Krycí sada - Covering set

v matematika, a krycí sada pro sekvence z celá čísla označuje a soubor z prvočísla takhle každý termín v pořadí je dělitelný podle aspoň jeden člen sady.^[1] Termín „krycí sada“ se používá pouze ve spojení se sekvencemi, které mají exponenciální růst.

Čísla Sierpinski a Riesel

Použití termínu „krycí sada“ souvisí s Sierpinski a Riesel čísla. Tyto jsou zvláštní přirozená čísla k pro které vzorec k 2ⁿ + 1 (Sierpinski číslo) nebo k 2ⁿ − 1 (Riesel číslo) neprodukuje žádná prvočísla.^[2] Od roku 1960 je známo, že existuje nekonečný počet čísel Sierpinski a Riesel (jako řešení pro rodiny s shody na základě sady {3, 5, 17, 257, 641, 65537, 6700417} ^[A][3]) ale, protože existuje nekonečné množství čísel formuláře k 2ⁿ + 1 nebo k 2ⁿ − 1 pro všechny k, lze jen dokázat k být číslem Sierpinski nebo Riesel tím, že to ukážete každý termín v pořadí k 2ⁿ + 1 nebo k 2ⁿ − 1 je dělitelné jedním z prvočísel krycí sady.

Tyto krycí sady tvoří z prvočísel, která v základna 2 mít krátká období. Abyste dosáhli kompletní krycí sady, Wacław Sierpiński ukázaly, že posloupnost se může opakovat ne častěji než každých 24 čísel. Opakování každých 24 čísel dává krycí sadu {3, 5, 7, 13, 17, 241} , zatímco opakování každých 36 výrazů může poskytnout několik krycích sad: {3, 5, 7, 13, 19, 37, 73}; {3, 5, 7, 13, 19, 37, 109}; {3, 5, 7, 13, 19, 73, 109} a {3, 5, 7, 13, 37, 73, 109}.^[4]

Čísla Riesel mají stejné krycí sady jako čísla Sierpinski.

Ostatní krycí sady

Krycí sady se také používají k prokázání existence složených Fibonacciho sekvencí (sekvence primefree ).

Koncept krycí sady lze snadno zobecnit na další sekvence, které se ukáží jako mnohem jednodušší.

V následujících příkladech je + použito tak, jak je regulární výrazy znamená 1 nebo více. Například 91⁺3 znamená sadu {913, 9113, 91113, 911113…}

Příkladem je následujících osm sekvencí:

• (29·10ⁿ - 191) / 9 nebo 32⁺01
• (37·10ⁿ + 359) / 9 nebo 41⁺51
• (46·10ⁿ + 629) / 9 nebo 51⁺81
• (59·10ⁿ - 293) / 9 nebo 65⁺23
• (82·10ⁿ + 17) / 9 nebo 91⁺3
• (85·10ⁿ + 41) / 9 nebo 94⁺9
• (86·10ⁿ + 31) / 9 nebo 95⁺9
• (89·10ⁿ + 593) / 9 nebo 98⁺23

V každém případě je každý výraz dělitelný jedním z prvočísel {3, 7, 11, 13} .^[5] O těchto prvočíslech lze říci, že tvoří krycí sadu přesně analogickou číslům Sierpinski a Riesel.^[6] Krycí sada {3, 7, 11, 37} je nalezen pro několik podobných sekvencí,^[6] počítaje v to:

• (38·10ⁿ - 137) / 9 nebo 42⁺07
• (4·10ⁿ - 337) / 9 nebo 4⁺07
• (73·10ⁿ +359) / 9 nebo 81⁺51

Ještě jednodušší případ najdete v pořadí:

• (76·10ⁿ − 67) / 99 (n musí být liché) nebo (76)⁺7 [Pořadí: 7, 767, 76767, 7676767, 767676767 atd.]

Zde lze ukázat, že pokud:

• w má formu 3 k (n = 6 k + 1): (76)⁺7 je dělitelné 7
• w má formu 3 k + 1 (n = 6 k + 3): (76)⁺7 je dělitelné 13
• w má formu 3 k + 2 (n = 6 k + 5): (76)⁺7 je dělitelné 3

Máme tedy krycí sadu pouze se třemi prvočísly {3, 7, 13}.^[7] To je možné jen proto, že posloupnost dává celočíselné výrazy pouze pro liché n.

Krycí sada se také vyskytuje v pořadí:

• (343·10ⁿ - 1) / 9 nebo 381⁺.

Zde je možné ukázat, že:

• Pokud n = 3 k + 1, pak (343·10ⁿ − 1) / 9 je dělitelné 3.
• Pokud n = 3 k + 2, pak (343·10ⁿ − 1) / 9 je dělitelné číslem 37.
• Pokud n = 3 k, pak (343·10ⁿ − 1) / 9 je algebraicky započítán jako ((7·10^k − 1) / 3)·((49·10^2k + 7·10^k + 1) / 3).

Od té doby (7·10^k − 1) / 3 lze napsat jako 23⁺, pro sekvenci 381⁺, máme krycí sadu {3, 37, 23⁺} - krycí sada s nekonečně mnoho podmínky.^[6]

Viz také

• Krycí systém

Poznámky

^A Ty jsou samozřejmě jediné známé Fermat připraví a dva hlavní faktory F₅.

Reference

externí odkazy

• Čísla podobná Sierpinskému