanou modrou ${ displaystyle 1}$-simplex, mapování dolů zřejmým způsobem.^[3]

Kan komplexy definované z kan fibrací

Zjednodušená sada ${ displaystyle X}$ se nazývá a Kan komplex pokud je mapa z ${ displaystyle X až {* }}$, jednobodová zjednodušená množina, je Kanova fibrace. V kategorie modelu pro jednoduché sady, ${ displaystyle {* }}$ je koncový objekt, a tak je komplex Kan úplně stejný jako a vláknitý předmět. Ekvivalentně by se to dalo konstatovat jako: kdyby každá mapa ${ displaystyle alpha: Lambda _ {k} ^ {n} až X}$ z rohu má příponu do ${ displaystyle Delta ^ {n}}$, což znamená, že je zde výtah ${ displaystyle { tilde { alpha}}: Delta ^ {n} až X}$ takhle

${ displaystyle alpha = { tilde { alpha}} circ iota}$

pro mapu zařazení ${ displaystyle iota: Lambda _ {k} ^ {n} hookrightarrow Delta ^ {n}}$, pak ${ displaystyle X}$ je komplex Kan. Naopak, každý komplex Kan má tuto vlastnost, a proto poskytuje jednoduchý technický stav pro komplex Kan.

Příklady

Zjednodušené množiny ze singulární homologie

Důležitý příklad pochází z konstrukce singulární jednoduchosti slouží k definování singulární homologie, volal singulární funktor^[4]str

${ displaystyle S: { text {Top}} to s { text {sady}}}$.

Dostal prostor ${ displaystyle X}$, definovat jednotné číslo ${ displaystyle n}$-simplex X, který má být spojitou mapou ze standardní topologie ${ displaystyle n}$-simplex (jak je popsáno výše) do ${ displaystyle X}$,

${ displaystyle f: Delta _ {n} až X}$

Vezmeme sadu těchto map pro všechny nezáporné ${ displaystyle n}$ dává odstupňovanou množinu,

${ displaystyle S (X) = coprod _ {n} S_ {n} (X)}$.

Chcete-li z toho udělat jednoduchou sadu, definujte mapy tváří ${ displaystyle d_ {i}: S_ {n} (X) až S_ {n-1} (X)}$ podle

${ displaystyle (d_ {i} f) (t_ {0}, tečky, t_ {n-1}) = f (t_ {0}, tečky, t_ {i-1}, 0, t_ {i} , dots, t_ {n-1}) ,}$

a mapy degenerace ${ displaystyle s_ {i}: S_ {n} (X) až S_ {n + 1} (X)}$ podle

${ displaystyle (s_ {i} f) (t_ {0}, tečky, t_ {n + 1}) = f (t_ {0}, tečky, t_ {i-1}, t_ {i} + t_ {i + 1}, t_ {i + 2}, dots, t_ {n + 1}) ,}$.

Vzhledem k tomu, že svazek všech ${ displaystyle n + 1}$ tváře ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$ je silný zatažení deformace z ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$, lze libovolnou spojitou funkci definovanou na těchto plochách rozšířit na ${ displaystyle Delta _ {n + 1}}$, což ukazuje, že ${ displaystyle S (X)}$ je komplex Kan.^[5]

Vztah s geometrickou realizací

Stojí za zmínku, že singulární funktor je pravý adjoint do funktor geometrické realizace

${ displaystyle | cdot |: s { text {sady}} na { text {začátek}}}$

dávat izomorfismus

${ displaystyle { text {Hom}} _ { text {Top}} (| X |, Y) cong { text {Hom}} _ {s { text {sady}}} (X, S ( Y))}$

Simpliciální sady podkladových zjednodušujících skupin

Je možné ukázat, že základní sada a zjednodušená skupina je vždy vláknitý^[4]str. Zejména pro a zjednodušená abelianská skupina, jeho geometrická realizace je homotopie ekvivalentní produktu Eilenberg-Maclaneových prostorů

${ displaystyle prod _ {i v I} K (A_ {i}, n_ {i})}$

To zahrnuje zejména klasifikace mezer. Takže mezery ${ displaystyle S ^ {1} simeq K ( mathbb {Z}, 1)}$, ${ displaystyle mathbb {CP} ^ { infty} simeq K ( mathbb {Z}, 2)}$a nekonečné prostory pro čočky ${ displaystyle L_ {q} ^ { infty} simeq K ( mathbb {Z} / q, 2)}$ odpovídají Kanovým komplexům nějaké zjednodušené množiny. Ve skutečnosti lze tuto sadu sestavit explicitně pomocí Dold – Kan korespondence řetězového komplexu a převzetí základní zjednodušené sady zjednodušené abelianské skupiny.

