Yoneda lemma - Yoneda lemma - Wikipedia
v matematika, Yoneda lemma je pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem teorie kategorií.[1] Je to abstraktní výsledek funktory typu morfismy do pevného objektu. Je to obrovské zobecnění Cayleyho věta z teorie skupin (prohlížení skupiny jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze izomorfismy). Umožňuje to vkládání ze všech místně malý kategorie do a kategorie funktorů (kontravariantní funktory s oceněnou množinou) definované pro tuto kategorii. Rovněž objasňuje, jak je vložená kategorie reprezentativní funktory a jejich přirozené transformace, se vztahuje k ostatním objektům v kategorii větších funktorů. Je to důležitý nástroj, který je základem několika moderních vývojových trendů v algebraická geometrie a teorie reprezentace. Je pojmenován po Nobuo Yoneda.
Obecné informace
Yoneda lemma naznačuje, že místo studia (místně malý ) kategorie , měli bychom studovat kategorii všech funktorů do (dále jen kategorie sad s funkce tak jako morfismy ). je kategorie, o které si myslíme, že jí dobře rozumíme, a funktor do lze považovat za „zastoupení“ z hlediska známých struktur. Původní kategorie je obsažen v této kategorii funktoru, ale v kategorii funktorů se objevují nové objekty, které chyběly a byly v něm „skryté“ . Zacházení s novými objekty stejně jako se starými často teorii sjednocuje a zjednodušuje.
Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti zobecňuje) běžnou metodu studia a prsten vyšetřováním moduly přes ten prsten. Místo kategorie zaujímá prsten , a kategorie modulů přes kruh je kategorie funktorů definovaných na .
Formální prohlášení
Yonedovo lemma se týká funktorů z pevné kategorie do kategorie sad, . Li je místně malá kategorie (tj hom-sady jsou skutečné množiny a nikoli správné třídy), pak každý objekt z dává vzniknout přirozenému funktoru volal a hom funktor. Tento funktor je označen:
- .
(kovariantní ) hom funktor posílá na soubor morfismy a pošle morfismus morfismu (složení s vlevo), který vysílá morfismus v morfismu v . To znamená,
- .
Nechat být libovolným funktorem od na . Pak Yonedovo lemma říká, že:
- .
Tady notace označuje kategorii funktorů z na .
Vzhledem k přirozené transformaci z na , odpovídající prvek je ;[A] a daný prvek z , odpovídající přirozená transformace je dána vztahem .
Kontrastní verze
Existuje protikladná verze Yonedova lemmatu, která se týká kontravariantní funktory z na . Tato verze zahrnuje kontravariantního funktora
který posílá do domovské sady . Vzhledem k libovolnému kontravariantnímu funktoru z na , Yonedino lemma to tvrdí
Konvence pojmenování
Použití pro kovariantní hom funktor a pro kontravariantní hom funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků pro tyto dva funktory používá opačnou konvenci nebo zcela nesouvisející symboly. Většina moderních algebraických geometrických textů však začíná na Alexander Grothendieck základní EGA použijte konvenci v tomto článku.[b]
Mnemotechnická pomůcka „spadnutí do něčeho“ může být při zapamatování užitečná je kontravariantní hom funktor. Když dopis je padající (tj. dolní index), přiřadí k objektu morfismy z do .
Důkaz
Důkaz Yonedova lemmatu naznačuje následující komutativní diagram:

Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace je zcela určeno protože pro každý morfismus jeden má
- .
Navíc jakýkoli prvek definuje přirozenou transformaci tímto způsobem. Důkaz v rozporuplném případě je zcela analogický.
Vložení Yonedy
Důležitým zvláštním případem Yonedova lemmatu je funktor z na je další hom-funktor . V tomto případě to říká kovarianční verze Yonedova lematu
To znamená, že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou v korespondenci jedna k jedné s morfismem (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Vzhledem k morfismu je označena související přirozená transformace .
Mapování každého objektu v k přidruženému hom-funktoru a každý morfismus k odpovídající přirozené transformaci určuje kontravariantní funktor z na , kategorie funktorů všech (kovariančních) funktorů z na . Lze tlumočit jako kovarianční funktor:
Význam Yonedova lematu v tomto nastavení je, že funktor je plně věrný, a proto dává vložení v kategorii funktorů do . Sbírka všech funktorů je podkategorií . Vložení Yoneda tedy znamená, že kategorie je isomorfní s kategorií .
Kontravariantní verze Yonedova lemmatu to říká
Proto, dává vznik kovariantnímu funktoru z do kategorie kontravariantních funktorů do :
Yonedovo lemma pak uvádí, že jde o lokálně malou kategorii lze vložit do kategorie kontravariantních funktorů z na přes . Tomu se říká Yoneda vkládání.
