Zobecněná logistická distribuce - Generalized logistic distribution

Termín zobecněná logistická distribuce se používá jako název pro několik různých rodin rozdělení pravděpodobnosti. Například Johnson a kol.^[1] seznam čtyř formulářů, které jsou uvedeny níže. Jedna zde popsaná rodina byla také nazývána skew-logistická distribuce. Pro další rodiny distribucí, které se také nazývají zobecněné logistické distribuce, viz posunutá log-logistická distribuce, což je zobecnění log-logistická distribuce.

Definice

Následující definice platí pro standardizované verze rodin, které lze rozšířit do úplného formátu jako rodina v měřítku polohy. Každý je definován pomocí buď kumulativní distribuční funkce (F) nebo funkce hustoty pravděpodobnosti (ƒ), a je definován na (-∞, ∞).

Typ I.

${ displaystyle F (x; alpha) = { frac {1} {(1 + e ^ {- x}) ^ { alpha}}} equiv (1 + e ^ {- x}) ^ {- alpha}, quad alpha> 0.}$

Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti je:

${ displaystyle f (x; alpha) = { frac { alpha e ^ {- x}} { vlevo (1 + e ^ {- x} vpravo) ^ { alpha +1}}}, quad alpha> 0.}$

Tento typ se také nazývá distribuce „skew-logistic“.

Typ II

${ displaystyle F (x; alpha) = 1 - { frac {e ^ {- alpha x}} {(1 + e ^ {- x}) ^ { alpha}}}, quad alpha> 0.}$

Odpovídající funkce hustoty pravděpodobnosti je:

${ displaystyle f (x; alpha) = { frac { alpha e ^ {- alpha x}} {(1 + e ^ {- x}) ^ { alpha +1}}}, quad alfa> 0.}$

Typ III

${ displaystyle f (x; alpha) = { frac {1} {B ( alpha, alpha)}} { frac {e ^ {- alpha x}} {(1 + e ^ {- x }) ^ {2 alpha}}}, quad alpha> 0.}$

Tady B je funkce beta. The funkce generování momentů pro tento typ je

${ displaystyle M (t) = { frac { Gamma ( alpha -t) Gamma ( alpha + t)} {( Gamma ( alpha)) ^ {2}}}, quad - alpha$

Odpovídající kumulativní distribuční funkce je:

${ displaystyle F (x; alfa) = { frac { vlevo (e ^ {x} +1 vpravo) gama ( alfa) e ^ { alfa (-x)} vlevo (e ^ { -x} +1 vpravo) ^ {- 2 alpha} , _ {2} { tilde {F}} _ {1} vlevo (1,1- alpha; alpha +1; -e ^ {x} right)} {B ( alpha, alpha)}}, quad alpha> 0.}$

Typ IV

${ displaystyle f (x; alpha, beta) = { frac {1} {B ( alpha, beta)}} { frac {e ^ {- beta x}} {(1 + e ^ {-x}) ^ { alpha + beta}}}, quad alpha, beta> 0.}$

Znovu, B je funkce beta. The funkce generování momentů pro tento typ je

${ displaystyle M (t) = { frac { Gamma ( beta -t) Gamma ( alpha + t)} { Gamma ( alpha) Gamma ( beta)}}, quad - alpha$

Tento typ se také nazývá „exponenciální generalizovaná beta verze druhého typu“.^[1]

Odpovídající kumulativní distribuční funkce je:

${ displaystyle F (x; alpha, beta) = { frac { vlevo (e ^ {x} +1 vpravo) gama ( alfa) e ^ { beta (-x)} vlevo ( e ^ {- x} +1 vpravo) ^ {- alpha - beta} , _ {2} { tilde {F}} _ {1} vlevo (1,1- beta; alpha + 1; -e ^ {x} right)} {B ( alpha, beta)}}, quad alpha, beta> 0.}$

Vztah

Typ IV je nejobecnější formou distribuce. Distribuci typu III lze získat z typu IV fixací ${ displaystyle beta = alfa}$. Distribuci typu II lze získat z typu IV fixací ${ displaystyle alpha = 1}$ (a přejmenování ${ displaystyle beta}$ na ${ displaystyle alpha}$). Distribuci typu I lze získat od typu IV fixací ${ displaystyle beta = 1}$.

Viz také

• Champernowne distribuce, další zobecnění logistické distribuce.

Reference

Tento statistika související článek je a pahýl. Wikipedii můžete pomoci pomocí rozšiřovat to.