Aditivní proces - Additive process

An aditivní proces, v teorie pravděpodobnosti, je Cadlag, kontinuální v pravděpodobnosti stochastický proces s nezávislé přírůstky.Aditivní proces je zobecnění a Lévyho proces (Lévyho proces je aditivní proces s identicky distribuovanými přírůstky). Příkladem aditivního procesu je a Brownův pohyb s časově závislým driftem.^[1]Aditivní proces zavádí Paul Lévy v roce 1937.^[2]

V aditivním procesu existují aplikace kvantitativní financování^[3] (tato rodina procesů může zachytit důležité rysy implikovaná volatilita ) a dovnitř digitální zpracování obrazu.^[4]

Definice

Aditivní proces je zobecněním Lévyho procesu získaného uvolněním hypotézy identicky distribuovaných přírůstků. Díky této vlastnosti může aditivní proces popsat složitější jevy než Lévyho proces.

A stochastický proces ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t geq 0}}$ na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ takhle ${ displaystyle X_ {0} = 0}$ téměř jistě jde o aditivní proces, pokud splňuje následující hypotézu:

1. Má nezávislé přírůstky.
2. Pravděpodobnost je spojitá.^[1]

Hlavní vlastnosti

Nezávislé přírůstky

Stochastický proces ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t geq 0}}$ má nezávislé přírůstky, pokud a pouze pokud pro nějaké ${ displaystyle 0 leq p$ náhodná proměnná ${ displaystyle X_ {t} -X_ {s}}$ je nezávislý na náhodné proměnné ${ displaystyle X_ {r} -X_ {p}}$.^[5]

Spojitost v pravděpodobnosti

Stochastický proces ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t geq 0}}$ je spojitá v pravděpodobnosti, zda, a pouze pokud, pro jakoukoli ${ displaystyle 0 leq s$

${ displaystyle lim _ {s to t} Pr left ({ big |} X_ {s} -X_ {t} { big |} geq varepsilon right) = 0.}$^[5]

Zastoupení Lévy – Khintchine

Mezi aditivním procesem a nekonečně dělitelné distribuce. Aditivní proces v čase ${ displaystyle t}$ má nekonečně dělitelnou distribuci charakterizovanou generujícím tripletem ${ displaystyle ( gamma _ {t}, A_ {t}, nu _ {t})}$. ${ displaystyle gamma _ {t}}$ je vektor v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, ${ displaystyle A_ {t}}$ je matice v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d krát d}}$ a ${ displaystyle nu _ {t}}$ je opatření na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ takhle ${ displaystyle nu _ {t} ( {0 }) = 0}$ a ${ displaystyle int _ { mathbb {R} ^ {d}} (1 klín x ^ {2}) nu _ {t} (dx) < infty}$. ^[6]

${ displaystyle gamma _ {t}}$ se nazývá driftový termín, ${ displaystyle A_ {t}}$ kovarianční matice a ${ displaystyle nu _ {t}}$ Lévyho míru Je možné explicitně napsat charakteristickou funkci aditivního procesu pomocí Lévy – Khintchinův vzorec:

${ displaystyle varphi _ {X} (u) (t): = operatorname {E} left [e ^ {iu'X_ {t}} right] = exp left (u ' gamma _ { t} i - { frac {1} {2}} u'A_ {t} u + int _ { mathbb {R} ^ {d}} left (e ^ {iu'x} -1-iu ' x mathbf {I} _ {| x | <1} right) , nu _ {t} (dx) right),}$

kde ${ displaystyle u}$ je vektor v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$ a ${ displaystyle mathbf {I_ {C}}}$ je indikátorová funkce sady ${ displaystyle C}$.^[7]

Charakteristická funkce procesu Lèvy má stejnou strukturu, ale s ${ displaystyle gamma _ {t} = t gamma, nu _ {t} = t nu}$ a ${ displaystyle A_ {t} = v}$ s ${ displaystyle gamma}$ vektor v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$, ${ displaystyle A}$ pozitivní definitivní matice v ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d krát d}}$ a ${ displaystyle nu}$ je opatření na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$.^[8]

Existence a jedinečnost v právu aditivního procesu

Následující výsledek společně s Lévy – Khintchinův vzorec charakterizuje aditivní proces.

Nechat ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t geq 0}}$ být aditivní proces na ${ displaystyle mathbb {R} ^ {d}}$. Potom je jeho nekonečně dělitelné rozdělení takové, že:

1. Pro všechny ${ displaystyle t}$, ${ displaystyle A_ {t}}$ je pozitivní určitá matice.
2. ${ displaystyle gamma _ {0} = 0, A_ {0} = 0, nu _ {0} = 0}$ a pro všechny ${ displaystyle s, t}$ je takový ${ displaystyle s$, ${ displaystyle A_ {t} -A_ {s}}$ je pozitivní určitá matice a ${ displaystyle nu _ {t} (B) geq nu _ {s} (B)}$ pro každého ${ displaystyle B}$ v ${ displaystyle mathbf {B} ( mathbb {R} ^ {d})}$.
3. Li ${ displaystyle s to t}$ ${ displaystyle gamma _ {s} na gamma _ {t}, A_ {s} na A_ {t}}$ a ${ displaystyle nu _ {s} (B) až nu _ {t} (B)}$ každý ${ displaystyle B}$ v ${ displaystyle mathbf {B} ( mathbb {R} ^ {d})}$, ${ displaystyle 0 ne v B}$.