Vložení Yonedy je někdy označováno よ, Hiragana kana Jo.[2]
Reprezentativní funktor
Vložení Yoneda v podstatě uvádí, že pro každou (místně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii zastoupeny podle předvádí plně a věrně. To znamená,
pro předsporu P. Mnoho běžných kategorií je ve skutečnosti předřadníků a při bližším pohledu se jeví snopy, a jelikož tyto příklady mají obvykle topologickou povahu, lze je považovat za topoi obecně. Lemma Yoneda poskytuje pákový efekt, pomocí kterého lze studovat a porozumět topologické struktuře kategorie.
Pokud jde o (ko) koncový počet
Vzhledem ke dvěma kategoriím a se dvěma funktory , přirozené transformace mezi nimi lze zapsat následovně konec.
Pro všechny funktory a následující vzorce jsou všechny formulace Yonedova lemmatu. [3]
Preadditive kategorie, prsteny a moduly
A preadditive kategorie je kategorie, kde morfismus formuje formu abelianské skupiny a složení morfismů je bilineární; příklady jsou kategorie abelianských skupin nebo modulů. V kategorii předčítání existuje „rozmnožování“ a „přidávání“ morfismů, a proto jsou kategorie předčítání považovány za zobecnění prsteny. Kroužky jsou předem připravené kategorie s jedním objektem.
Lemma Yoneda zůstává pravdivé pro preadditive kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii přísada kontravariantní funktory z původní kategorie do kategorie abelianských skupin; jedná se o funktory, které jsou kompatibilní s přidáním morfismů a měly by být považovány za formující a kategorie modulu přes původní kategorii. Lemma Yoneda pak poskytuje přirozený postup pro zvětšení kategorie předčítání, takže zvětšená verze zůstane předčítáním - ve skutečnosti je zvětšená verze abelianská kategorie, mnohem silnější stav. V případě prstenu , rozšířená kategorie je kategorií v pořádku moduly přes , a výrok yonedského lematu se redukuje na známý izomorfismus
- pro všechny správné moduly přes .
Vztah k Cayleyho teorému
Jak je uvedeno výše, lemma Yoneda lze považovat za obrovské zobecnění Cayleyho věta z teorie skupin. Chcete-li to vidět, nechte být kategorií s jediným objektem takový, že každý morfismus je izomorfismus (tj grupoid s jedním objektem). Pak tvoří a skupina v rámci operace složení a kteroukoli skupinu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.
V této souvislosti kovariantní funktor sestává ze sady a a skupinový homomorfismus , kde je skupina obměny z ; jinými slovy, je G-set. Přirozená transformace mezi takovými funktory je stejná jako ekvivariantní mapa mezi -sety: nastavená funkce s majetkem, který pro všechny v a v . (Na levé straně této rovnice je označuje akci na a na pravé straně akce na .)
Nyní kovarianční hom-funktor odpovídá akci na sobě pomocí multiplikace vlevo (kontravariantní verze odpovídá multiplikaci vpravo). Yoneda lemma s tvrdí, že
- ,
to znamená ekvivariantní mapy z toho -na sebe je v bijection s . Je však snadné vidět, že (1) tyto mapy tvoří skupinu ve složení, což je a podskupina z , a (2) funkce, která dává bijekci, je skupinový homomorfismus. (Při opačném směru se přidruží ke každému v ekvivariantní mapa násobení doprava pomocí .) Tím pádem je izomorfní s podskupinou , což je tvrzení Cayleyho věty.
Dějiny
Yoshiki Kinoshita v roce 1996 uvedl, že výraz „Yoneda lemma“ vytvořil Saunders Mac Lane po rozhovoru s Yonedou.[4]
Viz také
Poznámky
- ^ Odvolej to takže poslední výraz je dobře definovaný a vysílá morfismus z na , na prvek v .
- ^ Pozoruhodná výjimka z textů moderní algebraické geometrie, která se řídí konvencemi tohoto článku, je Komutativní algebra s pohledem na algebraickou geometrii / David Eisenbud (1995), který používá znamenat kovarianční hom-funktor. Pozdější kniha Geometrie schémat / David Eisenbud, Joe Harris (1998) to obrací a používá znamenat kontravariantního funktora.
Reference
- ^ Riehl, Emily. „Teorie kategorií v kontextu“ (PDF).
- ^ „Yoneda embedding“. nLab. Citováno 6. července 2019.
- ^ Loregian, Fosco (2015). „Toto je (spolu) konec, můj jediný (spolu) přítel“. arXiv:1501.02503 [math.CT ].
- ^ Kinoshita, Yoshiki (23. dubna 1996). „Prof. Nobuo Yoneda zemřel“. Citováno 21. prosince 2013.
- Freyd, Peter (1964), Abelianské kategorie Harper's Series in Modern Mathematics (dotisk z roku 2003), Harper and Row, Zbl 0121.02103.
- Mac Lane, Saunders (1998), Kategorie pro Working Mathematician, Postgraduální texty z matematiky, 5 (2. vyd.), New York, NY: Springer-Verlag, ISBN 0-387-98403-8, Zbl 0906.18001
- Loregian, Fosco (2015). „Toto je (spolu) konec, můj jediný (spolu) přítel“. arXiv:1501.02503 [math.CT ].