Geometrické realizace malých grupoidů

Dalším důležitým zdrojem příkladů jsou zjednodušené množiny spojené s malým grupoidem ${ displaystyle { mathcal {G}}}$. To je definováno jako geometrická realizace zjednodušené množiny ${ displaystyle [ Delta ^ {op}, { mathcal {G}}]}$ a je obvykle označován ${ displaystyle B { mathcal {G}}}$. Mohli jsme také vyměnit ${ displaystyle { mathcal {G}}}$ s nekonečným groupoidem. Předpokládá se, že kategorie homotopy geometrických realizací nekonečných grupoidů je ekvivalentní kategorii homotopy typů homotopy. Tomu se říká hypotéza homotopy.

Nepříklad: standardní n-simplex

Ukázalo se to jako standard ${ displaystyle n}$-jednoduchý ${ displaystyle Delta ^ {n}}$ není komplex Kan^{[6]str. 38}. Konstrukci příkladu pultu obecně lze najít při pohledu na příklad s nízkou dimenzí ${ displaystyle Delta ^ {1}}$. Pořizování mapy ${ displaystyle Lambda _ {0} ^ {2} do Delta ^ {1}}$ odesílání

${ displaystyle { begin {matrix} [0,2] mapsto [0,0] & [0,1] mapsto [0,1] end {matrix}}}$

uvádí příklad počítadla, protože jej nelze rozšířit na mapu ${ displaystyle Delta ^ {2} do Delta ^ {1}}$ protože mapy musí být zachovány. Pokud by tam byla mapa, musela by se poslat

${ displaystyle { begin {zarovnáno} 0 mapsto 0 1 mapsto 1 2 mapsto 0 end {zarovnáno}}}$

ale toto není mapa jednoduchých množin.

Kategorické vlastnosti

Zjednodušené obohacování a funkční komplexy

Pro jednoduché sady ${ displaystyle X, Y}$ existuje přidružená zjednodušená sada zvaná funkční komplex ${ displaystyle { textbf {Hom}} (X, Y)}$, kde jsou jednoduché definovány jako

${ displaystyle { textbf {Hom}} _ {n} (X, Y) = { text {Hom}} _ {s { text {sady}}} (X times Delta ^ {n}, Y )}$

a pro pořadovou mapu ${ displaystyle theta: [m] až [n]}$ existuje indukovaná mapa

${ displaystyle theta ^ {*}: { textbf {Hom}} (X, Y) _ {n} do { textbf {Hom}} (X, Y) _ {m}}$

(protože první faktor Hom je protikladný) definovaný odesláním mapy ${ displaystyle f: X krát Delta ^ {n} na Y}$ ke složení

${ displaystyle X times Delta ^ {m} xrightarrow {1 times theta} X times Delta _ {n} xrightarrow {f} Y}$

Exponenciální zákon

Tento komplex má následující exponenciální zákon jednoduchých množin

${ displaystyle { text {ev}} _ {*}: { text {Hom}} _ {s { text {sady}}} (K, { textbf {Hom}} (X, Y)) na { text {Hom}} _ {s { text {sady}}} (X krát K, Y)}$

který posílá mapu ${ displaystyle f: K až { textbf {Hom}} (X, Y)}$ na složenou mapu

${ displaystyle X times K xrightarrow {1 times g} X times { textbf {Hom}} (X, Y) xrightarrow {ev} Y}$

kde ${ displaystyle ev (x, f) = f (x, iota _ {n})}$ pro ${ displaystyle iota _ {n} in { text {Hom}} _ { Delta} ([n], [n])}$ zvedl na n-simplex ${ displaystyle Delta ^ {n}}$.

Fibrace a stáhnutí kan

Vzhledem k (Kan) fibraci ${ displaystyle p: X až Y}$ a zahrnutí jednoduchých množin ${ displaystyle i: K hookrightarrow L}$, dochází k fibraci^{[4] str}

${ displaystyle { textbf {Hom}} (L, X) xrightarrow {(i ^ {*}, p _ {*})} { textbf {Hom}} (K, X) krát _ {{ textbf {Hom}} (K, Y)} { textbf {Hom}} (L, Y)}$

(kde ${ displaystyle { textbf {Hom}}}$ je v komplexu funkcí v kategorii jednoduchých množin) indukovaných z komutativního diagramu