Naopak pro rodinu nekonečně dělitelných distribucí charakterizovaných generujícím tripletem ${ displaystyle ( gamma _ {t}, A_ {t}, nu _ {t})}$ který vyhovuje 1, 2 a 3, existuje aditivní proces ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t geq 0}}$ s touto distribucí.^[9][10]

Podtřída aditivního procesu

Aditivní podřízený

Pozitivní proces neklesající přísady ${ displaystyle {S_ {t} } _ {t geq 0}}$ s hodnotami v ${ displaystyle mathbb {R}}$ je přísada podřízený Aditivní podřízený je semimartingale (díky tomu, že neklesá) a jeho je vždy možné přepsat Laplaceova transformace tak jako

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {- uS_ {t}} right] = exp left (ub_ {t} + int _ { mathbb {R} ^ {d}} (e ^ {iux} -1) nu _ {t} (dx) vpravo).}$^[11]

Je možné použít podřízeného aditiva k časové změně Lévyho procesu a získání nové třídy aditivních procesů.^[12]

Sato proces

Přísada sebepodobný proces ${ displaystyle {Z_ {t} } _ {t geq 0}}$ se nazývá Sato proces.^[13]Je možné sestrojit Sato proces z Lévyho procesu ${ displaystyle {X_ {t} } _ {t geq 0}}$ takhle ${ displaystyle Z_ {t}}$ má stejný zákon ${ displaystyle t ^ {h} X_ {1}}$.

Příkladem je varianční gamma SSD, proces Sato získaný od varianční gama proces.

Charakteristická funkce Variance gama v čase ${ displaystyle t = 1}$ je

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {iuX_ {1}} right] = left ({ frac {1} {1-iu theta nu +0,5 sigma ^ {2} nu u ^ {2}}} vpravo) ^ {1 / nu},}$

kde ${ displaystyle theta, nu}$ a ${ displaystyle sigma}$ jsou kladné konstanty.

Charakteristická funkce variance gamma SSD je

${ displaystyle operatorname {E} left [e ^ {iuZ_ {t}} right] = left ({ frac {1} {1-iut ^ {h} theta nu +0,5 sigma ^ { 2} nu u ^ {2} t ^ {2} h}} vpravo) ^ {1 / nu}}$^[14]

Aplikace

Kvantitativní financování

Lévyho proces se používá k modelování logaritmu tržních cen. Bohužel stacionárnost přírůstků nereprodukuje správně tržní data. Lévyho proces padl dobře možnost volání a dát možnost ceny (implikovaná volatilita úsměv) na jediné datum vypršení platnosti, ale nedokáže přizpůsobit ceny opcí s různými splatnostmi (těkavý povrch ). Aditivní proces zavádí a deterministický nestacionarita, která jí umožňuje vyhovět všem datům vypršení platnosti.^[3]

Čtyřparametrový proces Sato (podobný proces aditiv) může správně reprodukovat povrch těkavosti (chyba 3% na S&P 500 akciový trh). Toto pořadí chyb se obvykle získává pomocí modelů s parametry 6-10, aby se vešly na tržní data.^[15] Self-podobný proces správně popisuje tržní data z důvodu jeho plochosti šikmost a přebytek špičatost; empirické studie pozorovaly toto chování v tržní šikmě a nadměrné špičatosti.^[16]Některé z procesů, které odpovídají cenám opcí s chybou 3%, jsou VGSSD, NIGSSD, MXNRSSD získané z procesu rozptylu gama, normálního inverzního Gaussova procesu a Meixnerova procesu.^[17]

Lévyho podřízenost se používá ke konstrukci nových Lévyho procesů (například proces rozptylu gama a normální inverzní Gaussův proces). Existuje velké množství finančních aplikací procesů vytvořených Lévyho podřízením. Aditivní proces vytvořený prostřednictvím aditivní podřízenosti udržuje analytickou použitelnost procesu vytvořeného pomocí Lévyho podřízenosti, ale lépe odráží časově nehomogenní strukturu tržních dat.^[18] Na komoditní trh se uplatňuje aditivní podřízenost^[19] a možnosti VIX.^[20]

Digitální zpracování obrazu

Na zpracování obrazu lze použít odhad na základě minima aditivního procesu. Cílem takového odhadu je rozlišit mezi skutečným signálem a šumem v obrazových pixelech.^[4]

Reference

Zdroje

• Tankov, Peter; Cont, Rama (2003). Finanční modelování pomocí skokových procesů. Chapman a Hall. ISBN  1584884134.
• Sato, Ken-Ito (1999). Lévyho procesy a nekonečně dělitelná rozdělení. Cambridge University Press. ISBN  9780521553025.
• Li, Jing; Li, Lingfei; Mendoza-Arriaga, Rafael (2016). "Aditivní podřízenost a její aplikace ve financích". Finance a Stochastics. 20 (3): 2–6. doi:10.1007 / s00780-016-0300-8.
• Eberlein, Ernst; Madan, Dilip B. (2009). "Sato procesy a oceňování strukturovaných produktů". Kvantitativní finance. 9 (1). doi:10.1080/14697680701861419.
• Carr, Peter; Geman, Hélyette; Madan, Dilip B .; Yor, Marc (2007). „SAMOSTATNÁ ROZKLADATELNOST A CENY MOŽNOSTÍ OPCE“. Matematické finance. 17 (1). doi:10.1111 / j.1467-9965.2007.00293.x.
• Li, Jing; Li, Lingfei; Zhang, Gongqiu (2017). "Čisté skokové modely pro stanovení cen a zajištění derivátů VIX". Journal of Economic Dynamics and Control. 74. doi:10.1016 / j.jedc.2016.11.001.
• Bhattacharya, P. K .; Brockwell, P. J. (1976). "Minimum aditivního procesu s aplikacemi pro odhad signálu a teorii ukládání". Zeitschrift für Wahrscheinlichkeitstheorie und Verwandte Gebiete. 37 (1). doi:10.1007 / BF00536298.