Přirozený logaritmus 2 - Natural logarithm of 2

Desetinná hodnota parametru přirozený logaritmus z 2 (sekvence A002162 v OEIS ) je přibližně

${ Displaystyle ln 2 přibližně 0,693 , 147 , 180 , 559 , 945 , 309 , 417 , 232 , 121 , 458.}$

Logaritmus 2 v jiných bázích se získá pomocí vzorec

${ displaystyle log _ {b} 2 = { frac { ln 2} { ln b}}.}$

The společný logaritmus zejména je (OEIS: A007524)

${ displaystyle log _ {10} 2 přibližně 0,301 , 029 , 995 , 663 , 981 , 195.}$

Inverzní hodnota tohoto čísla je binární logaritmus z 10:

${ displaystyle log _ {2} 10 = { frac {1} { log _ {10} 2}} přibližně 3,321 , 928 , 095}$ (OEIS: A020862).

Podle Lindemann – Weierstrassova věta, přirozený logaritmus kteréhokoli přirozené číslo jiné než 0 a 1 (obecněji jakékoli kladné algebraické číslo jiný než 1) je a transcendentní číslo.

Sériové reprezentace

Rostoucí alternativní faktoriál

${ displaystyle ln 2 = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n}} = 1 - { frac {1} {2 }} + { frac {1} {3}} - { frac {1} {4}} + { frac {1} {5}} - { frac {1} {6}} + cdots. }$ Toto je známý "střídavé harmonické řady ".

${ displaystyle ln 2 = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {5} {8}} + { frac {1} {2}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {3}} + { frac {3} {4}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {131} {192}} + { frac {3} {2}} součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {661} {960}} + { frac {15} {4}} sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n + 1}} {n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}$

Binární rostoucí konstantní faktoriál

${ displaystyle ln 2 = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = 1- součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {1} {2}} + 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {5} {6}} - 6 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {7} {12}} + 24 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4)}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {47} {60}} - 120 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n (n + 1) (n + 2) (n + 3) (n + 4) (n + 5)}}.}$

Další reprezentace sérií

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {(2n + 1) (2n + 2)}} = ln 2.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {n (4n ^ {2} -1)}} = 2 ln 2-1.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n (4n ^ {2} -1)}} = ln 2-1.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {n (9n ^ {2} -1)}} = 2 ln 2 - { frac {3} {2}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4n ^ {2} -2n}} = ln 2.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {2 (-1) ^ {n + 1} (2n-1) +1} {8n ^ {2} -4n}} = ln 2.}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {3n + 1}} = { frac { ln 2} {3}} + { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {3n + 2}} = - { frac { ln 2} {3}} + { frac { pi} {3 { sqrt {3}}}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n}} {(3n + 1) (3n + 2)}} = { frac {2 ln 2} {3}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} { sum _ {k = 1} ^ {n} k ^ {2}}} = 18-24 ln 2}$ použitím ${ displaystyle lim _ {N rightarrow infty} součet _ {n = N} ^ {2N} { frac {1} {n}} = ln 2}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4k ^ {2} -3k}} = ln 2 + { frac { pi} {6}}}$ (součty převrácených čísel desetiboká čísla )

Zapojení funkce Riemann Zeta

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n}}} [ zeta (n) -1] = ln 2 - { frac {1} {2}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 2} ^ { infty} { frac {1} {2n + 1}} [ zeta (n) -1] = 1- gamma - { frac { ln 2 } {2}}.}$

${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {2n-1} (2n + 1)}} zeta (2n) = 1- ln 2.}$

(y je Euler – Mascheroniho konstanta a ζ Riemannova funkce zeta.)

Reprezentace typu BBP

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {3}} + { frac {1} {2}} součet _ {k = 1} ^ { infty} vlevo ({ frac {1} {2k}} + { frac {1} {4k + 1}} + { frac {1} {8k + 4}} + { frac {1} {16k + 12}} vpravo) { frac { 1} {16 ^ {k}}}.}$

(Více o Reprezentace typu Bailey – Borwein – Plouffe (BBP).)