${ displaystyle { begin {matrix} { textbf {Hom}} (L, X) & xrightarrow {p _ {*}} & { textbf {Hom}} (L, Y) i ^ {*} downarrow && downarrow i ^ {*} { textbf {Hom}} (K, X) & xrightarrow {p _ {*}} & { textbf {Hom}} (K, Y) end {matice }}}$

kde ${ displaystyle i ^ {*}}$ je zpětná mapa daná předkompozicí a ${ displaystyle p _ {*}}$ je dopředná mapa daná postkompozicí. Zejména vyplývá z předchozí fibrace ${ displaystyle p _ {*}: { textbf {Hom}} (L, X) do { textbf {Hom}} (L, Y)}$ a ${ displaystyle i ^ {*}: { textbf {Hom}} (L, Y) do { textbf {Hom}} (K, Y)}$ jsou fibrace.

Aplikace

Homotopické skupiny komplexů Kan

The homotopické skupiny Fibrantova zjednodušená množina může být definována kombinačně pomocí rohů způsobem, který souhlasí s homotopy skupin topologického prostoru, který to realizuje. Pro komplex Kan ${ displaystyle X}$ a vrchol ${ displaystyle x: Delta ^ {0} až X}$jako sada ${ displaystyle pi _ {n} (X, x)}$ je definován jako soubor map ${ displaystyle alpha: Delta ^ {n} až X}$ jednoduchých množin zapadajících do určitého komutativního diagramu:

${ displaystyle pi _ {n} (X, x) = left { alpha: Delta ^ {n} do X: { begin {matrix} Delta ^ {n} & { overset { alpha} { to}} & X uparrow && uparrow x částečné Delta ^ {n} & to & Delta ^ {0} end {matrix}} right }}$

Všimněte si skutečnosti ${ displaystyle částečné Delta ^ {n}}$ je namapován na bod je ekvivalentní s definicí koule ${ displaystyle S ^ {n}}$ jako kvocient ${ displaystyle B ^ {n} / částečné B ^ {n}}$ pro standardní jednotkovou kouli

${ displaystyle B ^ {n} = {x in mathbb {R} ^ {n}: || x || _ {eu} leq 1 }}$

Definování struktury skupiny vyžaduje trochu více práce. V zásadě jsou uvedeny dvě mapy ${ displaystyle alpha, beta: Delta ^ {n} až X}$ existuje přidružený ${ displaystyle (n + 1)}$-jednodušší ${ displaystyle omega: Delta ^ {n + 1} až X}$ takhle ${ displaystyle d_ {n} omega: Delta ^ {n} až X}$ dává jejich přidání. Tato mapa je dobře definovaná až do jednoduchých tříd homotopy map, což dává strukturu skupiny. Navíc skupiny ${ displaystyle pi _ {n} (X, x)}$ jsou Abelian pro ${ displaystyle n geq 2}$. Pro ${ displaystyle pi _ {0} (X)}$, je definována jako třídy homotopy ${ displaystyle [x]}$ vrcholných map ${ displaystyle x: Delta ^ {0} až X}$.

Homotopy skupiny jednoduchých sad

Pomocí modelových kategorií libovolná zjednodušená množina ${ displaystyle X}$ má vláknitou náhradu ${ displaystyle { hat {X}}}$ což je homotopy ekvivalentní ${ displaystyle X}$ v kategorii homotopy jednoduchých sad. Potom homotopické skupiny ${ displaystyle X}$ lze definovat jako

${ displaystyle pi _ {n} (X, x): = pi _ {n} ({ hat {X}}, { hat {x}})}$

kde ${ displaystyle { hat {x}}}$ je výtah ${ displaystyle x: Delta ^ {0} až X}$ na ${ displaystyle { hat {X}}}$. Tyto náhrady vláken lze považovat za topologický analog řešení řetězového komplexu (například a projektivní rozlišení nebo a ploché rozlišení ).

Viz také

• Kategorie modelu
• Zjednodušená teorie homotopy
• Zjednodušeně obohacená kategorie
• Slabý komplex Kan (nazývané také kvazi-kategorie, ∞-kategorie)
• Group -grupoid

Reference

• Základní ilustrovaný úvod do jednoduchých množin

Bibliografie

• Goerss, Paul G .; Jardine, John F. (1999). Teorie zjednodušené homotopy. Basilej: Birkhäuser Basel. doi:10.1007/978-3-0348-8707-6. ISBN  978-3-0348-9737-2. PAN  1711612.
• May, J. Peter (1992) [1967]. Zjednodušené objekty v algebraické topologii. Chicago přednášky z matematiky. Chicago, IL: University of Chicago Press. ISBN  0-226-51180-4. PAN  1206474.