Yoneda lemma - Yoneda lemma - Wikipedia

v matematika, Yoneda lemma je pravděpodobně nejdůležitějším výsledkem teorie kategorií.^[1] Je to abstraktní výsledek funktory typu morfismy do pevného objektu. Je to obrovské zobecnění Cayleyho věta z teorie skupin (prohlížení skupiny jako miniaturní kategorie pouze s jedním objektem a pouze izomorfismy). Umožňuje to vkládání ze všech místně malý kategorie do a kategorie funktorů (kontravariantní funktory s oceněnou množinou) definované pro tuto kategorii. Rovněž objasňuje, jak je vložená kategorie reprezentativní funktory a jejich přirozené transformace, se vztahuje k ostatním objektům v kategorii větších funktorů. Je to důležitý nástroj, který je základem několika moderních vývojových trendů v algebraická geometrie a teorie reprezentace. Je pojmenován po Nobuo Yoneda.

Obecné informace

Yoneda lemma naznačuje, že místo studia (místně malý ) kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, měli bychom studovat kategorii všech funktorů ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ do ${ displaystyle mathbf {sada}}$ (dále jen kategorie sad s funkce tak jako morfismy ). ${ displaystyle mathbf {sada}}$ je kategorie, o které si myslíme, že jí dobře rozumíme, a funktor ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ do ${ displaystyle mathbf {sada}}$ lze považovat za „zastoupení“ ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ z hlediska známých struktur. Původní kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je obsažen v této kategorii funktoru, ale v kategorii funktorů se objevují nové objekty, které chyběly a byly v něm „skryté“ ${ displaystyle { mathcal {C}}}$. Zacházení s novými objekty stejně jako se starými často teorii sjednocuje a zjednodušuje.

Tento přístup je podobný (a ve skutečnosti zobecňuje) běžnou metodu studia a prsten vyšetřováním moduly přes ten prsten. Místo kategorie zaujímá prsten ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, a kategorie modulů přes kruh je kategorie funktorů definovaných na ${ displaystyle { mathcal {C}}}$.

Formální prohlášení

Yonedovo lemma se týká funktorů z pevné kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ do kategorie sad, ${ displaystyle mathbf {sada}}$. Li ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ je místně malá kategorie (tj hom-sady jsou skutečné množiny a nikoli správné třídy), pak každý objekt ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ dává vzniknout přirozenému funktoru ${ displaystyle mathbf {sada}}$ volal a hom funktor. Tento funktor je označen:

${ displaystyle h ^ {A} = mathrm {Hom} (A, -)}$.

(kovariantní ) hom funktor ${ displaystyle h ^ {A}}$ posílá ${ displaystyle X}$ na soubor morfismy ${ displaystyle mathrm {Hom} (A, X)}$ a pošle morfismus ${ displaystyle f dvojtečka X až Y}$ morfismu ${ displaystyle f circ -}$ (složení s ${ displaystyle f}$ vlevo), který vysílá morfismus ${ displaystyle g}$ v ${ displaystyle mathrm {Hom} (A, X)}$ morfismu ${ displaystyle f circ g}$ v ${ displaystyle mathrm {Hom} (A, Y)}$. To znamená,

${ displaystyle h ^ {A} (f) = mathrm {Hom} (A, f) { mbox {, nebo}}}$

${ displaystyle h ^ {A} (f) (g) = f circ g}$.

Nechat ${ displaystyle F}$ být libovolným funktorem od ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$. Pak Yonedovo lemma říká, že:

Pro každý objekt ${ displaystyle A}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$, přirozené transformace ${ displaystyle mathrm {Nat} (h ^ {A}, F) equiv mathrm {Hom} ( mathrm {Hom} (A, -), F)}$ z ${ displaystyle h ^ {A}}$ na ${ displaystyle F}$ jsou v korespondenci 1: 1 s prvky ${ displaystyle F (A)}$. To znamená,

${ displaystyle mathrm {Hom} ( mathrm {Hom} (A, -), F) cong F (A)}$.

