Kvocientový prostor (topologie) - Quotient space (topology)

Ilustrace stavby a topologická sféra jako kvocientový prostor a disk tím, že lepení společně do jednoho bodu body (modře) hranice disku.

v topologie a související oblasti matematika, kvocientový prostor a topologický prostor pod daným vztah ekvivalence je nový topologický prostor vytvořený obdařením množina kvocientu původního topologického prostoru s kvocient topologie, tj. s nejlepší topologie to dělá kontinuální the kanonická projekční mapa (funkce, která mapuje, ukazuje na jejich třídy ekvivalence ). Jinými slovy, podmnožina kvocientového prostoru je otevřeno jen a jen pokud preimage pod kanonickou projekční mapou je otevřena v původním topologickém prostoru.

Intuitivně řečeno, body každé třídy ekvivalence jsou identifikováno nebo „slepené dohromady“ pro vytvoření nového topologického prostoru. Například identifikace bodů a koule které patří ke stejnému průměr vyrábí projektivní rovina jako kvocientový prostor.

Definice

Nechat (X, τ_X) být topologický prostor a nechte ~ být vztah ekvivalence na X. The množina kvocientu, Y = X / ~ je sada třídy ekvivalence prvků X. Jako obvykle třída ekvivalence X ∈ X je označen [X].

The kvocientový prostor pod ~ je množina kvocientu Y vybavené kvocient topologie, to je topologie, jejíž otevřené sady jsou podmnožiny U ⊆ Y takhle ${ displaystyle {x v X: [x] v U }}$je otevřen v X. To znamená,

${ displaystyle tau _ {Y} = vlevo {U subseteq Y: {x v X: [x] v U } v tau _ {X} vpravo }.}$

Ekvivalentně jsou otevřené množiny topologie kvocientu podmnožinami Y které mají otevřené preimage pod surjektivní mapou X → [X].

Topologie kvocientu je konečná topologie na množině kvocientů vzhledem k mapě X → [X].

Kvocientová mapa

Mapa ${ displaystyle f: X až Y}$ je kvocientová mapa (někdy se tomu říká identifikační mapa) Pokud to je surjektivní a podmnožina U z Y je otevřen právě tehdy ${ displaystyle f ^ {- 1} (U)}$ je otevřeno. Ekvivalentně ${ displaystyle f}$ je mapa podílů, pokud je na a ${ displaystyle Y}$ je vybaven konečná topologie s ohledem na ${ displaystyle f}$.

Vzhledem k ekvivalenčnímu vztahu ${ displaystyle sim}$ na ${ displaystyle X}$, kanonická mapa ${ displaystyle q: X až X / { sim}}$ je kvocientová mapa.

Příklady

• Lepení. Topologové hovoří o lepení bodů dohromady. Li X je topologický prostor, lepení bodů X a y v X znamená uvažování kvocientového prostoru získaného z relace ekvivalence A ~ b kdyby a jen kdyby A = b nebo A = X, b = y (nebo A = y, b = X).
• Zvažte jednotkový čtverec Já² = [0,1] × [0,1] a vztah ekvivalence ~ generovaný požadavkem, aby všechny hraniční body byly ekvivalentní, a tak identifikoval všechny hraniční body do jedné třídy ekvivalence. Pak Já²/~ je homeomorfní do koule S².

Například, ${ displaystyle [0,1] / {0,1 }}$ je pro kruh homeomorfní ${ displaystyle S ^ {1}}$.

• Adjunkční prostor. Obecněji předpokládejme X je prostor a A je podprostor z X. Jeden může identifikovat všechny body v A do jedné třídy ekvivalence a ponechat body mimo A ekvivalentní jen jim samotným. Výsledný kvocientový prostor je označen X/A. 2-koule je pak homeomorfní s a uzavřený disk s jeho hranicí identifikovanou do jediného bodu: ${ displaystyle D ^ {2} / částečné {D ^ {2}}}$.
• Zvažte sadu R z reálná čísla s běžnou topologií a psát X ~ y kdyby a jen kdyby X − y je celé číslo. Potom kvocientový prostor X/ ~ je homeomorfní do jednotkový kruh S¹ prostřednictvím homeomorfismu, který vysílá třídu ekvivalence X exp (2πix).
• Zobecnění předchozího příkladu je následující: Předpokládejme, že a topologická skupina G činy nepřetržitě v prostoru X. Lze vytvořit vztah ekvivalence na X tím, že říkáte, že body jsou ekvivalentní právě tehdy, pokud leží ve stejném obíhat. Kvocientový prostor v tomto vztahu se nazývá oběžná dráha, označeno X/G. V předchozím příkladu G = Z jedná R překladem. Oběžná dráha R/Z je homeomorfní S¹.

