Rozdíl dvou čtverců - Difference of two squares

v matematika, rozdíl dvou čtverců je na druhou (vynásobeno samo sebou) číslo odečtené od jiného čtvercového čísla. Každý rozdíl čtverců lze zohlednit podle identita

${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$

v elementární algebra.

Důkaz

The důkaz faktorizační identity je přímočará. Počínaje levá strana, použijte distribuční právo dostat

${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2}}$

Podle komutativní právo, prostřední dva termíny se ruší:

${ displaystyle ba-ab = 0}$

odcházející

${ displaystyle (a + b) (a-b) = a ^ {2} -b ^ {2}}$

Výsledná identita je jednou z nejčastěji používaných v matematice. Mezi mnoha způsoby použití poskytuje jednoduchý důkaz Nerovnost mezi AM a GM ve dvou proměnných.

Důkaz platí ve všech komutativní prsten.

Naopak, pokud tato identita platí v a prsten R pro všechny páry prvků A a b, pak R je komutativní. Chcete-li to vidět, použijte distribuční zákon na pravou stranu rovnice a získejte

${ displaystyle a ^ {2} + ba-ab-b ^ {2}}$.

Aby se to rovnalo ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$, musíme mít

${ displaystyle ba-ab = 0}$

pro všechny páry A, b, tak R je komutativní.

Geometrické ukázky

Rozdíl dvou čtverců lze také ilustrovat geometricky jako rozdíl dvou čtvercových ploch v a letadlo. Ve schématu představuje stínovaná část rozdíl mezi oblastmi dvou čtverců, tj. ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$. Oblast stínované části lze najít přidáním oblastí dvou obdélníků; ${ displaystyle a (a-b) + b (a-b)}$, které lze rozložit na ${ displaystyle (a + b) (a-b)}$. Proto, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$.

Další geometrický důkaz postupuje následovně: Začínáme s obrázkem zobrazeným v prvním diagramu níže, velkým čtvercem, z něhož je odstraněn menší čtverec. Strana celého čtverce je a strana malého odstraněného čtverce je b. Oblast stínované oblasti je ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$. Provede se řez, který rozdělí oblast na dva obdélníkové kousky, jak ukazuje druhý diagram. Větší kus má nahoře šířku a a výšku a-b. Menší kousek dole má šířku a-b a výšku b. Nyní lze menší kousek oddělit, otočit a umístit napravo od většího kousku. V tomto novém uspořádání, znázorněném na posledním obrázku níže, tvoří dva kusy dohromady obdélník, jehož šířka je ${ displaystyle a + b}$ a jehož výška je ${ displaystyle a-b}$. Oblast tohoto obdélníku je ${ displaystyle (a + b) (a-b)}$. Vzhledem k tomu, že tento obdélník pochází z přeskupení původní postavy, musí mít stejnou plochu jako původní postava. Proto, ${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2} = (a + b) (a-b)}$.

Použití

Faktorizace polynomů a zjednodušení výrazů

Pro factoring lze použít vzorec rozdílu dvou čtverců polynomy které obsahují čtverec první veličiny minus čtverec druhé veličiny. Například polynom ${ displaystyle x ^ {4} -1}$ lze zohlednit následovně:

${ displaystyle x ^ {4} -1 = (x ^ {2} +1) (x ^ {2} -1) = (x ^ {2} +1) (x + 1) (x-1)}$

Jako druhý příklad, první dva termíny ${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} + x-y}$ lze započítat jako ${ displaystyle (x + y) (x-y)}$, takže máme:

${ displaystyle x ^ {2} -y ^ {2} + x-y = (x + y) (x-y) + x-y = (x-y) (x + y + 1)}$

Kromě toho lze tento vzorec také použít ke zjednodušení výrazů:

${ displaystyle (a + b) ^ {2} - (a-b) ^ {2} = (a + b + a-b) (a + b-a + b) = (2a) (2b) = 4ab}$

Případ komplexního čísla: součet dvou čtverců

Rozdíl dvou čtverců se používá k nalezení lineární faktory z součet ze dvou čtverců pomocí komplexní číslo koeficienty.