Navíc je tento izomorfismus přirozený ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle F}$ když jsou obě strany považovány za funktory z ${ displaystyle { mathcal {C}} times mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$.

Tady notace ${ displaystyle mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$ označuje kategorii funktorů z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$.

Vzhledem k přirozené transformaci ${ displaystyle Phi}$ z ${ displaystyle h ^ {A}}$ na ${ displaystyle F}$, odpovídající prvek ${ displaystyle F (A)}$ je ${ displaystyle u = Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A})}$;^[A] a daný prvek ${ displaystyle u}$ z ${ displaystyle F (A)}$, odpovídající přirozená transformace je dána vztahem ${ displaystyle Phi (f) = F (f) (u)}$.

Kontrastní verze

Existuje protikladná verze Yonedova lemmatu, která se týká kontravariantní funktory z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$. Tato verze zahrnuje kontravariantního funktora

${ displaystyle h_ {A} = mathrm {Hom} (-, A),}$

který posílá ${ displaystyle X}$ do domovské sady ${ displaystyle mathrm {Hom} (X, A)}$. Vzhledem k libovolnému kontravariantnímu funktoru ${ displaystyle G}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$, Yonedino lemma to tvrdí

${ displaystyle mathrm {Nat} (h_ {A}, G) cong G (A).}$

Konvence pojmenování

Použití ${ displaystyle h ^ {A}}$ pro kovariantní hom funktor a ${ displaystyle h_ {A}}$ pro kontravariantní hom funktor není zcela standardní. Mnoho textů a článků pro tyto dva funktory používá opačnou konvenci nebo zcela nesouvisející symboly. Většina moderních algebraických geometrických textů však začíná na Alexander Grothendieck základní EGA použijte konvenci v tomto článku.^[b]

Mnemotechnická pomůcka „spadnutí do něčeho“ může být při zapamatování užitečná ${ displaystyle h_ {A}}$ je kontravariantní hom funktor. Když dopis ${ displaystyle A}$ je padající (tj. dolní index), ${ displaystyle h_ {A}}$ přiřadí k objektu ${ displaystyle X}$ morfismy z ${ displaystyle X}$ do ${ displaystyle A}$.

Důkaz

Důkaz Yonedova lemmatu naznačuje následující komutativní diagram:

Tento diagram ukazuje, že přirozená transformace ${ displaystyle Phi}$ je zcela určeno ${ displaystyle Phi _ {A} ( mathrm {id} _ {A}) = u}$ protože pro každý morfismus ${ displaystyle f dvojtečka A až X}$ jeden má

${ displaystyle Phi _ {X} (f) = (Ff) u}$.

Navíc jakýkoli prvek ${ displaystyle u in F (A)}$ definuje přirozenou transformaci tímto způsobem. Důkaz v rozporuplném případě je zcela analogický.

Vložení Yonedy

Důležitým zvláštním případem Yonedova lemmatu je funktor ${ displaystyle F}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$ je další hom-funktor ${ displaystyle h ^ {B}}$. V tomto případě to říká kovarianční verze Yonedova lematu

${ displaystyle mathrm {Nat} (h ^ {A}, h ^ {B}) cong mathrm {Hom} (B, A).}$

To znamená, že přirozené transformace mezi hom-funktory jsou v korespondenci jedna k jedné s morfismem (v opačném směru) mezi přidruženými objekty. Vzhledem k morfismu ${ displaystyle f tlustého střeva B do A}$ je označena související přirozená transformace ${ displaystyle mathrm {Hom} (f, -)}$.

Mapování každého objektu ${ displaystyle A}$ v ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ k přidruženému hom-funktoru ${ displaystyle h ^ {A} = mathrm {Hom} (A, -)}$ a každý morfismus ${ displaystyle f tlustého střeva B do A}$ k odpovídající přirozené transformaci ${ displaystyle mathrm {Hom} (f, -)}$ určuje kontravariantní funktor ${ displaystyle h ^ {-}}$ z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$, kategorie funktorů všech (kovariančních) funktorů z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$. Lze tlumočit ${ displaystyle h ^ {-}}$ jako kovarianční funktor:

${ displaystyle h ^ {-} colon { mathcal {C}} ^ { text {op}} to mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}.}$

Význam Yonedova lematu v tomto nastavení je, že funktor ${ displaystyle h ^ {-}}$ je plně věrný, a proto dává vložení ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { mathrm {op}}}$ v kategorii funktorů do ${ displaystyle mathbf {sada}}$. Sbírka všech funktorů ${ displaystyle {h ^ {A} | A v C }}$ je podkategorií ${ displaystyle mathbf {Set} ^ { mathcal {C}}}$. Vložení Yoneda tedy znamená, že kategorie ${ displaystyle { mathcal {C}} ^ { mathrm {op}}}$ je isomorfní s kategorií ${ displaystyle {h ^ {A} | A v C }}$.

Kontravariantní verze Yonedova lemmatu to říká

${ displaystyle mathrm {Nat} (h_ {A}, h_ {B}) cong mathrm {Hom} (A, B).}$

Proto, ${ displaystyle h _ {-}}$ dává vznik kovariantnímu funktoru z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ do kategorie kontravariantních funktorů do ${ displaystyle mathbf {sada}}$:

${ displaystyle h _ {-} colon { mathcal {C}} to mathbf {Set} ^ {{ mathcal {C}} ^ { mathrm {op}}}.}$

Yonedovo lemma pak uvádí, že jde o lokálně malou kategorii ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ lze vložit do kategorie kontravariantních funktorů z ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ na ${ displaystyle mathbf {sada}}$ přes ${ displaystyle h _ {-}}$. Tomu se říká Yoneda vkládání.

Vložení Yonedy je někdy označováno よ, Hiragana kana Jo.^[2]

Reprezentativní funktor

Vložení Yoneda v podstatě uvádí, že pro každou (místně malou) kategorii mohou být objekty v této kategorii zastoupeny podle předvádí plně a věrně. To znamená,

${ displaystyle mathrm {Nat} (h_ {A}, P) cong P (A).}$

pro předsporu P. Mnoho běžných kategorií je ve skutečnosti předřadníků a při bližším pohledu se jeví snopy, a jelikož tyto příklady mají obvykle topologickou povahu, lze je považovat za topoi obecně. Lemma Yoneda poskytuje pákový efekt, pomocí kterého lze studovat a porozumět topologické struktuře kategorie.

Pokud jde o (ko) koncový počet

Vzhledem ke dvěma kategoriím ${ displaystyle mathbf {C}}$ a ${ displaystyle mathbf {D}}$ se dvěma funktory ${ displaystyle F, G: mathbf {C} až mathbf {D}}$, přirozené transformace mezi nimi lze zapsat následovně konec.

${ displaystyle mathrm {Nat} (F, G) = int _ {c in mathbf {C}} mathrm {Hom} _ { mathbf {D}} (Fc, Gc)}$

Pro všechny funktory ${ displaystyle K colon mathbf {C} ^ {op} to mathbf {sady}}$ a ${ displaystyle H colon mathbf {C} to mathbf {sady}}$ následující vzorce jsou všechny formulace Yonedova lemmatu. ^[3]

${ displaystyle K cong int ^ {c in mathbf {C}} Kc times mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (-, c), qquad K cong int _ { c in mathbf {C}} (Kc) ^ { mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (c, -)},}$

${ displaystyle H cong int ^ {c in mathbf {C}} Hc times mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (c, -), qquad H cong int _ { c in mathbf {C}} (Hc) ^ { mathrm {Hom} _ { mathbf {C}} (-, c)}.}$

Preadditive kategorie, prsteny a moduly

A preadditive kategorie je kategorie, kde morfismus formuje formu abelianské skupiny a složení morfismů je bilineární; příklady jsou kategorie abelianských skupin nebo modulů. V kategorii předčítání existuje „rozmnožování“ a „přidávání“ morfismů, a proto jsou kategorie předčítání považovány za zobecnění prsteny. Kroužky jsou předem připravené kategorie s jedním objektem.

