Eulersova čtvercová identita - Eulers four-square identity - Wikipedia

v matematika, Eulerova čtvercová identita říká, že součin dvou čísel, z nichž každé je součtem čtyř čtverce, je sama o sobě součtem čtyř čtverců.

Algebraická identita

Pro jakýkoli pár čtyřlůžkových pokojů z a komutativní prsten, následující výrazy jsou stejné:

${ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}$

${ displaystyle (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) ^ {2} +}$

${ displaystyle (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} +}$

${ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}$

${ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2}.}$

Euler napsal o této totožnosti v dopise ze dne 4. května 1748 Goldbach^[1][2] (ale použil výše uvedenou jinou znakovou konvenci). Lze ověřit pomocí elementární algebra.

Identitu použil Lagrange dokázat jeho věta o čtyřech čtvercích. Přesněji řečeno, znamená to, že stačí prokázat větu pro prvočísla, po kterém následuje obecnější věta. Znaková konvence použitá výše odpovídá znamením získaným vynásobením dvou čtveřic. Další znakové konvence lze získat změnou libovolného ${ displaystyle a_ {k}}$ na ${ displaystyle -a_ {k}}$, a / nebo jakékoli ${ displaystyle b_ {k}}$ na ${ displaystyle -b_ {k}}$.

Pokud ${ displaystyle a_ {k}}$ a ${ displaystyle b_ {k}}$ jsou reálná čísla, identita vyjadřuje skutečnost, že absolutní hodnota součinu dvou čtveřice se rovná součinu jejich absolutních hodnot, stejně jako Brahmagupta – Fibonacciho identita se dvěma čtverci dělá pro komplexní čísla. Tato vlastnost je definitivní vlastností složení algebry.

Hurwitzova věta uvádí, že identita formy,

${ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + ... + a_ {n} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + ... + b_ {n} ^ {2}) = c_ {1} ^ {2} + c_ {2} ^ {2} + c_ {3} ^ {2} + ... + c_ {n} ^ {2}}$

Kde ${ displaystyle c_ {i}}$ jsou bilineární funkce ${ displaystyle a_ {i}}$ a ${ displaystyle b_ {i}}$ je možné pouze pro n = 1, 2, 4 nebo 8.

Důkaz totožnosti pomocí čtveřic

Nechat ${ displaystyle alpha = a_ {1} + a_ {2} i + a_ {3} j + a_ {4} k}$ a ${ displaystyle beta = b_ {1} + b_ {2} i + b_ {3} j + b_ {4} k}$ být dvojicí čtveřic. Jejich čtvercové konjugáty jsou ${ displaystyle alpha ^ {*} = a_ {1} -a_ {2} i-a_ {3} j-a_ {4} k}$ a ${ displaystyle beta ^ {*} = b_ {1} -b_ {2} i-b_ {3} j-b_ {4} k}$. Pak

${ displaystyle A: = alpha alpha ^ {*} = a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2} }$

a

${ displaystyle B: = beta beta ^ {*} = b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2} }$.

Produktem těchto dvou je ${ displaystyle AB = alpha alpha ^ {*} beta beta ^ {*}}$, kde ${ displaystyle beta beta ^ {*}}$ je skutečné číslo, takže může dojíždět s čtveřicí ${ displaystyle alpha ^ {*}}$, poddajný

${ displaystyle AB = alpha beta beta ^ {*} alpha ^ {*}}$.

Výše uvedené závorky nejsou nutné, protože čtveřice spolupracovník. Konjugát produktu se rovná komutovanému produktu konjugátů faktorů produktu, takže

${ displaystyle AB = alpha beta ( alpha beta) ^ {*} = gamma gamma ^ {*}}$

kde ${ displaystyle gamma}$ je Produkt Hamilton z ${ displaystyle alpha}$ a ${ displaystyle beta}$:

${ displaystyle gamma = (a_ {1} + langle a_ {2}, a_ {3}, a_ {4} rangle) (b_ {1} + langle b_ {2}, b_ {3}, b_ {4} rangle)}$

${ displaystyle qquad = a_ {1} b_ {1} + a_ {1} langle b_ {2}, b_ {3}, b_ {4} rangle + langle a_ {2}, a_ { 3}, a_ {4} rangle b_ {1} + langle a_ {2}, a_ {3}, a_ {4} rangle langle b_ {2}, b_ {3}, b_ {4} rangle}$

${ displaystyle qquad = a_ {1} b_ {1} + langle a_ {1} b_ {2}, a_ {1} b_ {3}, a_ {1} b_ {4} rangle + langle a_ {2} b_ {1}, a_ {3} b_ {1}, a_ {4} b_ {1} rangle - langle a_ {2}, a_ {3}, a_ {4} rangle cdot langle b_ {2}, b_ {3}, b_ {4} rangle + langle a_ {2}, a_ {3}, a_ {4} rangle times langle b_ { 2}, b_ {3}, b_ {4} rangle}$