Například komplexní kořeny ${ displaystyle z ^ {2} +4}$ lze najít pomocí rozdílu dvou čtverců:

${ displaystyle z ^ {2} +4}$

${ displaystyle = z ^ {2} -i ^ {2} cdot 4}$ (od té doby ${ displaystyle i ^ {2} = - 1}$)

${ displaystyle = z ^ {2} - (2i) ^ {2}}$

${ displaystyle = (z + 2i) (z-2i)}$

Proto jsou lineární faktory ${ displaystyle (z + 2i)}$ a ${ displaystyle (z-2i)}$.

Protože dva faktory nalezené touto metodou jsou komplexní konjugáty, můžeme to použít obráceně jako metodu násobení komplexního čísla, abychom získali reálné číslo. Slouží k získání skutečných jmenovatelů ve složitých zlomcích.^[1]

Racionalizace jmenovatelů

Rozdíl dvou čtverců lze také použít v racionalizovat z iracionální jmenovatelé.^[2] Toto je metoda pro odstranění surds z výrazů (nebo alespoň jejich přesunutí), vztahující se na dělení některými kombinacemi zahrnujícími odmocniny.

Například: Jmenovatel ${ displaystyle { dfrac {5} {{ sqrt {3}} + 4}}}$ lze racionalizovat následovně:

${ displaystyle { dfrac {5} {{ sqrt {3}} + 4}}}$

${ displaystyle = { dfrac {5} {{ sqrt {3}} + 4}} krát { dfrac {{ sqrt {3}} - 4} {{ sqrt {3}} - 4}} }$

${ displaystyle = { dfrac {5 ({ sqrt {3}} - 4)} {({ sqrt {3}} + 4) ({ sqrt {3}} - 4)}}}$

${ displaystyle = { dfrac {5 ({ sqrt {3}} - 4)} {{ sqrt {3}} ^ {2} -4 ^ {2}}}}$

${ displaystyle = { dfrac {5 ({ sqrt {3}} - 4)} {3-16}}}$

${ displaystyle = - { dfrac {5 ({ sqrt {3}} - 4)} {13}}.}$

Zde je iracionální jmenovatel ${ displaystyle { sqrt {3}} + 4}$ bylo racionalizováno ${ displaystyle 13}$.

Mentální aritmetika

Rozdíl dvou čtverců lze také použít jako aritmetický zkratek. Pokud se vynásobí dvě čísla (jejichž průměr je číslo, které lze snadno na druhou), lze rozdíl dvou čtverců použít k získání součinu původních dvou čísel.

Například:

${ Displaystyle 27 krát 33 = (30-3) (30 + 3)}$

Pomocí rozdílu dvou čtverců ${ displaystyle 27 krát 33}$ lze přepracovat jako

${ displaystyle a ^ {2} -b ^ {2}}$ který je ${ displaystyle 30 ^ {2} -3 ^ {2} = 891}$.

Rozdíl dvou po sobě jdoucích dokonalých čtverců

Rozdíl dvou po sobě jdoucích perfektní čtverce je součet těchto dvou základny n a n+1. To lze vidět následovně:

${ displaystyle { begin {pole} {lcl} (n + 1) ^ {2} -n ^ {2} & = & ((n + 1) + n) ((n + 1) -n) & = & 2n + 1 end {pole}}}$

Rozdíl dvou po sobě jdoucích dokonalých čtverců je proto liché číslo. Podobně se rozdíl dvou libovolných dokonalých čtverců vypočítá takto:

${ displaystyle { begin {pole} {lcl} (n + k) ^ {2} -n ^ {2} & = & ((n + k) + n) ((n + k) -n) & = & k (2n + k) end {pole}}}$

Rozdíl dvou sudých dokonalých čtverců je tedy násobkem 4 a rozdíl dvou lichých dokonalých čtverců je násobkem 8.

