Reprezentativní funktor - Representable functor

v matematika, zejména teorie kategorií, a reprezentativní funktor je jisté funktor z libovolného kategorie do kategorie sad. Takové funktory dávají reprezentace abstraktní kategorie, pokud jde o známé struktury (tj. sady a funkce ) umožňující člověku co nejvíce využít znalosti o kategorii množin v jiných nastaveních.

Z jiného hlediska reprezentovatelné funktory pro kategorii C jsou funktory daný s C. Jejich teorie je obrovským zobecněním horní sady v posety a Cayleyho věta v teorie skupin.

Definice

Nechat C být místně malá kategorie a nechte Soubor být kategorie sad. Pro každý objekt A z C ať Hom (A,-) být domácí funktor který mapuje objekt X do sady Hom (A,X).

A funktor F : C → Soubor se říká, že je reprezentativní Pokud to je přirozeně izomorfní do Hom (A, -) pro nějaký objekt A z C. A zastoupení z F je pár (A, Φ) kde

Φ: Hom (A,–) → F

je přirozený izomorfismus.

A kontravariantní funktor G z C na Soubor je stejná věc jako funktor G : C^op → Soubor a běžně se nazývá a předheaf. Presheaf je reprezentovatelný, když je přirozeně izomorfní s kontravariantním hom-funktorem Hom (-,A) pro nějaký objekt A z C.

Univerzální prvky

Podle Yonedovo lemma, přirozené transformace z Hom (A, -) až F jsou v individuální korespondenci s prvky F(A). Vzhledem k přirozené transformaci Hom: Hom (A,–) → F odpovídající prvek u ∈ F(A) darováno

${ displaystyle u = Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A}). ,}$

Naopak vzhledem k jakémukoli prvku u ∈ F(A) můžeme definovat přirozenou transformaci Φ: Hom (A,–) → F přes

${ displaystyle Phi _ {X} (f) = (Ff) (u) ,}$

kde F je prvek Hom (A,X). Za účelem získání zastoupení F chceme vědět, kdy přirozená transformace vyvolaná u je izomorfismus. To vede k následující definici:

A univerzální prvek funktora F : C → Soubor je pár (A,u) sestávající z objektu A z C a prvek u ∈ F(A) tak, že pro každý pár (X,proti) s proti ∈ F(X) existuje jedinečný morfismus F : A → X takový, že (Ff)u = proti.

Na univerzální prvek lze pohlížet jako na univerzální morfismus z jednobodové množiny {•} do funktoru F nebo jako počáteční objekt v kategorie prvků z F.

Přirozená transformace vyvolaná prvkem u ∈ F(A) je izomorfismus právě tehdy, když (A,u) je univerzálním prvkem F. Proto jsme dospěli k závěru, že reprezentace F jsou ve vzájemné korespondenci s univerzálními prvky F. Z tohoto důvodu je běžné označovat univerzální prvky (A,u) jako reprezentace.

Příklady

• Zvažte kontravariantní funktor P : Soubor → Soubor který mapuje každou sadu na její napájecí sada a každá jeho funkce inverzní obraz mapa. K reprezentaci tohoto funktoru potřebujeme pár (A,u) kde A je sada a u je podmnožinou A, tj. prvek P(A), takže pro všechny sady X, hom-set Hom (X,A) je izomorfní s P(X) přes Φ_X(F) = (Pf)u = F⁻¹(u). Vzít A = {0,1} a u = {1}. Vzhledem k podmnožině S ⊆ X odpovídající funkce z X na A je charakteristická funkce z S.
• Zapomnětlivé funktory na Soubor jsou velmi často reprezentativní. Zapomnětlivý funktor představuje zejména (A, u) kdykoli A je volný objekt přes singletonová sada s generátorem u.
  • Zapomnětlivý funktor Grp → Soubor na kategorie skupin je reprezentováno (Z, 1).
  • Zapomnětlivý funktor Prsten → Soubor na kategorie prstenů je reprezentováno (Z[X], X), polynomiální kruh v jednom proměnná s celé číslo koeficienty.
  • Zapomnětlivý funktor Vect → Soubor na kategorie skutečných vektorových prostorů je reprezentováno (R, 1).
  • Zapomnětlivý funktor Horní → Soubor na kategorie topologických prostorů je reprezentován jakýmkoli ojedinělým topologickým prostorem s jeho jedinečným prvkem.
• A skupina G lze považovat za kategorii (dokonce i grupoid ) s jedním objektem, který označíme •. Funktor z G na Soubor pak odpovídá a G-soubor. Unikátní hom-funktor Hom (•, -) z G na Soubor odpovídá kanonickému G-soubor G s akcí levého násobení. Standardní argumenty z teorie skupin ukazují, že funktor z G na Soubor je reprezentovatelný právě tehdy, pokud odpovídá G-set je jednoduše tranzitivní (tj. a G-toror nebo halda ). Výběr reprezentace odpovídá výběru identity pro haldu.
• Nechat C být kategorií CW-komplexy s morfismy danými třídami homotopy spojitých funkcí. Pro každé přirozené číslo n existuje kontravariantní funktor Hⁿ : C → Ab který přiřazuje každému CW-komplexu jeho n^th kohomologická skupina (s celočíselnými koeficienty). Skládání s zapomnětlivý funktor máme kontravariantní funktor z C na Soubor. Brownova věta o reprezentovatelnosti v algebraické topologii říká, že tento funktor je reprezentován komplexem CW K.(Z,n) volal an Eilenberg – MacLaneův prostor.
• Nechat R být komutativní prsten s identitou, a nechť R-Mod být kategorií R- moduly. Li M a N jsou jednotkové moduly R, existuje kovariantní funktor B: R-Mod → Soubor který každému přiřadí R-modul P soubor R-bilineární mapy M × N → P a každému R- homomorfismus modulů F : P → Q funkce B(F) : B(P) → B(Q), který odesílá každou bilineární mapu G : M × N → P na bilineární mapu F∘G : M × N→Q. Funktor B je reprezentován R-modul M ⊗_R N^[1].