${ displaystyle qquad = a_ {1} b_ {1} + langle a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1}, a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1}, a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} rangle -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4 } + langle a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}, a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}, a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2} rangle}$

${ displaystyle qquad = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) + langle a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}, a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}, a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3 } b_ {2} rangle}$

${ displaystyle gamma = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) i + (a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}) j + (a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ { 3} b_ {2}) k.}$

Pak

${ displaystyle gamma ^ {*} = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4}) - (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) i- (a_ {1} b_ {3} + a_ {3 } b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}) j- (a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) k}$

a

${ displaystyle AB = gamma gamma ^ {*} = (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} -a_ {3} b_ {3} -a_ {4} b_ {4} ) ^ {2} + (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + a_ {3} b_ {4} -a_ {4} b_ {3}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {3} + a_ {3} b_ {1} + a_ {4} b_ {2} -a_ {2} b_ {4}) ^ {2} + (a_ {1} b_ {4} + a_ {4} b_ {1} + a_ {2} b_ {3} -a_ {3} b_ {2}) ^ {2}.}$

(Li ${ displaystyle gamma = r + { vec {u}}}$ kde ${ displaystyle r}$ je skalární část a ${ displaystyle { vec {u}} = langle u_ {1}, u_ {2}, u_ {3} rangle}$ je tedy vektorová část ${ displaystyle gamma ^ {*} = r - { vec {u}}}$ tak ${ displaystyle gamma gamma ^ {*} = (r + { vec {u}}) (r - { vec {u}}) = r ^ {2} -r { vec {u}} + r { vec {u}} - { vec {u}} { vec {u}} = r ^ {2} + { vec {u}} cdot { vec {u}} - { vec { u}} times { vec {u}} = r ^ {2} + { vec {u}} cdot { vec {u}} = r ^ {2} + u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} + u_ {3} ^ {2}.}$)

Pfisterova identita

Pfister našel další čtvercovou identitu pro jakoukoli sudou moc:^[3]

Pokud ${ displaystyle c_ {i}}$ jsou jen racionální funkce jedné sady proměnných, takže každá ${ displaystyle c_ {i}}$ má jmenovatel, pak je možné pro všechny ${ displaystyle n = 2 ^ {m}}$.

Další čtyřhraná identita je tedy následující:

${ displaystyle (a_ {1} ^ {2} + a_ {2} ^ {2} + a_ {3} ^ {2} + a_ {4} ^ {2}) (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2} + b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2}) =}$

${ displaystyle (a_ {1} b_ {4} + a_ {2} b_ {3} + a_ {3} b_ {2} + a_ {4} b_ {1}) ^ {2} +}$

${ displaystyle (a_ {1} b_ {3} -a_ {2} b_ {4} + a_ {3} b_ {1} -a_ {4} b_ {2}) ^ {2} +}$

${ displaystyle left (a_ {1} b_ {2} + a_ {2} b_ {1} + { frac {a_ {3} u_ {1}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2 } ^ {2}}} - { frac {a_ {4} u_ {2}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}}} vpravo) ^ {2} +}$

${ displaystyle left (a_ {1} b_ {1} -a_ {2} b_ {2} - { frac {a_ {4} u_ {1}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2 } ^ {2}}} - { frac {a_ {3} u_ {2}} {b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}}} vpravo) ^ {2}}$

kde ${ displaystyle u_ {1}}$ a ${ displaystyle u_ {2}}$ jsou dány

${ displaystyle u_ {1} = b_ {1} ^ {2} b_ {4} -2b_ {1} b_ {2} b_ {3} -b_ {2} ^ {2} b_ {4}}$

${ displaystyle u_ {2} = b_ {1} ^ {2} b_ {3} + 2b_ {1} b_ {2} b_ {4} -b_ {2} ^ {2} b_ {3}}$

Mimochodem, následující identita je také pravdivá:

${ displaystyle u_ {1} ^ {2} + u_ {2} ^ {2} = (b_ {1} ^ {2} + b_ {2} ^ {2}) ^ {2} (b_ {3} ^ {2} + b_ {4} ^ {2})}$

Viz také

• Brahmagupta – Fibonacciho identita (součty dvou čtverců)
• Degenova osmičtvrteční identita
• Šestnáct čtvercová identita Pfister
• Latinský čtverec

Reference

externí odkazy

• Sbírka algebraických identit
• [1] Lettre CXV z Euleru do Goldbachu