Poznámka: Zápis R/Z je poněkud nejednoznačný. Li Z se rozumí skupina jednající podle R přidáním, pak kvocient je kruh. Pokud však Z je považován za podprostor o R, pak je podíl spočetně nekonečný kytice kruhů připojil v jednom bodě.

Vlastnosti

Kvocientové mapy q : X → Y jsou mezi surjektivními mapami charakterizovány následující vlastností: if Z je jakýkoli topologický prostor a F : Y → Z je tedy libovolná funkce F je spojitý právě tehdy F ∘ q je spojitý.

Kvocientový prostor X/ ~ společně s mapou kvocientu q : X → X/~ je charakterizován následujícím univerzální vlastnictví: pokud G : X → Z je taková souvislá mapa A ~ b naznačuje G(A) = G(b) pro všechny A a b v X, pak existuje jedinečná souvislá mapa F : X/~ → Z takhle G = F ∘ q. Říkáme to G sestupuje do kvocientu.

Souvislé mapy definované na X/ ~ jsou tedy přesně ty mapy, které vznikají ze spojitých map definovaných na X které respektují vztah ekvivalence (v tom smyslu, že posílají ekvivalentní prvky na stejný obrázek). Toto kritérium se hojně používá při studiu kvocientových prostorů.

Vzhledem k neustálému překvapení q : X → Y je užitečné mít kritéria, podle kterých lze určit, zda q je kvocientová mapa. Jsou to dvě dostatečná kritéria q být otevřeno nebo Zavřeno. Tyto podmínky jsou pouze dostatečný, ne nutné. Je snadné vytvořit příklady kvocientových map, které nejsou ani otevřené, ani uzavřené. Pro topologické skupiny je kvocientová mapa otevřená.

Kompatibilita s jinými topologickými pojmy

• Oddělení
  • Obecně jsou kvocientové prostory špatně chovány s ohledem na separační axiomy. Separační vlastnosti X nemusí být zděděno X/ ~ a X/ ~ může mít vlastnosti separace, které nejsou sdíleny X.
  • X/ ~ je a T1 prostor právě když je uzavřena každá třída ekvivalence ~ X.
  • Pokud je kvocientová mapa otevřeno, pak X/ ~ je a Hausdorffův prostor právě když ~ je uzavřená podmnožina souboru produktový prostor X×X.
• Propojenost
  • Pokud je připojen prostor nebo cesta připojena, pak také všechny jeho kvocientové prostory.
  • Kvocientový prostor a jednoduše připojeno nebo smluvní prostor nemusí tyto vlastnosti sdílet.
• Kompaktnost
  • Pokud je prostor kompaktní, pak jsou všechny jeho kvocientové prostory.
  • Kvocientový prostor a místně kompaktní prostor nemusí být místně kompaktní.
• Dimenze
  • The topologická dimenze kvocientového prostoru může být více (i méně) než dimenze původního prostoru; křivky vyplňující prostor poskytnout takové příklady.

Viz také

Topologie

• Nespojené spojení (topologie)
• Konečná topologie - nejlepší topologie, díky níž jsou některé funkce spojité
• Mapovací kužel (topologie)
• Produktový prostor
• Podprostor (topologie)
• Topologický prostor - Matematická struktura s představou blízkosti
• Krycí prostor

Algebra

• Mapovací kužel (homologická algebra) - Nástroj v homologické algebře
• Kategorie kvocientu
• Kvocientová skupina
• Kvocientový prostor (lineární algebra)

Reference

• Willard, Stephen (1970). Obecná topologie. Reading, MA: Addison-Wesley. ISBN  0-486-43479-6.
• „Kvocientový prostor“. PlanetMath.