Experimentální matematika - Experimental mathematics

Experimentální matematika je přístup k matematika ve kterém se výpočet používá k prozkoumání matematických objektů a identifikaci vlastností a vzorů.^[1] Bylo definováno jako „odvětví matematiky, které se nakonec zabývá kodifikací a přenosem poznatků v matematické komunitě pomocí experimentálního (v galilejském, baconském, aristotelovském nebo kantovském smyslu) zkoumání domněnky a více neformálních přesvědčení a pečlivé analýzy údajů získaných v této snaze. “^[2]

Jak vyjádřil Paul Halmos: "Matematika není deduktivní věda —To je klišé. Když se pokusíte dokázat větu, neuvádíte pouze seznam hypotézy, a pak začněte uvažovat. Co děláš je pokus omyl, experimentování, dohady. Chcete zjistit, co jsou fakta a co v tomto ohledu děláte, je podobné tomu, co dělá laboratorní technik. “^[3]

Dějiny

Matematici vždy praktikovali experimentální matematiku. Existující záznamy rané matematiky, jako např Babylonská matematika, obvykle sestávají ze seznamů numerických příkladů ilustrujících algebraické identity. Moderní matematika však od 17. století rozvinula tradici publikování výsledků v závěrečné, formální a abstraktní prezentaci. Numerické příklady, které mohly vést matematika k původní formulaci obecné věty, nebyly zveřejněny a byly obecně zapomenuty.

Experimentální matematika jako samostatná studijní oblast se znovu objevila ve dvacátém století, kdy vynález elektronického počítače značně zvýšil rozsah proveditelných výpočtů s rychlostí a přesností mnohem větší než cokoli, co bylo k dispozici předchozím generacím matematiků. Významným mezníkem a úspěchem experimentální matematiky byl objev v roce 1995 Bailey – Borwein – Plouffe vzorec pro binární číslice π. Tento vzorec nebyl objeven formálním uvažováním, ale numerickým prohledáváním na počítači; teprve poté byla přísná důkaz nalezeno.^[4]

Cíle a použití

Cíle experimentální matematiky jsou „generovat porozumění a vhled; generovat a potvrzovat nebo konfrontovat dohady; a obecně zajistit, aby matematika byla hmatatelnější, živější a zábavnější jak pro profesionálního výzkumníka, tak pro nováčka.“^[5]

Použití experimentální matematiky byla definována takto:^[6]

Získání vhledu a intuice.
Objevování nových vzorců a vztahů.
Pomocí grafických displejů navrhnout základní matematické principy.
Testování a zejména falšování domněnek.
Zkoumání možného výsledku a zjištění, zda stojí za formální důkaz.
Navrhování přístupů pro formální důkaz.
Nahrazování zdlouhavých ručních derivací počítačovými derivacemi.
Potvrzení analyticky odvozených výsledků.

Nástroje a techniky

Experimentální matematika využívá numerické metody pro výpočet přibližných hodnot pro integrály a nekonečná řada. Aritmetika s libovolnou přesností se často používá ke stanovení těchto hodnot s vysokou mírou přesnosti - obvykle 100 platných čísel nebo více. Celočíselné relační algoritmy se pak používají k hledání vztahů mezi těmito hodnotami a matematické konstanty. Práce s vysokými hodnotami přesnosti snižuje možnost záměny a matematická náhoda pro skutečný vztah. Poté bude hledán formální důkaz domnělého vztahu - je často snazší najít formální důkaz, jakmile je známa forma domnělého vztahu.

Pokud protiklad je hledán nebo ve velkém měřítku důkaz vyčerpáním pokouší se, distribuované výpočty techniky lze použít k rozdělení výpočtů mezi více počítačů.

Časté použití je obecné matematický software jako Mathematica,^[7] i když je software specifický pro doménu také napsán pro útoky na problémy, které vyžadují vysokou účinnost. Experimentální matematický software obvykle zahrnuje detekce a oprava chyb mechanismy, kontroly integrity a nadbytečné výpočty určené k minimalizaci možnosti zneplatnění výsledků chybou hardwaru nebo softwaru.