Použití tří obecných řad pro přirozený logaritmus na 2 dává přímo:

${ displaystyle ln 2 = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {2 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {3}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {9 ^ {k} (2k + 1)}}. }$

Aplikuji je na ${ displaystyle textstyle 2 = { frac {3} {2}} cdot { frac {4} {3}}}$ dává:

${ displaystyle ln 2 = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {2 ^ {n} n}} + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {3 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {3 ^ {n} n}} + součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {4 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {2} {5}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {25 ^ {k} (2k + 1)}} + { frac {2} {7}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {49 ^ {k} (2k + 1)}}.}$

Aplikovat je na ${ displaystyle textstyle 2 = ({ sqrt {2}}) ^ {2}}$ dává:

${ displaystyle ln 2 = 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {({ sqrt {2}} + 1) ^ { n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = 2 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {(2 + { sqrt {2}}) ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {4} {3 + 2 { sqrt {2}}}} součet _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {(17 + 12 { sqrt {2}}) ^ {k} (2k + 1)}}.}$

Aplikuji je na ${ displaystyle textstyle 2 = { left ({ frac {16} {15}} right)} ^ {7} cdot { left ({ frac {81} {80}} right)} ^ {3} cdot { vlevo ({ frac {25} {24}} doprava)} ^ {5}}$ dává:

${ displaystyle ln 2 = 7 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {15 ^ {n} n}} + 3 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {80 ^ {n} n}} + 5 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {(-1) ^ {n-1}} {24 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = 7 součet _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {16 ^ {n} n}} + 3 součet _ {n = 1} ^ { infty } { frac {1} {81 ^ {n} n}} + 5 sum _ {n = 1} ^ { infty} { frac {1} {25 ^ {n} n}}.}$

${ displaystyle ln 2 = { frac {14} {31}} suma _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {961 ^ {k} (2k + 1)}} + { frac {6} {161}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {25921 ^ {k} (2k + 1)}} + { frac {10} { 49}} sum _ {k = 0} ^ { infty} { frac {1} {2401 ^ {k} (2k + 1)}}.}$

Reprezentace jako integrály

Přirozený logaritmus 2 se vyskytuje často v důsledku integrace. Některé explicitní vzorce pro to zahrnují:

${ displaystyle int _ {0} ^ {1} { frac {dx} {1 + x}} = int _ {1} ^ {2} { frac {dx} {x}} = ln 2 }$

${ displaystyle int _ {0} ^ { infty} e ^ {- x} { frac {1-e ^ {- x}} {x}} , dx = ln 2}$

${ displaystyle int _ {0} ^ { frac { pi} {3}} tan x , dx = 2 int _ {0} ^ { frac { pi} {4}} tan x , dx = ln 2}$

Další zastoupení

Rozšíření Pierce je OEIS: A091846

${ displaystyle ln 2 = 1 - { frac {1} {1 cdot 3}} + { frac {1} {1 cdot 3 cdot 12}} - cdots.}$

The Engel expanze je OEIS: A059180

${ displaystyle ln 2 = { frac {1} {2}} + { frac {1} {2 cdot 3}} + { frac {1} {2 cdot 3 cdot 7}} + { frac {1} {2 cdot 3 cdot 7 cdot 9}} + cdots.}$

Kotangensová expanze je OEIS: A081785

${ displaystyle ln 2 = cot ({ operatorname {arccot} (0) - operatorname {arccot} (1) + operatorname {arccot} (5) - operatorname {arccot} (55) + operatorname { arccot} (14187) - cdots}).}$

Jednoduché pokračující zlomek expanze je OEIS: A016730

${ displaystyle ln 2 = doleva [0; 1,2,3,1,6,3,1,1,2,1,1,1,1,3,10,1,1,1,2, 1,1,1,1,3,2,3,1, ... vpravo]}$,

což poskytuje racionální aproximace, z nichž prvních několik je 0, 1, 2/3, 7/10, 9/13 a 61/88.

Tento zobecněný pokračující zlomek:

${ displaystyle ln 2 = left [0; 1,2,3,1,5, { tfrac {2} {3}}, 7, { tfrac {1} {2}}, 9, { tfrac {2} {5}}, ..., 2k-1, { frac {2} {k}}, ... right]}$,^[1]

také vyjádřitelný jako

${ displaystyle ln 2 = { cfrac {1} {1 + { cfrac {1} {2 + { cfrac {1} {3 + { cfrac {2} {2 + { cfrac {2} { 5 + { cfrac {3} {2 + { cfrac {3} {7 + { cfrac {4} {2+ ddots}}}}}}}}}}}}}}}} = { cfrac {2} {3 - { cfrac {1 ^ {2}} {9 - { cfrac {2 ^ {2}} {15 - { cfrac {3 ^ {2}} {21- ddots}} }}}}}}}$

Zavádění jiných logaritmů

Vzhledem k hodnotě ln 2, schéma výpočtu logaritmů ostatních celá čísla je sestavit logaritmy tabulky prvočísla a v další vrstvě logaritmy kompozitní čísla C na základě jejich faktorizace

${ displaystyle c = 2 ^ {i} 3 ^ {j} 5 ^ {k} 7 ^ {l} cdots rightarrow ln (c) = i ln (2) + j ln (3) + k ln (5) + l ln (7) + cdots}$

Toto zaměstnává

Ve třetí vrstvě logaritmy racionálních čísel r = A/b jsou počítány s ln (r) = ln (A) - ln (b)a logaritmy kořenů pomocí ln ⁿ√C = 1/n ln (C).

