Velká sada (kombinatorika) - Large set (combinatorics)

v kombinační matematika, a velká sada z kladná celá čísla

${ displaystyle S = {s_ {0}, s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, tečky }}$

je jeden takový, že nekonečný součet vzájemnosti

${ displaystyle { frac {1} {s_ {0}}} + { frac {1} {s_ {1}}} + { frac {1} {s_ {2}}} + { frac {1 } {s_ {3}}} + cdots}$

rozchází se. A malá sada je libovolná podmnožina kladných celých čísel, která není velká; tj. ten, jehož součet recipročních hodnot konverguje.

Velké soubory se objeví v Müntz – Szászova věta a v Erdőova domněnka o aritmetických postupech.

Příklady

• Každá konečná podmnožina kladných celých čísel je malá.
• Sada ${ displaystyle {1,2,3,4,5, tečky }}$ všech kladných celých čísel je známo, že je velká množina; toto tvrzení je ekvivalentní divergenci harmonická řada. Obecněji libovolné aritmetický postup (tj. sada všech celých čísel formuláře an + b s A ≥ 1, b ≥ 1 a n = 0, 1, 2, 3, ...) je velká sada.
• Sada čtvercová čísla je malý (viz Basilejský problém ). Taková je i sada čísla krychlí, sada 4. mocností atd. Obecněji řečeno, množina kladných celočíselných hodnot libovolného polynomiální stupně 2 nebo větší tvoří malou sadu.
• Sada {1, 2, 4, 8, ...} pravomocí 2 je známo, že je malá sada, a tak je tomu i v každém geometrický průběh (tj. množina čísel formuláře formuláře abⁿ s A ≥ 1, b ≥ 2 a n = 0, 1, 2, 3, ...).
• Sada prvočísla bylo prokázáno být velký. Sada dvojčata připraví bylo prokázáno, že je malý (viz Brunova konstanta ).
• Sada hlavní síly které nejsou prvočísla (tj. všechna čísla formuláře pⁿ s n ≥ 2 a p prime) je malá množina, i když prvočísla jsou velká množina. Tato vlastnost se často používá v analytická teorie čísel. Obecněji řečeno, soubor dokonalé síly je malý.
• Sada čísel, jejichž expanze v daném základna vyloučit, že daná číslice je malá. Například sada

${ displaystyle {1, tečky, 6,8, tečky, 16,18, tečky, 66,68,69,80, tečky }}$

celých čísel, jejichž desetinný rozšíření nezahrnuje číslici 7 je malá. Takové řady se nazývají Kempnerova řada.

• Jakákoli sada, jejíž horní část asymptotická hustota je nenulová, je velká.

Vlastnosti

• Každý podmnožina malé sady je malá.
• The unie konečně mnoha malých množin je malý, protože součet dvou konvergentní série je konvergentní řada. (V teoretické terminologii množin tvoří malé množiny ideál.)
• Doplněk každé malé sady je velký.
• The Müntz – Szászova věta uvádí, že množina ${ displaystyle S = {s_ {1}, s_ {2}, s_ {3}, tečky }}$ je velký právě tehdy, pokud je množina polynomů překlenuta o

${ displaystyle {1, x ^ {s_ {1}}, x ^ {s_ {2}}, x ^ {s_ {3}}, tečky }}$

je hustý v jednotná norma topologie spojité funkce v uzavřeném intervalu. Toto je zevšeobecnění Věta Stone-Weierstrass.

Otevřené problémy zahrnující velké sady

Paul Erdős skvěle položil otázku zda libovolná sada, která neobsahuje libovolně dlouhou aritmetické průběhy musí být nutně malé. Za řešení tohoto problému nabídl cenu 3000 $, více než za kteroukoli z jeho jiné domněnky, a žertoval, že tato nabídka cen porušila zákon o minimální mzdě.^[1] Tato otázka je stále otevřená.

Není známo, jak určit, zda je daná množina obecně velká nebo malá. Ve výsledku existuje mnoho sad, o kterých není známo, že jsou velké nebo malé.

Viz také

• Seznam součtů vzájemných

Poznámky

Reference

• A. D. Wadhwa (1975). Zajímavá podskupina harmonické řady. Americký matematický měsíčník 82 (9) 931–933. JSTOR  2318503