Aplikace a příklady

Aplikace a příklady experimentální matematiky zahrnují:

Hledání protipříkladu domněnky
- Roger Frye použil experimentální matematické techniky k nalezení nejmenšího protipříkladu Eulerův součet sil dohad.
- The ZetaGrid projekt byl založen za účelem hledání protipříkladu projektu Riemannova hypotéza.
- Tomás Oliveira e Silva^[8] hledal protiklad k Collatz dohad.
Nalezení nových příkladů čísel nebo objektů s konkrétními vlastnostmi
- The Skvělé internetové vyhledávání Mersenne Prime hledá nové Mersenne připraví.
- The distribuovaný.net Projekt OGR hledá optimální Golomboví vládci.
- The Riesel Sieve projekt hledá ty nejmenší Riesel číslo.
- The Sedmnáct nebo Busta projekt hledá ty nejmenší Sierpinského číslo.
Hledání náhodných číselných vzorů
- Edward Lorenz našel Lorenzův atraktor, časný příklad chaotické dynamický systém zkoumáním anomálního chování v numerickém modelu počasí.^[7]
- The Ulam spirála byl objeven náhodou.
- Vzor v Ulamská čísla byl objeven náhodou.
- Mitchell Feigenbaum objev Feigenbaumova konstanta byl původně založen na numerických pozorováních, následovaných přísným důkazem.^[7]
Využití počítačových programů ke kontrole velkého, ale konečného počtu případů k dokončení a pomocí počítače důkaz vyčerpáním
- Thomas Hales je důkaz o Keplerova domněnka.
- Různé důkazy o čtyřbarevná věta.
- Clement Lam důkaz neexistence a konečná projektivní rovina objednávky 10.^[9]
- Gary McGuire se ukázal jako minimálně jednoznačně řešitelný Sudoku vyžaduje 17 vodítek.^[10]
Symbolické ověření (prostřednictvím počítačová algebra ) dohadů, které motivují k hledání analytického důkazu
- Řešení zvláštního případu kvanta problém se třemi těly známý jako iont molekuly vodíku byly nalezeny standardní sady základů kvantové chemie, než si uvědomily, že všechny vedou ke stejnému jedinečnému analytickému řešení, pokud jde o a zobecnění z Funkce Lambert W.. S touto prací souvisí izolace dříve neznámého spojení mezi gravitační teorií a kvantovou mechanikou v nižších dimenzích (viz kvantová gravitace a odkazy v něm uvedené).
- V oblasti relativistické mnohostranná mechanika, jmenovitě časově symetrické Teorie absorbérů Wheeler – Feynman: ekvivalence mezi pokročilým Liénard – Wiechertův potenciál částice j působící na částice i a odpovídající potenciál pro částice i působící na částice j bylo na objednávku vyčerpávajícím způsobem předvedeno ${ displaystyle 1 / c ^ {10}}$ než bude matematicky prokázáno. Teorie Wheeler-Feynman znovu získala zájem kvůli kvantová nelokalita.
- V oblasti lineární optiky ověření sériového rozšíření obálka elektrického pole pro ultrakrátké světelné impulsy pohybující se v neizotropních médiích. Předchozí expanze byly neúplné: výsledek odhalil další termín potvrzený experimentem.
Hodnocení nekonečná řada, nekonečné produkty a integrály (viz také symbolická integrace ), obvykle provedením vysoce přesného numerického výpočtu a poté použitím algoritmus celočíselného vztahu (tak jako Symbolická inverzní kalkulačka ) k nalezení lineární kombinace matematických konstant, které odpovídají této hodnotě. Například následující identitu znovu objevil Enrico Au-Yeung, student Jonathan Borwein pomocí počítačového vyhledávání a Algoritmus PSLQ v roce 1993:^[11]^[12]

{ displaystyle { begin {aligned} sum _ {k = 1} ^ { infty} { frac {1} {k ^ {2}}} left (1 + { frac {1} {2} } + { frac {1} {3}} + cdots + { frac {1} {k}} vpravo) ^ {2} = { frac {17 pi ^ {4}} {360}} . end {zarovnáno}}}

Vizuální vyšetřování
- v Indrovy perly, David Mumford a další zkoumali různé vlastnosti Möbiova transformace a Schottkyho skupina pomocí počítačově generovaných obrázků skupiny který: poskytl přesvědčivý důkaz mnoha dohadů a návnad k dalšímu zkoumání.^[13]

Věrohodné, ale falešné příklady

Některé věrohodné vztahy mají vysokou míru přesnosti, ale stále nejsou pravdivé. Jedním příkladem je:

{ displaystyle int _ {0} ^ { infty} cos (2x) prod _ {n = 1} ^ { infty} cos left ({ frac {x} {n}} right) mathrm {d} x = { frac { pi} {8}}.}

Obě strany tohoto výrazu se ve skutečnosti liší po 42. desetinném místě.^[14]

Dalším příkladem je, že maximum výška (maximální absolutní hodnota koeficientů) všech faktorů Xⁿ - 1 se zdá být stejná jako výška nth cyklotomický polynom. To se ukázalo počítačem, aby to platilo pro n <10 000 a předpokládalo se, že bude platit pro všechny n. Větší počítačové vyhledávání však ukázalo, že tato rovnost neplatí n = 14235, když výška nten cyklotomický polynom je 2, ale maximální výška faktorů je 3.^[15]