Lemma Yoneda zůstává pravdivé pro preadditive kategorie, pokud si jako rozšíření zvolíme kategorii přísada kontravariantní funktory z původní kategorie do kategorie abelianských skupin; jedná se o funktory, které jsou kompatibilní s přidáním morfismů a měly by být považovány za formující a kategorie modulu přes původní kategorii. Lemma Yoneda pak poskytuje přirozený postup pro zvětšení kategorie předčítání, takže zvětšená verze zůstane předčítáním - ve skutečnosti je zvětšená verze abelianská kategorie, mnohem silnější stav. V případě prstenu ${ displaystyle R}$, rozšířená kategorie je kategorií v pořádku moduly přes ${ displaystyle R}$, a výrok yonedského lematu se redukuje na známý izomorfismus

${ displaystyle M cong mathrm {Hom} _ {R} (R, M)}$ pro všechny správné moduly ${ displaystyle M}$ přes ${ displaystyle R}$.

Vztah k Cayleyho teorému

Jak je uvedeno výše, lemma Yoneda lze považovat za obrovské zobecnění Cayleyho věta z teorie skupin. Chcete-li to vidět, nechte ${ displaystyle { mathcal {C}}}$ být kategorií s jediným objektem ${ displaystyle *}$ takový, že každý morfismus je izomorfismus (tj grupoid s jedním objektem). Pak ${ displaystyle G = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, *)}$ tvoří a skupina v rámci operace složení a kteroukoli skupinu lze tímto způsobem realizovat jako kategorii.

V této souvislosti kovariantní funktor ${ displaystyle { mathcal {C}} to mathbf {Set}}$ sestává ze sady ${ displaystyle X}$ a a skupinový homomorfismus ${ displaystyle G to mathrm {Perm} (X)}$, kde ${ displaystyle mathrm {Perm} (X)}$ je skupina obměny z ${ displaystyle X}$; jinými slovy, ${ displaystyle X}$ je G-set. Přirozená transformace mezi takovými funktory je stejná jako ekvivariantní mapa mezi ${ displaystyle G}$-sety: nastavená funkce ${ displaystyle alfa dvojtečka X až Y}$ s majetkem, který ${ displaystyle alpha (g cdot x) = g cdot alpha (x)}$ pro všechny ${ displaystyle g}$ v ${ displaystyle G}$ a ${ displaystyle x}$ v ${ displaystyle X}$. (Na levé straně této rovnice je ${ displaystyle cdot}$ označuje akci ${ displaystyle G}$ na ${ displaystyle X}$a na pravé straně akce na ${ displaystyle Y}$.)

Nyní kovarianční hom-funktor ${ displaystyle mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -)}$ odpovídá akci ${ displaystyle G}$ na sobě pomocí multiplikace vlevo (kontravariantní verze odpovídá multiplikaci vpravo). Yoneda lemma s ${ displaystyle F = mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -)}$ tvrdí, že

${ displaystyle mathrm {Nat} ( mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -), mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, -)) cong mathrm {Hom} _ { mathcal {C}} (*, *)}$,

to znamená ekvivariantní mapy z toho ${ displaystyle G}$-na sebe je v bijection s ${ displaystyle G}$. Je však snadné vidět, že (1) tyto mapy tvoří skupinu ve složení, což je a podskupina z ${ displaystyle mathrm {Perm} (G)}$, a (2) funkce, která dává bijekci, je skupinový homomorfismus. (Při opačném směru se přidruží ke každému ${ displaystyle g}$ v ${ displaystyle G}$ ekvivariantní mapa násobení doprava pomocí ${ displaystyle g}$.) Tím pádem ${ displaystyle G}$ je izomorfní s podskupinou ${ displaystyle mathrm {Perm} (G)}$, což je tvrzení Cayleyho věty.

Dějiny

Yoshiki Kinoshita v roce 1996 uvedl, že výraz „Yoneda lemma“ vytvořil Saunders Mac Lane po rozhovoru s Yonedou.^[4]

Viz také

• Věta o reprezentaci

Poznámky

Reference

• Yoneda lemma v nLab

externí odkazy

• Systém Mizar důkaz: http://www.mizar.org/JFM/pdf/yoneda_1.pdf