Faktorizace celých čísel

Několik algoritmů v teorii čísel a kryptografii používá rozdíly čtverců k nalezení faktorů celých čísel a detekci složených čísel. Jednoduchým příkladem je Fermatova faktorizační metoda, která bere v úvahu posloupnost čísel ${ displaystyle x_ {i}: = a_ {i} ^ {2} -N}$, pro ${ displaystyle a_ {i}: = left lceil { sqrt {N}} right rceil + i}$. Pokud jeden z ${ displaystyle x_ {i}}$ se rovná dokonalému čtverci ${ displaystyle b ^ {2}}$, pak ${ displaystyle N = a_ {i} ^ {2} -b ^ {2} = (a_ {i} + b) (a_ {i} -b)}$ je (potenciálně netriviální) faktorizace ${ displaystyle N}$.

Tento trik lze zobecnit následovně. Li ${ displaystyle a ^ {2} equiv b ^ {2}}$ mod ${ displaystyle N}$ a ${ displaystyle a not equiv pm b}$ mod ${ displaystyle N}$, pak ${ displaystyle N}$ je složený z netriviálních faktorů ${ displaystyle gcd (a-b, N)}$ a ${ displaystyle gcd (a + b, N)}$. To tvoří základ několika faktorizačních algoritmů (například kvadratické síto ) a lze je kombinovat s Fermatův test primality dát silnější Miller – Rabinův test primality.

Zobecnění

Vektory A (nachový), b (azurová) a A + b (modré) jsou zobrazeny s šipky

Identita také drží vnitřní produktové prostory přes pole z reálná čísla, například pro Tečkovaný produkt z Euklidovské vektory:

${ displaystyle { mathbf {a}} cdot { mathbf {a}} - { mathbf {b}} cdot { mathbf {b}} = ({ mathbf {a}} + { mathbf { b}}) cdot ({ mathbf {a}} - { mathbf {b}})}$

Důkaz je totožný. Mimochodem, za předpokladu, že A a b mít stejné normy (což znamená, že jejich tečkové čtverce jsou stejné), ukazuje analyticky skutečnost, že dvě úhlopříčky a kosočtverec jsou kolmý. To vyplývá z toho, že levá strana rovnice se rovná nule, vyžaduje se také, aby se pravá strana rovnala nule, a tak vektorový součet A + b (dlouhá úhlopříčka kosočtverce) posetá vektorovým rozdílem A - b (krátká úhlopříčka kosočtverce) se musí rovnat nule, což znamená, že úhlopříčky jsou kolmé.

Rozdíl dvou n-tých sil

Vizuální důkaz rozdílů mezi dvěma čtverci a dvěma kostkami

Li A a b jsou dva prvky komutativního kruhu R, pak ${ displaystyle a ^ {n} -b ^ {n} = left (ab right) left ( sum _ {k = 0} ^ {n-1} a ^ {n-1-k} b ^ {k} vpravo)}$.

Dějiny

Historicky Babylóňané používali k výpočtu násobení rozdíl dvou čtverců. ^[3]

Například:

93 x 87 = 90² - 3² = 8091

64 x 56 = 60² - 4² = 3584

Viz také

• Congruum, společný rozdíl tří čtverců v aritmetickém postupu
• Konjugát (algebra)
• Faktorizace

Poznámky

Reference

• Stanton, James Stuart (2005). Encyclopedia of Mathematics. Publikování na Infobase. str. 131. ISBN  0-8160-5124-0.
• Tussy, Alan S .; Gustafson, Roy David (2011). Elementární algebra (5. vydání). Cengage Learning. 467–469. ISBN  978-1-111-56766-8.

externí odkazy

• rozdíl dvou čtverců na mathpages.com