Praktici

Následující matematici a počítačoví vědci významně přispěli k oblasti experimentální matematiky:

Viz také

Reference

^ Weisstein, Eric W. „Experimentální matematika“. MathWorld.
^ Experimentální matematika: diskuse Archivováno 2008-01-21 na Wayback Machine J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn a S. Parnes
^ Chci být matematikem: Automatografie (1985), str. 321 (v roce 2013 dotisk)
^ Pátrání po Pi podle David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein a Simon Plouffe.
^ Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matematika podle experimentu: věrohodné uvažování v 21. století. A.K. Peters. str. vii. ISBN 978-1-56881-211-3.
^ Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matematika podle experimentu: věrohodné uvažování v 21. století. A.K. Peters. str. 2. ISBN 978-1-56881-211-3.
^ ^A ^b ^C Nový druh vědy [1]
^ Silva, Tomás (28. prosince 2015). „Výpočetní ověření domněnky 3x + 1“. Institute of Electronics and Informatics Engineering of Aveiro. Archivováno z původního dne 18. března 2013.
^ Clement W. H. Lam (1991). „Hledání konečné projektivní roviny řádu 10“. Americký matematický měsíčník. 98 (4): 305–318. doi:10.2307/2323798. JSTOR 2323798.
^ arXiv, vznikající technologie z. „Matematici řeší minimální problém sudoku“. Recenze technologie MIT. Citováno 27. listopadu 2017.
^ Bailey, David (1997). „Nové matematické vzorce objevené pomocí superpočítačů“ (PDF). Zprávy NAS. 2 (24).
^ H. F. Sandham a Martin Kneser, Americký matematický měsíčník, Pokročilý problém 4305, sv. 57, č. 4 (duben 1950), str. 267-268
^ Mumford, David; Série, Caroline; Wright, David (2002). Indrovy perly: Vize Felixe Kleina. Cambridge. str. viii. ISBN 978-0-521-35253-6.
^ David H. Bailey a Jonathan M. Borwein, Vyhlídky do budoucnosti pro matematiku podporovanou počítačem, Prosinec 2005
^ Výška Φ₄₇₄₅ je 3 a 14235 = 3 x 4745. Viz Sloane sekvence OEIS: A137979 a OEIS: A160338.

externí odkazy

[1] Weisstein, Eric W. „Experimentální matematika“. MathWorld.

[2] Experimentální matematika: diskuse Archivováno 2008-01-21 na Wayback Machine J. Borwein, P. Borwein, R. Girgensohn a S. Parnes

[3] Chci být matematikem: Automatografie (1985), str. 321 (v roce 2013 dotisk)

[4] Pátrání po Pi podle David H. Bailey, Jonathan M. Borwein, Peter B. Borwein a Simon Plouffe.

[5] Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matematika podle experimentu: věrohodné uvažování v 21. století. A.K. Peters. str. vii. ISBN 978-1-56881-211-3.

[6] Borwein, Jonathan; Bailey, David (2004). Matematika podle experimentu: věrohodné uvažování v 21. století. A.K. Peters. str. 2. ISBN 978-1-56881-211-3.

[NKS_note_c-7] A ^b ^C Nový druh vědy [1]

[8] Silva, Tomás (28. prosince 2015). „Výpočetní ověření domněnky 3x + 1“. Institute of Electronics and Informatics Engineering of Aveiro. Archivováno z původního dne 18. března 2013.

[9] Clement W. H. Lam (1991). „Hledání konečné projektivní roviny řádu 10“. Americký matematický měsíčník. 98 (4): 305–318. doi:10.2307/2323798. JSTOR 2323798.

[10] rXiv, vznikající technologie z. „Matematici řeší minimální problém sudoku“. Recenze technologie MIT. Citováno 27. listopadu 2017.

[11] Bailey, David (1997). „Nové matematické vzorce objevené pomocí superpočítačů“ (PDF). Zprávy NAS. 2 (24).

[12] H. F. Sandham a Martin Kneser, Americký matematický měsíčník, Pokročilý problém 4305, sv. 57, č. 4 (duben 1950), str. 267-268

[13] Mumford, David; Série, Caroline; Wright, David (2002). Indrovy perly: Vize Felixe Kleina. Cambridge. str. viii. ISBN 978-0-521-35253-6.

[bailey-14] David H. Bailey a Jonathan M. Borwein, Vyhlídky do budoucnosti pro matematiku podporovanou počítačem, Prosinec 2005

[15] Výška Φ₄₇₄₅ je 3 a 14235 = 3 x 4745. Viz Sloane sekvence OEIS: A137979 a OEIS: A160338.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]