Vlastnosti

Jedinečnost

Reprezentace funktorů jsou jedinečné až po jedinečný izomorfismus. To znamená, že pokud (A₁, Φ₁) a (A₂, Φ₂) představují stejný funktor, pak existuje jedinečný izomorfismus φ: A₁ → A₂ takhle

${ displaystyle Phi _ {1} ^ {- 1} circ Phi _ {2} = mathrm {Hom} ( varphi, -)}$

jako přirozené izomorfismy z Homu (A₂, -) do Hom (A₁, -). Tato skutečnost snadno vyplývá z Yonedovo lemma.

Uvedeno z hlediska univerzálních prvků: if (A₁,u₁) a (A₂,u₂) představují stejný funktor, pak existuje jedinečný izomorfismus φ: A₁ → A₂ takhle

${ displaystyle (F varphi) u_ {1} = u_ {2}.}$

Zachování limitů

Reprezentativní funktory jsou přirozeně izomorfní s funktory Hom, a proto sdílejí jejich vlastnosti. Zejména (kovariantní) reprezentovatelné funktory zachovat všechny limity. Z toho vyplývá, že jakýkoli funktor, který nezachová určitou hranici, není reprezentovatelný.

Contravariant reprezentovatelné funktory berou kolimity do limitu.

Levý adjoint

Libovolný funktor K. : C → Soubor s vlevo adjoint F : Soubor → C je reprezentováno (FX, η_X(•)) kde X = {•} je singletonová sada a η je jednotka adjunktu.

Naopak, pokud K. je reprezentován dvojicí (A, u) a všechny malé copowers z A existuje v C pak K. má levý adjoint F který posílá každou sadu Já do Játh copower of A.

Proto pokud C je kategorie se všemi malými copowery, funktor K. : C → Soubor je reprezentovatelný právě tehdy, pokud má levý adjoint.

Vztah k univerzálním morfismům a sousedním

Kategorické pojmy univerzální morfismy a adjunkční funktory lze vyjádřit pomocí reprezentovatelných funktorů.

Nechat G : D → C být funktorem a nechat X být předmětem C. Pak (A, φ) je univerzální morfismus z X na G kdyby a jen kdyby (A, φ) je reprezentace funktoru Hom_C(X,G-) z D na Soubor. Z toho vyplývá, že G má levé adjoint F kdyby a jen kdyby Hom_C(X,G-) je reprezentativní pro všechny X v C. Přirozený izomorfismus Φ_X : Hom_D(FX, -) → Hom_C(X,G-) dává spojitost; to je

${ displaystyle Phi _ {X, Y} colon mathrm {Hom} _ { mathcal {D}} (FX, Y) to mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (X, GY )}$

je bijection pro všechny X a Y.

Dvojí tvrzení jsou také pravdivá. Nechat F : C → D být funktorem a nechat Y být předmětem D. Pak (A, φ) je univerzální morfismus z F na Y kdyby a jen kdyby (A, φ) je reprezentace funktoru Hom_D(F–,Y) z C na Soubor. Z toho vyplývá, že F má pravý adjoint G kdyby a jen kdyby Hom_D(F–,Y) je reprezentativní pro všechny Y v D.

Viz také

• Klasifikátor podobjektu
• Věta o hustotě

Reference

• Mac Lane, Saunders (1998). Kategorie pro Working Mathematician. Postgraduální texty z matematiky 5 (2. vyd.). Springer. ISBN  0-387-98403-8.