Logaritmus 2 je užitečné v tom smyslu, že mocniny 2 jsou poměrně hustě distribuovány; hledání pravomocí 2ⁱ blízko moci b^j dalších čísel b je poměrně snadné a sériové reprezentace ln (b) jsou nalezeny spojením 2 s b s logaritmické převody.

Příklad

Li p^s = q^t + d s některými malými d, pak p^s/q^t = 1 + d/q^t a proto

${ displaystyle s ln (p) -t ln (q) = ln vlevo (1 + { frac {d} {q ^ {t}}} vpravo) = součet _ {m = 1} ^ { infty} (- 1) ^ {m + 1} { frac {({ frac {d} {q ^ {t}}}) ^ {m}} {m}} = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2} {2n + 1}} { left ({ frac {d} {2q ^ {t} + d}} right)} ^ {2n + 1} .}$

Výběr q = 2 představuje ln (p) podle ln 2 a řadu parametrů d/q^t který si přeje ponechat malý pro rychlou konvergenci. Brát 3² = 2³ + 1například generuje

${ displaystyle 2 ln (3) = 3 ln 2- součet _ {k geq 1} { frac {(-1) ^ {k}} {8 ^ {k} k}} = 3 ln 2+ sum _ {n = 0} ^ { infty} { frac {2} {2n + 1}} { left ({ frac {1} {2 cdot 8 + 1}} right)} ^ {2n + 1}.}$

Toto je ve skutečnosti třetí řádek v následující tabulce rozšíření tohoto typu:

Počínaje přirozeným logaritmem q = 10 jeden by mohl použít tyto parametry:

Známé číslice

Toto je tabulka posledních záznamů při výpočtu číslic ln 2. Od prosince 2018 se počítá na více číslic než jakýkoli jiný přirozený logaritmus^{[2] [3]} přirozeného čísla, kromě čísla 1.

Viz také

• Pravidlo 72 # Kontinuální skládání, ve kterém ln 2 postavy prominentně
• Poločas rozpadu # Vzorce pro poločas rozpadu v exponenciálním rozpadu, ve kterém ln 2 postavy prominentně
• Erdős – Moserova rovnice: všechna řešení musí pocházet z a konvergentní z ln 2.

Reference

• Brent, Richard P. (1976). "Rychlé vícenásobné přesné vyhodnocení elementárních funkcí". J. ACM. 23 (2): 242–251. doi:10.1145/321941.321944. PAN  0395314.
• Uhler, Horace S. (1940). "Přepočet a rozšíření modulu a logaritmů 2, 3, 5, 7 a 17". Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 26 (3): 205–212. doi:10.1073 / pnas.26.3.205. PAN  0001523. PMC  1078033. PMID  16588339.
• Sweeney, Dura W. (1963). „K výpočtu Eulerovy konstanty“. Matematika výpočtu. 17 (82): 170–178. doi:10.1090 / S0025-5718-1963-0160308-X. PAN  0160308.
• Chamberland, Marc (2003). „Binární vzorce BBP pro logaritmy a generalizovaná Gaussian – Mersennova prvočísla“ (PDF). Journal of Integer Sequences. 6: 03.3.7. PAN  2046407. Archivovány od originál (PDF) dne 06.06.2011. Citováno 2010-04-29.
• Gourévitch, Boris; Guillera Goyanes, Jesús (2007). "Konstrukce binomických částek pro π a polylogaritmické konstanty inspirované vzorci BBP " (PDF). Aplikovaná matematika. E-poznámky. 7: 237–246. PAN  2346048.
• Wu, Qiang (2003). „O míře lineární nezávislosti logaritmů racionálních čísel“. Matematika výpočtu. 72 (242): 901–911. doi:10.1090 / S0025-5718-02-01442-4.

externí odkazy

• Weisstein, Eric W. "Přirozený logaritmus 2". MathWorld.
• "tabulka přirozených logaritmů". PlanetMath.
• Gourdon, Xavier; Sebah, Pascal. "Konstanta logaritmu: protokol 2".